Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 22

THI TH(cid:219) (cid:30)(cid:132)I H¯C N(cid:139)M 2015

(cid:30)(cid:151) S¨ 22

**********

M(cid:230)n: To¡n. Th(cid:237)i gian: 180 ph(cid:243)t

C¥u 1 (2,0 (cid:31)i”m). Cho h(cid:160)m sŁ y = 2x3 − 6x2 + 9x − 1 (1)

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) cıa h(cid:160)m sŁ (1).

b) Cho ∆ l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng qua A(1; 4) v(cid:160) c(cid:226) h» sŁ g(cid:226)c k > 3. Chøng minh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ lu(cid:230)n c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224)

(C) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t A, M , N v(cid:160) A l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa M N .

C¥u 2 (1,0 (cid:31)i”m).

√

4 − x2.

a) T…m gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t cıa h(cid:160)m sŁ y = x

b) Cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh z2 − (4 + i)z + 5(1 + i) = 0 c(cid:226) hai nghi»m phøc z1, z2. T‰nh A = |z1|2 + |z2|2.

log√

C¥u 3 (0,5 (cid:31)i”m). Gi£i b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

log4 x8 > log2(x + 1) + 2 (x ∈ R).

2(x + 4) +

1 2

1 4

C¥u 4 (1,0 (cid:31)i”m). T…m m (cid:31)” h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 1 nghi»m

x2 + y2 + 13 − m2 = 2(3x − 2y)

 

(x, y ∈ R).

x2 + y2 + 40 − 4m2 = 2(4y − 5x + 2m)



C¥u 5 (1,0 (cid:31)i”m). T‰nh t‰ch ph¥n

√

(cid:90) 1

x3 −

1 − x

I =

dx.

x + 3

0

C¥u 6 (1,0 (cid:31)i”m). Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho h…nh chœ nh“t ABCD, c¡c (cid:31)i”m M v(cid:160) N lƒn

l(cid:247)æt thuºc c⁄nh AB v(cid:160) BC sao cho AM = BC v(cid:160) BM = CN , (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN qua (cid:31)i”m E(14; 0), (cid:31)i”m A

thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : 2x − y + 2 = 0 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng CM : 3x + y − 30 = 0. T…m t(cid:229)a (cid:31)º (cid:31)¿nh A. C¥u 7 (1,0 (cid:31)i”m). H…nh ch(cid:226)p S.ABC c(cid:226) (cid:31)¡y ABC l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng t⁄i B, (cid:91)ACB = 300, SA = 3a, SA t⁄o v(cid:238)i (cid:31)¡y mºt g(cid:226)c 600, G l(cid:160) tr(cid:229)ng t¥m tam gi¡c ABC, hai m(cid:176)t phflng (SBG) v(cid:160) (SCG) c(cid:242)ng vu(cid:230)ng g(cid:226)c

v(cid:238)i (cid:31)¡y. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi ch(cid:226)p S.ABC v(cid:160) kho£ng c¡ch giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng SB, AC.

=

=

C¥u 8 (1,0 (cid:31)i”m). Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, cho (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ :

, m(cid:176)t

x − 1 3

y + 1 1

z 2

phflng (P ) : x − 3y + 4z − 1 = 0 v(cid:160) (cid:31)i”m A(3; 1; 1). Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d qua A, c›t (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng

∆ v(cid:160) song song v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

C¥u 9 (0,5 (cid:31)i”m). C(cid:226) 6 ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ang (cid:31)øng (cid:240) s¥n ga (cid:31)” chu'n b(cid:224) l¶n mºt (cid:31)o(cid:160)n t(cid:160)u ch¿ cÆn 3 toa trŁng. T‰nh

x¡c su§t (cid:31)” mØi toa c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 2 ng(cid:247)(cid:237)i l¶n.

C¥u 10 (1 (cid:31)i”m). Cho a, b, c, d l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c th(cid:228)a m¢n (a + b)(c + d)(ac − bd) (cid:54)= 0. Chøng minh r‹ng

√

3.

+

+

≥

a − b a + b

c − d c + d

ad + bc ac − bd

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Nguy„n D(cid:247) Th¡i, TTBDKT Cao Th›ng, 11 (cid:30)Łng (cid:30)a, TP Hu‚, D(cid:30): 0905998369

(cid:30)(cid:129)P (cid:129)N (cid:30)(cid:151) THI TH(cid:219) S¨ 22

C¥u 1. Cho h(cid:160)m sŁ y = 2x3 − 6x2 + 9x − 1 (1)

a) Kh£o s¡t s(cid:252) bi‚n thi¶n v(cid:160) v‡ (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) cıa h(cid:160)m sŁ (1).

b) Cho ∆ l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng qua A(1; 4) v(cid:160) c(cid:226) h» sŁ g(cid:226)c k > 3. Chøng minh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ lu(cid:230)n c›t (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (C) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t A, M , N v(cid:160) A l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa M N .

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a)

• T“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh: R. • Ta c(cid:226) y(cid:48) = 6x2 − 12x + 9 > 0, ∀x ∈ R.

x→±∞

(cid:18) (cid:19) • y = lim x3 2 − + = ±∞. lim x→±∞ 6 x 9 x2 − 1 x3

• B£ng bi‚n thi¶n:

x −∞ +∞

+ y(cid:48)

+∞+∞

y

−∞−∞

y

4

x

O

1

• H(cid:160)m sŁ (cid:31)(cid:231)ng bi‚n tr¶n R. • H(cid:160)m sŁ kh(cid:230)ng c(cid:226) c(cid:252)c tr(cid:224). • (cid:30)(cid:231) th(cid:224):

1

b) • (cid:30)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ qua A v(cid:160) c(cid:226) h» sŁ g(cid:226)c k c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

∆ : y = k(x − 1) + 4.

• Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh ho(cid:160)nh (cid:31)º giao (cid:31)i”m cıa ∆ v(cid:238)i (C) l(cid:160)

2x3 − 6x2 + 9x − 1 = k(x − 1) + 4

⇔(x − 1)(2x2 − 4x + 5 − k) = 0

⇔ (cid:20) x = 1 f (x) = 2x2 − 4x + 5 − k = 0 (1)

• V… k > 3 n¶n f (1) = 3 − k (cid:54)= 0, ∆(cid:48) = 2(k − 3) > 0.

Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1) lu(cid:230)n c(cid:226) hai nghi»m ph¥n bi»t a, b (cid:54)= 1. Suy ra ∆ lu(cid:230)n c›t (C) t⁄i 3 (cid:31)i”m ph¥n bi»t A(1; 4), M (a; k(a − 1) + 4), N (b, k(b − 1) + 4).

• Theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) Vi-†t ta c(cid:226) a + b = 2. Do (cid:31)(cid:226)

= = = 1 = xA, = 4 = yA. xM + xN 2 a + b 2 yM + yN 2 k(a + b − 2) + 8 2

Ngh(cid:190)a l(cid:160) A l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa M N .

C¥u 2.

√ a) T…m gi¡ tr(cid:224) nh(cid:228) nh§t v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t cıa h(cid:160)m sŁ y = x 4 − x2.

b) Cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh z2 − (4 + i)z + 5(1 + i) = 0 c(cid:226) hai nghi»m phøc z1, z2. T‰nh A = |z1|2 + |z2|2.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

a) T“p x¡c (cid:31)(cid:224)nh: D = [−2; 2]. Ta c(cid:226)

(cid:112) √ y(cid:48) = 4 − x2 − = . x2 4 − x2 4 − 2x2 √ 4 − x2 √ y(cid:48) = 0 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ± 2.

Ta c(cid:226) h(cid:160)m sŁ y li¶n t(cid:246)c tr¶n D v(cid:160) √ √ y(−2) = y(2) = 0, y(− 2) = −2, y( 2) = 2,

D

N¶n √ √ y = y( 2) = 2, min y = y(− 2) = −2. max D

b) Ta c(cid:226) ∆ = (4 + i)2 − 20(1 + i) = −5 − 12i = 4 − 12i + 9i2 = (2 − 3i)2. N¶n mºt c«n b“c hai cıa ∆ l(cid:160) δ = 2 − 3i. Do (cid:31)(cid:226)

= 3 − i. z1 = = 1 + 2i, z2 = (4 + i) + (2 − 3i) 2

(cid:16)√ (cid:16)√ (4 + i) − (2 − 3i) 2 32 + 12(cid:17)2 12 + 22(cid:17)2 + = 15. V“y A =

2(x + 4) +

log√ C¥u 3. Gi£i b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh log4 x8 > log2(x + 1) + 2 (x ∈ R). 1 2 1 4

2

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i. (cid:40) (cid:40) ⇔ (cid:30)i•u ki»n: x + 1 > 0 x8 > 0 x > −1 x (cid:54)= 0.

Trong (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:226) b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

log2(x + 4) + log2 |x| > log2(x + 1) + log2 4

⇔ log2 |x|(x + 4) > log2 4(x + 1) ⇔ |x|(x + 4) > 4(x + 1) (1)

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: −1 < x < 0. Khi (cid:31)(cid:226) √ √ 3 < x < −4 + 2 3. (1) ⇔ −x2 − 4x > 4x + 4 ⇔ x2 + 8x + 4 < 0 ⇔ −4 − 2

√ Do (cid:31)(cid:226) x ∈ (−1; −4 + 2 3).

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: x > 0. Khi (cid:31)(cid:226)

(1) ⇔ x2 + 4x > 4x + 4 ⇔ x2 > 4 ⇔ (cid:20)x < −2 x > 2 .

√ Do (cid:31)(cid:226) x ∈ (2; +∞). V“y t“p nghi»m cıa b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh l(cid:160) S = (−1; −4 + 2 3) ∪ (2; +∞).

C¥u 4. T…m m (cid:31)” h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 1 nghi»m

(cid:40) (x, y ∈ R). x2 + y2 + 13 − m2 = 2(3x − 2y) x2 + y2 + 40 − 4m2 = 2(4y − 5x + 2m)

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

H» (cid:31)¢ cho c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l⁄i nh(cid:247) sau

(cid:40) (1) (x − 3)2 + (y + 2)2 = m2 (x + 5)2 + (y − 4)2 = (2m + 1)2

Do (cid:31)(cid:226) sŁ nghi»m cıa h» (1) ch‰nh l(cid:160) sŁ giao (cid:31)i”m cıa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng

(C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = m2, (S) : (x + 5)2 + (y − 4)2 = (2m + 1)2.

(cid:26) (cid:27) − ; 0 C¡c (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (C) v(cid:160) (S) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn n‚u m /∈ . Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) h(cid:247)(cid:238)ng gi£i quy‚t nh(cid:247) sau: 1 2

C¡ch 1: Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: m = 0. Ta c(cid:226)

(cid:40)   (1) ⇔ ⇔ (v(cid:230) nghi»m). (x − 3)2 + (y + 2)2 = 0 (x + 5)2 + (y − 4)2 = 1  x = 3 y = −2 100 = 1

. Ta c(cid:226) Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: m = − 1 2

    x = −5 y = 4 (1) ⇔ ⇔ (v(cid:230) nghi»m). 1 (x − 3)2 + (y + 2)2 = 4 (x + 5)2 + (y − 4)2 = 0  100 =  1 4

3

(cid:26) (cid:27) − ; 0 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3: m /∈ . Khi (cid:31)(cid:226) (C) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn t¥m I(3; −2) b¡n k‰nh R = |m| v(cid:160) (S) l(cid:160)

1 2 (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn t¥m J(−5; 4) b¡n k‰nh r = |2m + 1|. Ta c(cid:226)

H» (1) c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt nghi»m

⇔ ⇔ (cid:20) JI = R + r JI = |R − r| ⇔(C) ti‚p x(cid:243)c trong h(cid:176)c ti‚p x(cid:243)c ngo(cid:160)i v(cid:238)i (S) (cid:20) |m| + |2m + 1| = 10 (2) ||m| − |2m + 1|| = 10 (3) (cid:27) (cid:26) ⇔m ∈ − ; 3; −11; 9 . 11 3

Vi»c gi£i quy‚t c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2) v(cid:160) (3) ta ph£i chia kho£ng theo m (cid:31)” ph¡ tr(cid:224) tuy»t (cid:31)Łi kh¡ gi£i dÆng. (cid:30)” tr¡nh t…nh tr⁄ng (cid:31)(cid:226) ta ch(cid:243) (cid:254) r‹ng n‚u trł v‚ theo v‚ c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh trong h» ban (cid:31)ƒu ta (cid:31)(cid:247)æc mºt ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh b“c nh§t theo x, y nh(cid:247) sau

16x − 12y − 3m2 − 4m + 27 = 0.

Ngh(cid:190)a l(cid:160) h» (cid:31)¢ cho (cid:31)(cid:247)æc vi‚t th(cid:160)nh

(cid:40) (4) (x − 3)2 + (y + 2)2 = m2 16x − 12y − 3m2 − 4m + 27 = 0

SŁ nghi»m cıa h» (4) ch‰nh l(cid:160) sŁ giao (cid:31)i”m cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ : 16x − 12y − 3m2 − 4m + 27 = 0 v(cid:238)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng (C) : (x − 3)2 + (y + 2)2 = m2. Tł (cid:31)¥y ta c(cid:226) h(cid:247)(cid:238)ng gi£i quy‚t nh(cid:247) sau: C¡ch 2: Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: m = 0. Ta c(cid:226)

(cid:40)   ⇔ (1) ⇔ (v(cid:230) nghi»m). (x − 3)2 + (y + 2)2 = 0 (x + 5)2 + (y − 4)2 = 1  x = 3 y = −2 100 = 1

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: m (cid:54)= 0. Ta c(cid:226) (C) l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng trÆn t¥m I(3; −2) b¡n k‰nh R = |m|. Do (cid:31)(cid:226)

H» (1) c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng mºt nghi»m

⇔(C) ti‚p x(cid:243)c v(cid:238)i ∆

⇔d(I, ∆) = R ⇔

= |m| (cid:26) (cid:27) ⇔ ⇔ m ∈ − ; 3; −11; 9 . (cid:12)99 − 3m2 − 4m(cid:12) (cid:12) (cid:12) 20 (cid:20) 99 − 3m2 − 4m = 20m 99 − 3m2 − 4m = −20m 11 3

0

C¥u 5. T‰nh t‰ch ph¥n √ (cid:90) 1 x3 − 1 − x I = dx. x + 3

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

0

0

Ta c(cid:226) √ (cid:90) 1 (cid:90) 1 I = dx − dx = A − B. x3 x + 3 1 − x x + 3

1

T‰nh A: Ta c(cid:226) (cid:18) (cid:19) (cid:90) 1 A = x2 − 3x + 9 − dx 27 x + 3

0 (cid:18) 1 3

0

x3 − x2 + 9x − 27 ln(x + 3) = − 27 ln . = 3 2 47 6 4 3 (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

4

1

1

√ T‰nh B: (cid:30)(cid:176)t t = 1 − x ⇒ x = 1 − t2 ⇒ dx = −2tdt. (cid:30)Œi c“n: x t 0 1 1 0 (cid:90) 1 (cid:90) 0 t B = dt t2 t2 − 4

0 (cid:19)

0

0

(cid:18) (cid:18) = −2 1 + t + ln − dt = −2 4 − t2 (−2tdt) = −2 (cid:90) 1 1 1 t + 2 t − 2 t − 2 t + 2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:19) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

= −2 + 2 ln 3.

b

V“y I = − 27 ln 4 + 25 ln 3. 59 6

C¥u 6. Trong m(cid:176)t phflng v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxy, cho h…nh chœ nh“t ABCD, c¡c (cid:31)i”m M v(cid:160) N lƒn l(cid:247)æt a thuºc c⁄nh AB v(cid:160) BC sao cho AM = BC v(cid:160) BM = CN , (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN qua (cid:31)i”m E(14; 0), (cid:31)i”m A thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : 2x − y + 2 = 0 v(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng CM : 3x + y − 30 = 0. T…m t(cid:229)a (cid:31)º (cid:31)¿nh A.

M

B

A

3

1

1

2

F

N1

H

1

E

D

C

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

B(cid:160)i to¡n cho A thuºc (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d : 2x − y + 2 = 0, (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN qua E(14; 0) v(cid:160) cho (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng CM : 3x + y − 30 = 0 cho n¶n (cid:31)” t…m A ta ph£i vi‚t (cid:31)(cid:247)æc ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN . Ngh(cid:190)a l(cid:160) ph£i t…m (cid:31)(cid:247)æc g(cid:226)c t⁄o b(cid:240)i (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN v(cid:160) CM . B‹ng c¡ch d(cid:242)ng th(cid:247)(cid:238)c ¶ke ta d(cid:252) (cid:31)o¡n g(cid:226)c (cid:31)(cid:226) b‹ng 450. V(cid:160) sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ h(cid:247)(cid:238)ng gi£i quy‚t: C¡ch 1: (cid:30)(cid:176)t AM = BC = a > 0, BM = CN = b > 0. Ta c(cid:226) AB = a + b, BN = a − b. N¶n

= = . tan (cid:99)M1 = , tan (cid:99)N1 = BC BM a b AB BN a + b a − b

Do (cid:31)(cid:226) (cid:16) (cid:17) tan = = −1 ⇒ (cid:99)M1 + (cid:99)N1 = 1350. (cid:99)M1 + (cid:99)N1 tan (cid:99)M1 + tan (cid:99)N1 1 − tan (cid:99)M1 · tan (cid:99)N1

Th(cid:160)nh thß (cid:16) (cid:17) (cid:92)M HN = 3600 − = 1350 ⇒ (cid:92)M HA = 450. (cid:99)M1 + (cid:99)N1 + (cid:99)B1

C¡ch 2: L§y (cid:31)i”m F thuºc c⁄nh AD sao cho AF = CN = BM . Tø gi¡c AF CN l(cid:160) h…nh b…nh h(cid:160)nh n¶n AN (cid:107) CF . Ta c(cid:226) ∆AF M = ∆BM C n¶n

M F = M C, (cid:99)M3 = (cid:99)C1.

Do (cid:31)(cid:226) (cid:99)M3 + (cid:99)M1 = (cid:99)C1 + (cid:99)M1 = 900 ⇒ (cid:99)M2 = 900. N¶n tam gi¡c M CF vu(cid:230)ng c¥n t⁄i M . Th(cid:160)nh thß (cid:92)M HA = (cid:92)M CF = 450.

5

C¡ch 3: Ch(cid:229)n h» t(cid:229)a (cid:31)º m(cid:238)i Bxy v(cid:238)i Bx ≡ BA, By ≡ BC. (cid:30)(cid:176)t AM = BC = a > 0, BM = CN = b > 0. Ta c(cid:226) AB = a + b, BN = a − b. Ta c(cid:226)

−→ AN = (−a − b; a − b),

−→ CM = (b; −a).

A(a + b; 0), M (b; 0), N (0; a − b), C(0; a),

Do (cid:31)(cid:226)

−→ CM

−→ n = (u, v) (cid:54)= (0; 0) l(cid:160) vect(cid:236) ph¡o tuy‚n cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng AN . Vect(cid:236) ph¡o tuy‚n cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng

cos (cid:92)(AN, CM ) = = ⇒ (cid:92)(AN, CM ) = 450. (cid:18) −→ AN , = (cid:12) (cid:12) cos (cid:12) (cid:12) (cid:19)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) 1 √ 2 (cid:12)−ab − b2 − a2 + ab(cid:12) (cid:12) (cid:12) √ a2 + b2 (cid:112)(a + b)2 + (a − b)2 ·

−→ n1 = (3; 1). Ta c(cid:226)

G(cid:229)i CM l(cid:160)

−→ n1

(cid:16)−→ n , cos (cid:92)(AN, CM ) = (cid:17)(cid:12) (cid:12) (cid:12) = 1 √ 2

√ √ ⇔ ⇔ 9u2 + 6uv + v2 = 5u2 + 5v2 = |3u + v| u2 + v2 · 10

(cid:12) (cid:12) (cid:12)cos 1 √ 2 ⇔4u2 + 6uv − 4v2 = 0 ⇔ (u + 2v)(2u − v) = 0

−→ n = (2; −1). Do (cid:31)(cid:226) AN : 2x−y−28 = 0.

⇔ (cid:20) u + 2v = 0 2u − v = 0.

−→ n = (1; 2). Do (cid:31)(cid:226) AN : x + 2y − 14 = 0.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: u+2v = 0 ⇒ u (cid:54)= 0. Ch(cid:229)n u = 2 ⇒ v = −1 ⇒ Ta c(cid:226) AN (cid:107) d n¶n kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i (cid:31)i”m A.

Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: 2u − v = 0 ⇒ u (cid:54)= 0. Ch(cid:229)n u = 1 ⇒ v = 2 ⇒ Ta c(cid:226) A l(cid:160) giao (cid:31)i”m cıa AN v(cid:238)i d n¶n A(2; 6). C¥u 7. H…nh ch(cid:226)p S.ABC c(cid:226) (cid:31)¡y ABC l(cid:160) tam gi¡c vu(cid:230)ng t⁄i B, (cid:92)ACB = 300, SA = 3a, SA t⁄o v(cid:238)i (cid:31)¡y mºt g(cid:226)c 600, G l(cid:160) tr(cid:229)ng t¥m tam gi¡c ABC, hai m(cid:176)t phflng (SBG) v(cid:160) (SCG) c(cid:242)ng vu(cid:230)ng g(cid:226)c v(cid:238)i (cid:31)¡y. T‰nh theo a th” t‰ch khŁi ch(cid:226)p S.ABC v(cid:160) kho£ng c¡ch giœa hai (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng SB, AC.

S

C

T

A

D

G

E

K

B

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

√ √ b 3 BC = . G(cid:229)i D l(cid:160) trung (cid:31)i”m cıa BC. (cid:30)(cid:176)t AB = b > 0. Ta c(cid:226) BC = AB cot(cid:92)BCA = b 3, BD = 1 2 2

6

  • Ta c(cid:226) ⇒ SG ⊥ (ABC). Do (cid:31)(cid:226) (cid:92)(SA, (ABC)) = (cid:91)SAG = 600. N¶n  (SBG) ⊥ (ABC) (SCG) ⊥ (ABC) (SBG) ∩ (SCG) = SG

√ 3 , AG = SA cos (cid:91)SAG = ⇒ AD = AG = . SG = SA sin (cid:91)SAG = 3a 2 3 2 9a 4 3a 2

Tam gi¡c BAD vu(cid:230)ng t⁄i B n¶n √ 9 7a AD2 = AB2 + BD2 ⇔ a2 = b2 + b2 ⇔ b2 = ⇔ b = . 81a2 28 14 81 16 3 4 √ √ 3a2 81 AB · BC = b2 = . V“y Do (cid:31)(cid:226) SABC = 1 2 3 2 56

. VS.ABC = SG · SABC = 1 3 243a3 112

• D(cid:252)ng h…nh b…nh h(cid:160)nh ABEC. G(cid:229)i K, T lƒn l(cid:247)æt l(cid:160) h…nh chi‚u vu(cid:230)ng g(cid:226)c cıa G tr¶n BE, SK. Ta c(cid:226) AC (cid:107) BE n¶n AC (cid:107) (SBE). Do (cid:31)(cid:226)

d(AC,SB) = d(AC, (SBE)) = d(A, (SBE)) = d(G, (SBE)). 3 2

Ta c(cid:226) BE ⊥ GK v(cid:160) BE ⊥ SG n¶n BE ⊥ (SGK) ⇒ BE ⊥ GT . M(cid:160) SK ⊥ GT n¶n GT ⊥ (SBE). Do v“y d(G, (SBE)) = GT.

Ta c(cid:226) √ 3 AB sin(cid:92)BAC = . d(A, BE) = d(B, AC) = GK = d(G, BE) = 2 3 2 3 2 3 21a 14

GT l(cid:160) (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng cao cıa tam gi¡c vu(cid:230)ng SGK n¶n √ 3 √ GT = = . = SG · GK SK 6a 8 SG · GK SG2 + GK2

V“y √ 9 6a . d(AC,SB) = 16

= = C¥u 8. Trong kh(cid:230)ng gian v(cid:238)i h» t(cid:229)a (cid:31)º Oxyz, cho (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ : , m(cid:176)t phflng x − 1 3 y + 1 1 z 2

(P ) : x − 3y + 4z − 1 = 0 v(cid:160) (cid:31)i”m A(3; 1; 1). Vi‚t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng d qua A, c›t (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng ∆ v(cid:160) song song v(cid:238)i m(cid:176)t phflng (P ).

−→ n = (1; −3; 4). Ta c(cid:226)

−→ AM = (3a − 2; a − 2; 2a − 1), vect(cid:236) ph¡p tuy‚n cıa m(cid:176)t phflng (P ) l(cid:160)

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i. G(cid:229)i M l(cid:160) giao (cid:31)i”m cıa d v(cid:238)i ∆. M ∈ ∆ ⇒ M (3a + 1; a − 1; 2a), vect(cid:236) ch¿ ph(cid:247)(cid:236)ng cıa (cid:31)(cid:247)(cid:237)ng thflng

d l(cid:160)

−→ n = 0

(cid:40) ⇔ ⇔ a = 0. d (cid:107) (P ) ⇔ 3 − 3 + 4 − 1 (cid:54)= 0 ((cid:31)(cid:243)ng) 3a − 2 − 3(a − 2) + 4(2a − 1) = 0 (cid:40)A /∈ (P ) −→ AM ·

−→ AM = (−2; −2; −1). Do (cid:31)(cid:226)

Tł (cid:31)(cid:226) c(cid:226)

  d :  x = 3 + 2t y = 1 + 2t z = 1 + t.

7

C¥u 9. C(cid:226) 6 ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)ang (cid:31)øng (cid:240) s¥n ga (cid:31)” chu'n b(cid:224) l¶n mºt (cid:31)o(cid:160)n t(cid:160)u ch¿ cÆn 3 toa trŁng. T‰nh x¡c su§t (cid:31)” mØi toa c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 2 ng(cid:247)(cid:237)i l¶n.

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

G(cid:229)i Ω l(cid:160) kh(cid:230)ng gian m¤u, A l(cid:160) bi‚n cŁ "mØi toa c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 2 ng(cid:247)(cid:237)i l¶n". T‰nh |Ω|: MØi ng(cid:247)(cid:237)i c(cid:226) (cid:31)(cid:243)ng 3 c¡ch ch(cid:229)n toa t(cid:160)u (cid:31)” l¶n. M(cid:160) c(cid:226) 6 ng(cid:247)(cid:237)i n¶n

|Ω| = 36 = 729.

T‰nh |ΩA|: Qu¡ tr…nh l¶n t(cid:160)u (cid:31)(cid:247)æc ti‚n h(cid:160)nh theo tuƒn t(cid:252)

• Ch(cid:229)n 2 ng(cid:247)(cid:237)i trong 6 ng(cid:247)(cid:237)i l¶n toa thø nh§t c(cid:226) C2 6 .

• Ch(cid:229)n 2 ng(cid:247)(cid:237)i trong 4 ng(cid:247)(cid:237)i cÆn l⁄i l¶n toa thø hai c(cid:226) C2 4 .

• Hai ng(cid:247)(cid:237)i cÆn l⁄i l¶n toa thø 3.

6 · C2

4 = 90. V“y x¡c su§t cıa bi‚n cŁ A l(cid:160)

Do (cid:31)(cid:226) |ΩA| = C2

P (A) = = . |ΩA| |Ω| 10 81

C¥u 10. Cho a, b, c, d l(cid:160) c¡c sŁ th(cid:252)c th(cid:228)a m¢n (a + b)(c + d)(ac − bd) (cid:54)= 0. Chøng minh r‹ng

√ + + 3. ≥ a − b a + b c − d c + d ad + bc ac − bd (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

Ph¥n t‰ch-L(cid:237)i gi£i.

, y = , z = . Ta c(cid:226) (cid:30)(cid:176)t x = a − b a + b c − d c + d ad + bc ac − bd

xy + yz + zx = + · · · + ad + bc ac − bd a − b a + b c − d c + d c − d c + d ad + bc ac − bd

+ · = (a − b)(c + d) + (c − d)(a + b) (a + b)(c + d) ad + bc ac − bd

+ =

= = 1. a − b a + b (a − b)(c − d) (a + b)(c + d) 2(ad + bc) (a − b)(c − d) (a + b)(c + d) (a + b)(c + d) ac − ad − bc + bd + 2(ad + bc) (a + b)(c + d)

Ta c(cid:226) (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ 0 ⇒ x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1.

Do (cid:31)(cid:226) (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) ≥ 3. Th(cid:160)nh thß

√ |x + y + z| ≥ 3 ((cid:31)i•u ph£i chøng minh).

8