Đ THI TH ĐI H C NĂM 2014.
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài: 180 phút
Đ S 6-BB
PHN CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu I (2 đi m) Cho hàm s y = x 3 – 3x2+2 (1)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1). ế
2. Tìm đi m M thu c đng th ng y=3x-2 sao t ng kho ng cách t M t i hai đi m c c tr nh ườ
nh t.
Câu II (2 đi m)
1. Gi i ph ng trình ươ
cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0+ =
2. Gi i b t ph ng trình ươ
( )
2
4x 3 x 3x 4 8x 6 +
Câu III ( 1đi m)Tính tích phân
3
6
cotx
I dx
sinx.sin x 4
π
π
=π
+
Câu IV (1 đi m)
Cho hình chóp S.ABC có m t đáy (ABC) là tam giác đu c nh a. Chân đng vuông góc h t ườ
S xu ng m t ph ng (ABC) là m t đi m thu c BC. Tính kho ng cách gi a hai đng th ng BC ườ
và SA bi t SA=a và SA t o v i m t ph ng đáy m t góc b ng 30ế 0.
Câu V (1 đi m) Cho a,b, c d ng và a ươ 2+b2+c2=3. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
PH N RIÊNG (3 đi m)
A. Theo ch ng trình chu nươ
Câu VI.a. (2 đi m)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đng tròn (C) : ườ
2 2
x y 2x 8y 8 0+ + =
. Vi tế
ph ng trình đng th ng song song v i đng th ng d: 3x+y-2=0 và c t đng tròn theoươ ườ ườ ườ
m t dây cung có đ dài b ng 6.
2. Cho ba đi m A(1;5;4), B(0;1;1), C(1;2;1). Tìm t a đ đi m D thu c đng th ng AB sao ườ
cho đ dài đo n th ng CD nh nh t.
Câu VII.a (1 đi m)
Tìm s ph c z tho mãn :
z 2 i 2−+=
. Bi t ph n o nh h n ph n th c 3 đn v .ế ơ ơ
B. Theo ch ng trình nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi m)
1. Tính giá tr bi u th c:
2 4 6 100
100 100 100 100
4 8 12 ... 200A C C C C= + + + +
.
2. Cho hai đng th ng có ph ng trình:ườ ươ
1
2 3
: 1
3 2
x z
d y
+
= + =
Vi t ph ng trình đng th ng c t dế ươ ườ 1 và d2 đng th i đi qua đi m M(3;10;1).
1
Câu VII.b (1 đi m)Gi i ph ng trình sau trên t p ph c: z ươ 2+3(1+i)z-6-13i=0
----------H t ----------ế
H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: … BB01064……..
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 đi m)
Câu N i dungĐi m
I
1
T p xác đnh: D=R
( ) ( )
3 2 3 2
lim 3 2 lim 3 2
x x
x x x x
− +
+ = − + = +
y’=3x2-6x=0
0
2
x
x
=
=
B ng bi n thiên: ế
x - 0 2 +
y’ + 0 - 0 +
2 +
y
- -2
Hàm s đng bi n trên ế
kho ng: (-;0) và (2; + )
Hàm s ngh ch bi n trên ế
kho ng (0;2)
fCĐ=f(0)=2; fCT=f(2)=-2
y’’=6x-6=0<=>x=1
khi x=1=>y=0
x=3=>y=2
x=-1=>y=-2
Đ th hàm s nh n đi m I(1;0) là tâm đi x ng.
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
2
G i t a đ đi m c c đi là A(0;2), đi m c c ti u B(2;-2)
Xét bi u th c P=3x-y-2
Thay t a đ đi m A(0;2)=>P=-4<0, thay t a đ đi m B(2;-2)=>P=6>0
V y 2 đi m c c đi và c c ti u n m v hai phía c a đng th ng ườ
y=3x-2, đ MA+MB nh nh t => 3 đi m A, M, B th ng hàng
Ph ng trình đng th ng AB: y=-2x+2ươ ườ
T a đ đi m M là nghi m c a h :
4
3 2 5
2 2 2
5
x
y x
y x y
=
=
= +
=
=>
4 2
;
5 5
M
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
II 1 Gi i ph ng trình: ươ
cos2x 2sin x 1 2sin x cos 2x 0
+ =
(1)
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 os2 1 2sin 1 2sin 0
os2 1 1 2sin 0
c x x x
c x x
=
=
Khi cos2x=1<=>
x k
π
=
,
k Z
Khi
1
sinx 2
=
2
6
x k
ππ
= +
ho c
52
6
x k
ππ
= +
,
k Z
0,5 đ
0,5 đ
2
Gi i b t ph ng trình: ươ
( )
2
4x 3 x 3x 4 8x 6 +
(1)
(1)
( )
()
2
4 3 3 4 2 0x x x +
Ta có: 4x-3=0<=>x=3/4
2
3 4 2x x +
=0<=>x=0;x=3
B ng xét d u:
x - 0 ¾ 2 +
4x-3 - - 0 + +
2
3 4 2x x +
+ 0 - - 0 +
V trái - 0 + 0 - 0 +ế
V y b t ph ng trình có nghi m: ươ
[
)
3
0; 3;
4
x +
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III
Tính
( )
( )
3 3
6 6
3
2
6
cot cot
2sinx sinx cos
sin x sin 4
cot
2sin x 1 cot
x x
I dx dx
x
x
xdx
x
π π
π π
π
π
π
= = +
+
=+
Đt 1+cotx=t
2
1
sin dx dt
x=
Khi
3 1
1 3;
6 3 3
x t x t
π π
+
= = + = =
V y
( )
3 1 3 1
3 1
3
3 1
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
t
I dt t t
t
++
+
+
= = =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3
IV
G i chân đng vuông góc h t S xu ng BC là H. ườ
Xét SHA(vuông t i H)
0
3
cos30 2
a
AH SA= =
Mà ABC đu c nh a, mà c nh
3
2
a
AH =
=> H là trung đi m c a c nh BC
=> AH BC, mà SH BC =>
BC(SAH)
T H h đng vuông góc xu ng SA ườ
t i K
=> HK là kho ng cách gi a BC và SA
=>
0
3
AH sin 30 2 4
AH a
HK = = =
V y kho ng cách gi a hai đng th ng BC và SA b ng ườ
3
4
a
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
V
Ta có:
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
a a b a a
b b
+
+ + =
+ +
(1)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c
+
+ + =
+ +
(2)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a
+
+ + =
+ +
(3)
L y (1)+(2)+(3) ta đc: ượ
( )
2 2 2
2 2 2
9 3
16 4
abc
P a b c
+ + +
+ + +
(4)
Vì a2+b2+c2=3
T (4)
3
2
P۳
v y giá tr nh nh t
3
2
P=
khi a=b=c=1.
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
PH N RIÊNG (3 đi m)
A. Theo ch ng trình chu nươ
VI.a 1 Đng tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5ườ
G i ph ng trình đng th ng c n tìm là ươ ườ ,
=> : 3x+y+c=0, c2 (vì // v i đng th ng 3x+y-2=0) ườ
Vì đng th ng c t đng tròn theo m t dây cung có đ dài b ng 6=>ườ ườ
kho ng cách t tâm I đn ế b ng
2 2
5 3 4 =
( )
2
4 10 1
3 4
, 4
3 1 4 10 1
c
c
d I
c
=
+ +
= =
+ =
(th a mãn c2)
V y ph ng trình đng tròn c n tìm là: ươ ườ
3 4 10 1 0x y+ + =
ho c
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
4
H
A
C
B
S
K
3 4 10 1 0x y+ =
.0,25 đ
2
Ta có
( )
1; 4; 3AB =
uuur
Ph ng trình đng th ng AB: ươ ườ
1
5 4
4 3
x t
y t
z t
=
=
=
Đ đ dài đo n CD ng n nh t=> D là hình chi u vuông góc c a C trên ế
c nh AB, g i t a đ đi m D(1-a;5-4a;4-3a)
( ;4 3;3 3)DC a a a= uuur
Vì
AB DC
uuur uuur
=>-a-16a+12-9a+9=0<=>
21
26
a=
T a đ đi m
5 49 41
; ;
26 26 26
D
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
VII.a
G i s ph c z=a+bi
Theo bài ra ta có:
( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 2 1 4
32
a b i a b
b a b a
+ + = + + =
= =
2 2
1 2
2 2
1 2
a
b
a
b
=
=
= +
= +
V y s ph c c n tìm là: z=
2 2
+(
1 2
)i; z= z=
2 2+
+(
1 2 +
)i.
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
A. Theo ch ng trình nâng caoươ
VI.b
1
Ta có:
( )
100 0 1 2 2 100 100
100 100 100 100
1 ...x C C x C x C x+ = + + + +
(1)
( )
100 0 1 2 2 3 3 100 100
100 100 100 100 100
1 ...x C C x C x C x C x = + + +
(2)
L y (1)+(2) ta đc: ượ
( ) ( )
100 100 0 2 2 4 4 100 100
100 100 100 100
1 1 2 2 2 ... 2x x C C x C x C x+ + = + + + +
L y đo hàm hai v theo n x ta đc ế ượ
( ) ( )
99 99 2 4 3 100 99
100 100 100
100 1 100 1 4 8 ... 200x x C x C x C x+ = + + +
Thay x=1 vào
=>
99 2 4 100
100 100 100
100.2 4 8 ... 200A C C C= = + + +
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 G i đng th ng c n tìm là d và đng th ng d c t hai đng th ng ườ ườ ườ
d1 và d2 l n l t t i đi m A(2+3a;-1+a;-3+2a) và B(3+b;7-2b;1-b). ượ
Do đng th ng d đi qua M(3;10;1)=> ườ
MA k MB=
uuur uuur
( ) ( )
3 1; 11; 4 2 , ; 2 3;MA a a a MB b b b= + =
uuur uuur
3 1 3 1 1
11 2 3 3 2 11 2
4 2 2 4 1
a kb a kb a
a kb k a k kb k
a kb a kb b
= = =
= + + = =
+ = + = =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
5