Đ THI TH ĐI H CỀ Ử Ạ Ọ NĂM 2014.
Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài:ờ 180 phút
Đ S 9-BBỀ Ố
PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7 đi m):Ầ Ấ Ả ể
Câu I: (2 đi mể) Cho hàm s ố
2 2
1
x
yx
−
=+
(C)
1. Kh o sát hàm s .ả ố
2. Tìm m đ đng th ng d: y = 2x + m c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB =ể ườ ẳ ắ ồ ị ạ ể ệ
5
.
Câu II: (2 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 cos 5 . cos 3 sin cos8 x x x x
+ =
, (x R)
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2
5 3
x y x y y
x y
+ + − =
+ =
(x, y R)
Câu III: (1 đi mể) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đng ệ ẳ ớ ạ ở ườ
1
x
y e= +
,tr c hoành, x =ụ
ln3 và x = ln8.
Câu IV: (1 đi mể) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đng chéo AC = ườ
2 3a
,
BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ngắ ạ ặ ẳ ớ ặ ẳ
(ABCD). Bi t kho ng cách t đi m O đn m t ph ng (SAB) b ng ế ả ừ ể ế ặ ẳ ằ
3
4
a
, tính th tích kh i chópể ố
S.ABCD theo a.
Câu V: (1 đi mể) Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ
( ) ( )
3 3 2 2
( 1)( 1)
x y x y
Px y
+ − +
=− −
PH N RIÊNG (3 đi m)Ầ ể : Thí sinh ch đc làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c B)ỉ ượ ộ ầ ầ ặ
A. Theo ch ng trình Chu nươ ẩ
Câu VI.a (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đng tròn (C): xặ ẳ ớ ệ ọ ộ ườ 2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm
I và đng th ng ườ ẳ : mx + 4y = 0. Tìm m bi t đng th ng ế ườ ẳ c t đng tròn (C) t i hai đi mắ ườ ạ ể
phân bi t A,B th a mãn di n tích tam giác IAB b ng 12.ệ ỏ ệ ằ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m A (6;-2;3); B (2;-1;3); C (4;0;-1).ớ ệ ọ ộ ể
Ch ng minh r ng: A, B, C là ba đnh c a m t tam giác. Tìm đ dài đng cao c a tam giácứ ằ ỉ ủ ộ ộ ườ ủ
ABC k t đnh A.ẻ ừ ỉ
Câu VII.a (1 đi mể) Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
B. Theo ch ng trình Nâng caoươ
Câu VI.b (2 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ng trình c nh AB: x - y - 2 = 0,ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ươ ạ
ph ng trình c nh AC: x + 2y - 5 = 0. Bi t tr ng tâm c a tam giác G(3; 2). Vi t ph ng trìnhươ ạ ế ọ ủ ế ươ
c nh BC.ạ
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đng th ng ớ ệ ụ ọ ộ ườ ẳ :
1 3
1 1 4
x y z− −
= =
và đi mể
M(0 ; - 2 ; 0). Vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua đi m M song song v i đng th ng ế ươ ặ ẳ ể ớ ườ ẳ
đng th i kho ng cách gi a đng th ng ồ ờ ả ữ ườ ẳ và m t ph ng (P) b ng 4.ặ ẳ ằ
Câu VII.b (1 đi mể) Gi i ph ng trình nghi m ph c : ả ươ ệ ứ
25 8 6z i
z
+ = −
----------H t ----------ế
H và tên thí sinh: ………………………………………………; S báo danh: …ọ ố BB01064……..
ĐÁP ÁN Đ THI TH ĐI H C - NĂM: 2010-2011Ề Ử Ạ Ọ
CÂU N I DUNGỘĐI MỂ
I-1
(1 đi m)ể
T p xác đnh D = R\ậ ị - 1
S bi n thiên:ự ế
-Chi u bi n thiên: ề ế
.
Hàm s ngh ch bi n trên các kho ng (- ố ị ế ả ; - 1) và (- 1 ; + ).
- C c tr : Hàm s không có c c tr .ự ị ố ự ị
0,25
- Gi i h n t i vô c c, gi i h n vô c c và ti m c n:ớ ạ ạ ự ớ ạ ự ệ ậ
2 2 2 2
lim 2 ; lim 2
1 1
x x
x x
x x
− +
− −
= =
+ +
. Đng th ng y = 2 là ti m c n ngang.ườ ẳ ệ ậ
1 1
2 2 2 2
lim ; lim
1 1
x x
x x
x x
− +
− −
− −
= + = −
+ +
. Đng th ng x = - 1 là ti m c n đng.ườ ẳ ệ ậ ứ
0,25
-B ng bi n thiên: ả ế
x-- 1 +
y’ + +
y
+2
2 -
0,25
Đ th :ồ ị
-Đ th hàm s c t tr c Ox t i đi m (1;0)ồ ị ố ắ ụ ạ ể
-Đ th hàm s c t tr c Oy t i đi m (0;- 2)ồ ị ố ắ ụ ạ ể
- Đ th hàm s có tâm đi x ng là giao đi mồ ị ố ố ứ ể
hai ti m c n I(- 1; 2).ệ ậ
0,25
I-2
(1 đi m)ể
Ph ng trình hoành đ giao đi m: 2xươ ộ ể 2 + mx + m + 2 = 0 , (x≠ - 1) (1) 0,25
d c t (C) t i 2 đi m phân bi t ắ ạ ể ệ PT(1) có 2 nghi m phân bi t khác -1 ệ ệ m2 - 8m - 16 > 0
(2) 0,25
G i A(xọ1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m. Ta có x1, x2 là 2 nghi m c a PT(1).ệ ủ
Theo ĐL Viét ta có
1 2
1 2
2
2
2
m
x x
m
x x
+ = −
+
=
.0,25
AB2 = 5
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5x x x x− + − =
2
1 2 1 2
( ) 4 1xx x x+ − =
m2 - 8m - 20 = 0
m = 10 , m = - 2 ( Th a mãn (2))ỏ
KL: m = 10, m = - 2.
0,25
y
x
2y=2
x= -1
-1 O
1
-2
II-1
(1 đi m)ể
PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x 0,25
1- 2sin2x + sinx = 0 0,25
sinx = 1 v
1
sin 2
x= −
0,25
7
2 ; 2 ; 2 , ( )
2 6 6
x k x k x k k Z
π π π
π π π
= + = − + = +
0,25
II-2
(1 đi m)ể
ĐK: x + y 0 , x - y 0, y 0 0,25
PT(1)
2 2 2 2
2 2 4 2x x y y x y y x+ − = − = −�
2
2 0 (3)
5 4 (4)
y x
y xy
−
=
0,25
T PT(4) ừ y = 0 v 5y = 4x
V i y = 0 th vào PT(2) ta có x = 9 (Không th a mãn đk (3))ớ ế ỏ 0,25
V i 5y = 4x th vào PT(2) ta có ớ ế
2 3 1x x x+ = =�
KL: HPT có 1 nghi m ệ
4
( ; ) 1; 5
x y � �
=� �
� �
0,25
III
(1 đi m)ể
Di n tích ệ
ln8
ln 3
1
x
S e dx= +
; Đt ặ
2 2
1 1 1
x x x
t e t e e t= + = + = −� �
0,25
Khi x = ln3 thì t = 2 ; Khi x = ln8 thì t = 3; Ta có 2tdt = exdx
2
2
1
t
dx dt
t
=−
0,25
Do đó
3 3
2
2 2
2 2
2 2
2
1 1
t
S dt dt
t t
� �
= = + =
� �
− −
� �
� �
0,25
=
3
1 3
2 ln 2 ln
2
1 2
t
tt
−
� � � �
+ = + � �
� �
+� �
� �
(đvdt) 0,25
IV
(1 đi m)ể
T gi thi t AC = ừ ả ế
2 3a
; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung đi m O c a m iớ ạ ể ủ ỗ
đng chéo.Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = ườ ạ
3a
; BO = a , do đó
ﾷ
0
60A DB=
Hay tam giác ABD đu.ề
T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD) nên ừ ả ế ặ ẳ ớ ặ ẳ
giao tuy n c a chúng là SO ế ủ (ABCD).
0,25
Do tam giác ABD đu nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a HB ta cóề ớ ể ủ ể ủ
DH AB⊥
và DH =
3a
; OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH= =
OK AB AB (SOK)
G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI ọ ế ủ SK; AB OI OI (SAB) , hay OI là kho ng ả
cách t O đn m t ph ng (SAB).ừ ế ặ ẳ
0,25
Tam giác SOK vuông t i O, OI là đng cao ạ ườ
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + =�
Di n tích đáy ệ
2
4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OA OB a
∆
= = =
;
đng cao c a hình chóp ườ ủ
2
a
SO =
.
Th tích kh i chóp S.ABCD: ể ố
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO= =
0,25
0,25
S
A
B
K
H
C
O
I
D
3a
a
V
(1 đi m)ể
Đt t = x + y ; t > 2. Áp d ng BĐT 4xy ặ ụ (x + y)2 ta có
2
4
t
xy
0,25
3 2
(3 2)
1
t t xy t
Pxy t
− − −
=− +
. Do 3t - 2 > 0 và
2
4
t
xy− −
nên ta có
2
3 2
2
2
(3 2)
4
2
1
4
t t
t t t
Ptt
t
−
− −
= −
− +
0,25
Xét hàm s ố
2 2
2
4
( ) ; '( ) ;
2 ( 2)
t t t
f t f t
t t
−
= =
− −
f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
t2 4 +
f’(t) - 0 +
f(t)
+ +
8
0,25
Do đó min P =
(2; )
min ( )f t
+
= f(4) = 8 đt đc khi ạ ượ
4 2
4 2
x y x
xy y
+ = =
� �
� �
= =
� �
0,25
VI.a -1
(1 đi m)ể
Đng tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.ườ 0,25
G i H là trung đi m c a dây cung AB. ọ ể ủ
Ta có IH là đng cao c a tam giác IAB.ườ ủ
IH =
2 2
| 4 | | 5 |
( , )
16 16
m m m
d I
m m
+
∆ = =
+ +
0,25
2
2 2
22
(5 ) 20
25 16 16
m
AH IA IH mm
= − = − =
++
0,25
Di n tích tam giác IAB là ệ
2
3
( , ). 12 25 | | 3( 16) 16
3
m
d I AH m m m
=
∆ = = +� � =
0,25
VI.a -2
(1 đi m)ể
G i A = dọ1(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 (P) suy ra B(2; 3; 1) 0,25
Đng th ng ườ ẳ th a mãn bài toán đi qua A và B.ỏ0,25
M t vect ch ph ng c a đng th ng ộ ơ ỉ ươ ủ ườ ẳ là
(1;3; 1)u= −
r
0,25
Ph ng trình chính t c c a đng th ng ươ ắ ủ ườ ẳ là:
1 2
1 3 1
x y z− −
= = −
0,25
VII.a
(1 đi m)ể
Đi u ki n: x> 0 ; BPT ề ệ
2
2 2
4log 2log
2 20 0
x x
x+ −
0,25
Đt ặ
2
logt x=
. Khi đó
2
t
x=
.
BPT tr thành ở
2 2
2 2
4 2 20 0
t t
+ −
. Đt y = ặ
2
2
2
t
; y 1. 0,25
BPT tr thành yở2 + y - 20 0 - 5 y 4. 0,25
Đi chi u đi u ki n ta cóố ế ề ệ :
2
2 2 2
2 4 2 2 1
t
t t�
- 1 t 1.
Do đó - 1
2
log x
1
12
2x
0,25
I
AB
H
5