SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2012-2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian phát đề. Ngày thi: 8/12/2012

2

= -

+ 4

-

Câu I (2.0 điểm) Cho hàm số

y

x

4x

3 (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

+ 4

2. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

có nghiệm

x

4x

- = 2 3

2 7m m

- -

thuộc đoạn

2; 5

 

  .

-

Câu II (2.0 điểm)

6

6

+

+ =

4 sin

4 cos

3 4 cos

cos

1. Giải phương trình:

.

x 2

x 2

2x 3 4

6x 4

  

  

  

  

+

+ x 4

+ x 4

+

>

x 8.3

2x 3

+ 1 9

.

- p - p

2. Giải bất phương trình: Câu III (2.0 điểm) Cho hình lặng trụ đứng ABC.A ' B 'C ' có AB a,=

= AC 2a,

và

. Gọi K là trung điểm của cạnh CC ' .

= AA ' 2a 5

(cid:1) 0 = BAC 120

1. Tính thể tích khối chóp A.A 'BK . 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A 'B'BK .

)

3. Gọi I là trung điểm của BB ' , tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (

A 'BK .

Câu IV (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,

+

=

và

. Trung

tâm I là giao điểm của hai đường thẳng

- = 1d :x y 2 0

2d :2x 4y 13 0

điểm M của cạnh AD là giao điểm của

1d với trục Ox . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ

- -

nhật biết điểm A có tung độ dương. Câu V (1.0 điểm) Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng. Câu VI (1.0 điểm) Giải hệ phương trình:

2

2

3

+ +

+

=

3y

y 4x

+ 22x 21 (2x 1) 2x 1

(1)

˛ ℝ

- -

(

)

x, y

2

2x

+ = 11x 9 2y

(2)

 +  y  

+ + =

Tìm giá

-

Câu VII (1.0 điểm) Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: x y z

3 3.

trị nhỏ nhất của biểu thức:

=

+

+

+

.

P

2

2

+

+

1 2 y

x

z

1 xy

1 yz

1 zx

-------------------------- Hết -------------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:................................................... Số báo danh:.................................. (Đề thi gồm 01 trang)

SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, A1 (Đáp án – thang điểm gồm 04 trang)

Điểm

2

= -

-

Đáp án + 4 4x x

y

3

Câu I (2.0 điểm)

= -

1. (1.0 điểm) Khảo sát hàm số • Tập xác định: D = ℝ . = - • Sự biến thiên:

,

lim y x

¥ ¥ fi - ¥

0.25

lim y fi+¥ x = x 0 = –

Bảng biến thiên:

3 = - + 3 y ' 4x = (cid:219) 8x, y ' 0 ⇒ = - y ⇒ = x 2 y 1   

2

0 2 +¥

- ¥ -

0.25

x y ' y

+ 0 – 0 + 0 – 1 1 CĐ CĐ CT 3-

- ¥ ¥

- +¥ 2;0), ( 2;

)

;

và đb trên (

Hàm số nb trên các khoảng (

- - ¥ -

0.25

= -

= –

= x 0, y

3

x

1

2, y

Hàm số đạt cực tiểu tại

và đạt cực đại tại

.

CT

2), (0; 2) = C §

• Đồ thị:

x

1–

3

y

0

0

2– 3-

–

0.25

- Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

2

= -

+ 4

=

=

2. (1.0 điểm) Tìm m để phương trình có nghiệm … Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y

2 7m m.

g(x)

d : y

4x

x

3 (C ') và đường thẳng

Vẽ đồ thị (C '), ta có:

- -

0.25

2

4

2

+ 4

x

4x

3 0

=

= -

+ 4

y

x

4x

- = 2 3

g x ( )

4

4x + 2

- < 2

- - - ‡

x

4x

+ 3 n u x ê + 4 x

n

3

4x

3 0

- - êu -   

0.25

Từ (C) ta vẽ (C ') như sau: - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox. - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục Ox qua trục Ox. - Xóa phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox. ⇒ Ta

thu được đồ

thị (C ') . Sau đó lấy đồ

- =

=

thị (C ') trên [ 2; 5]

với g( 2) 3;g( 5) 8

2

- .

7m m 0

[ 2; 5]

- ‡ - (cid:219) Từ đồ thị ta có: (1) có nghiệm thuộc đoạn

0.25

2

7m m 8

Trang 1/4

- £    

m 0 m 1 / 7

1 m 0

£ (cid:218) ‡ - £ £ (cid:219) (cid:219) - £ £ £ £

0.25

1 m 8 / 7

  

  1 / 7 m 8 / 7 

.

Vậy giá trị m thỏa mãn đề bài là: 1 m 0; 1 / 7 m 8 / 7 1. (1.0 điểm) Giải phương trình:

- £ £ £ £

II (2.0 điểm)

3

2

2

2

2

2

4

sin

cos

3sin

cos

2 + sin

cos

) cos

x

p (cid:219) - - - -

0.25

  

  

  

  

  

x 2

x 2

x 2

2

x + 2

x 2

 p + 3 2 cos(2x  

  

  x + =    2  

   

(

)

(cid:219) - - - 3 2 cos 2x sin x

0.25

 4 1    + = 2 sin x  

3 4 + = - 2 (cid:219) - - 2 cos 2x 2 sin x

2 2(1 2 sin x) 2 sin x

4 3sin x 3 = - 2 (cid:219) - - -

0.25

7 3sin x 2 - = (cid:219) -

= - sin x 1 p (cid:219) p (cid:219) = - + x k 2 = 2 (loaïi) sin x

0.25

2k

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x

= - + 2

7 sin x 2 sin x 9 0     9 7 p p

4

2. (1.0 điểm) Giải bất phương trình… ĐKXĐ: x

)

+ x 4

+

+

+ x 4

> 2 x 4

+ - > x 4

‡ - - - (cid:219) - - (cid:219) -

0.25

9.3

0

x 8.3

9 0

BPT

+ x 4

- > 8t 9 0

( 2 x x 8.3 3 , đk: t > 0. BPT có dạng: 2t

Đặt

1

-

. Do t > 0 ta được nghiệm t > 9

(cid:219)

0.25

9

2x 3 3 - = x t < -  t  > t

x 4

+ < -

+ > (cid:219) x 4

x 4

x 2 (1)

- -

0.25

x < £

Với t > 9 TH1: -

+⇒ x 3 £ <4 x 2 ⇒

> (cid:219) 2 9 VP(1) 0 VT(1) . Vậy (1) vô nghiệm

2

2

(cid:219) < (cid:218) > 5x > 0

x

0

x 4 (x 2)

x

x 5 . Kết hợp

- (cid:219) -

0.25

TH2: x 2‡ ⇒ (cid:219) + < (1) với x 2‡ ta được >x 5 . Vậy bất phương trình có nghiệm >x 5 . 1. (1.0 điểm) Tính thể tích khối chóp A.A ' BK .

III (2.0 điểm)

A

C

ta

có:

=

Do V

V

nên

A.A'BK

K.AA 'B

C.AA 'B

B

=

=

K

V

S

.AA '

0.25

E

A'.ABC

ABC

CK / /(AA ' B) = V 1 3

I

C'

A'

B'

2

a

3

0

=

=

0.25

S

AB.AC sin120

Mà

ABC

1 2

2

2 3

3

a

=

=

0.5

V

.2a 5

Vậy

A.A' BK

1 a . 3

2

15 3

2. (0.5 điểm) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' B ' BK .

2

2

2

2

=

= 0

ABC

BC

7a

có:

2

2

2

2

2

=

+

=

+

=

0.25

+ AB AC (

2AB.AC.cos120 )2

BK

BC

CK

7a

a 5

12a

,

2

2

2

2

2

=

=

+

=

A ' K

+ 2 A ' C ' C ' K

4a

5a

9a

,

Trang 2/4

D -

2

2

2

2

2

=

=

2

2

= +

+ a ⇒ D

21a A ' BK

vuông tại K.

A 'B Suy ra

=

+ 2 20a A ' A AB = 2 A ' B A ' K BK (cid:2) (cid:2) 0 A ' KB A ' B ' B 90

= ⇒ 4 điểm A ',B, K,B ' nằm trên mặt cầu đường kính Ta có A ' B . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A ' B ' BK có tâm E là trung điểm A ' B và

0.25

bán kính

.

=

)

)

⇒

( d I,(A ' BK)

( d B ',(A ' BK)

Vì I là trung điểm của BB '

0.25

= = R A ' B 1 2 a 21 2

3. (0.5 điểm) Tính khoảng cách từ I đến mp ... 1 2 ) =

)

⇒

( d B ',(A 'BK)

( d A,(A ' BK)

Do E là trung điểm của AB '

2

=

=

=

⇒

BK A ' K S

A ' K.BK

.3a.2a 3

3a

3

Tam giác A ' BK có

A 'BK

1 2

1 2

=

(

)

V

S

.d A,(A ' BK)

Có

A.A'BK

A 'BK

1 3

3

0.25

^

A.A 'BK

)

( d A,(A ' BK)

2

A 'BK

a 15 = = = ⇒ 3V S a 5 3 3a 3

)

( d I,(A ' BK)

Vậy

.

= = a 5 6

IV (2.0 điểm)

2d tại I ⇒ toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:

1d cắt

1 a 5 2 3 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD. Ta có

.

- (cid:219)

0.25

- = x y 2 0 = + - 2x 4y 13 0  ⇒  I     7 3 ; 2 2     = x    = y  7 2 3 2

= ˙

(

)

Theo giả thiết M là trung điểm cạnh AD và

M 2;0 .

1M d Ox

⇒

Ta có

. Theo giả thiết ABCD

3 = = = = = IM , AB 2IM 3 2 S AB.AD 12 2

. Vì I và M cùng thuộc đường thẳng

1d

12 = = 2 2 ⇒ = AD S ABCD AB 3 2

0.25

=

AD ⇒ ^ 1d

)

(1;1)

(cid:3) M 2;0 và nhận n

làm VTPT nên có PT:

Đường thẳng AD đi qua

( = (cid:219) + - =

+

1(x 2) 1(y 0) 0

x y 2 0

=

=

= MA MD

AD

2

Lại có

. Toạ độ của A, D là nghiệm của hệ phương

1 2

- -

0.25

0> ⇒ A(1;1), D(3; 1)

.

trình

. Vì Ay

+ - = x y 2 0 = + 2 2

= x 3 = - y

1

= x 1 = y 1

y

2

  

  

  (x 2) 

Do

là trung điểm của AC và BD suy ra C(6;2), B(4;4) .

I

(cid:219) (cid:218) - -

7 3 ; 2 2

     

0.25

.

Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: A(1;1), B(4;4), C(6;2), D(3; 1)

-

V (1.0 điểm)

Hỏi có bao nhiêu cách ... Các trường hợp để chọn được 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng là:

4

TH1: Cả 4 viên bi đều là bi đỏ có

0.25

3

5C cách chọn TH2 : Trong 4 viên bi có 1 bi đỏ và 3 bi xanh có

4C C cách chọn.

1 5

Trang 3/4

1

TH3: Trong 4 viên bi có 3 viên bi đỏ, 1 bi xanh có

3 5

0.25

1

TH4: Trong 4 viên bi có 3 viên bi đỏ, 1 bi vàng có

3 5

2

TH5 : Trong 4 viên bi có 2 bi đỏ và 2 bi xanh có

4C C cách chọn 3C C cách chọn 4C C cách chọn

2 5

0.25

C C C cách chọn

TH6 : Trong 4 viên bi có 2 bi đỏ, 1 bi xanh và 1 bi vàng có

2 5

1 4

1 3

2

3

4

+

Vậy có :

C C C =275 cách chọn thoả mãn.

0.25

5

3 5

1 4

3 C C 5

4C C +

C C + 2 1 5 3

4C C + 2

1 4

1 3

5

VI (1.0 điểm)

3

2

3

2

+ + =

+ =

+

+

+

+

+

‡ *

5C + 1 Giải hệ phương trình… Điều kiện: x 1 / 2 ( ) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) nhân với 2 ta được: y

5y 3 (2x 1) 2x 1

3y

3y

y

- - (cid:219) -

0.25

y 3 (2x 1) 2x 1 4y + 3 y

+ 2 3y

(cid:219) -

+ + - + 3y 1 2y 2 (2x 1 2) 2x 1 )3

2 2x 1 (3)

+ 2x 1

+ = 2(y 1)

+ + 3 (y 1)

3

+

=

(cid:219) - -

Xét hàm số: f(t) = 2 Ta có: f '(t) 3t

f(t) đồng biến trên

.ℝ

˛

0.25

(cid:219) =

˛ ℝ . ⇒ℝt (cid:219) + =

t + > 2 + = f(y 1)

y 1

2x 1

+ = ( với t 2t 0 với " f( 2x 1)

Do đó: (3)

2

2

(cid:219) - - - -

2x 1 1 y + - = 2 2x 1 2x

11x 11

+ = +

- - - (cid:219) -

2x 2 2x

2

2

- ‡ * * ( ) (cid:219) + - (2x (4)

0.25

3

Thay vào (2) ta được:     + 4 4x

2

2

= 125x 125) 0

11x 9 2 2x 1 2 11x 11 0 - = 4(2x 1) + 2 121x = (cid:219) + 250x 125 0 = + 2

11x 11) 2 + (cid:219) - - 121 44x 44x (4) 4 242x 3 (cid:219) - - - - - 4x - = 8x 4 + 3 44x 165x + (x 1)(4x 40x

(cid:219) - - - 20x 25) 0

(tháa m·n ( ),(

))

* * *

(tháa m·n ( ),(

= ⇒ = = ⇒ =

(cid:219) * * * (cid:219)

0.25

x 1 5 x

y 0 y 2

  

))

* * (x 1)(x 5)(4x =  x 1  = )) x 5   = x 5 / 2 (kh«ng tháa m·n (  ˛

VII (1.0 điểm)

Cauchy

3

2 2 2 3 x y z

Ta có:

3

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là (x;y) {(1;0),(5;2)} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức…   

  

3 + + + ‡ (cid:215) + (xy yz zx) 9 1 xy 1 zx 1 yz = 2 2 2 x y z

0.25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x

+ ‡ = = y z + 1 ⇒ + xy 1 yz 9 + xy yz

Do đó:

2

‡ P + 2 + + + x z zx

2

2

+ = + +

0.25

+ 2

2

2

+

3

zx

+

+

+

+

(x

y

2 z )(xy yz

zx)

Mặt khác: ▪

2

2

2

Cauchy

+

+

+

+

+

x

y

z

2

2

2

3

+

+

+

+

2 =

+ + + + + 7 + xy yz zx 1 + xy yz z 1 zx 1 2 y 1 2 y zx x Cauchy zx 9 + xy yz 1 + xy yz 3 ‡ zx 7 + xy yz

(x

y

2 z )(xy yz

zx)

9

£

0.25

+ + (x y z) 3

2

2

2

2

2

2

2xy 2yz 2zx = 3 + + 2xy 2yz 2zx 3xy 3yz 3zx

▪

=

= = =

P

min P

y

z

3.

Suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi x

+ + + + + ‡ (cid:219) ‡ zx + z z 2 + x + (cid:219) ‡ (cid:219) £ zx 9.

0.25

10 (cid:215) Vậy 9

Trang 4/4

+ xy yz x y + + + + 3xy 3yz 3zx (x y z) 7 3 ‡ + = 9 9 + y + xy yz 10 9