www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2
3 2
y x x
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Tìm m để đường thẳng :
(2 1) 4
y m x m
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm M, N phân biệt và M, N cùng với điểm
( 1;6)
P
tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm.
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
sin 2 cos2 4 2 sin( ) 3cos
4
1
x x x x
x
.
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
12
3 4 7
; .
1
log 2
x
x x y y
x y
x
yy
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
4 3
1
1 ln 2 1
2 ln
ex x x
I dx
x x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy là hình thang vuông tại
A
và
B
với
BC
là đáy nhỏ,
H
là trung
điểm
, 2 , 5
AB SA a SC a
. Biết rằng tam giác
SAB
là tam giác đều, mặt phẳng
( )
SAB
vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và khoảng cách từ
D
tới mặt phẳng
SHC
bằng
2 2
a. Hãy tính thể tích khối chóp .
S ABCD
theo
.
a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương
, ,
abc
thỏa mãn 2 2 2
1 1 1 1 1 1
28 4 2013
a b c ab bc ca
. Tìm giá trị
lớn nhất của
2 2 2 2 2 2
1 1 1
.
5 2 5 2 5 2
P
a ab b b bc c c ac a
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
(C): 2 2
4 4 0
x y y
và cạnh AB có trung điểm M thuộc đường thẳng
: 2 1 0
d x y
. Viết phương trình đường
thẳng chứa cạnh AB và tìm tọa độ điểm C.
Câu 8.a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm
(1;0;1), ( 1;1;1)
A B
. Tìm tọa độ điểm M thuộc
mặt phẳng
Oxy
sao cho tam giác
MAB
cân tại M và có diện tích bằng
21
2
.
Câu 9.a (1,0 điểm) Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn
3 2 3
z z i z
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E):
2 2
1
4 3
x y
. Hai điểm
( 2; ), (2; )
M m N n
di
động và thoả mãn tích khoảng cách từ hai tiêu điểm
1 2
,
F F
của (E) đến đường thẳng MN bằng 3. Tính
1
cos .
MF N
Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
(3;0;1), (6; 2;1)
M N
và (P) tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc
thỏa mãn
3 5
sin
7
.
Câu 9.b (1,0 điểm) Tìm tất cả số nguyên dương
n
thỏa mãn
3 3
3 3
n
i
A
i
là số thực.
---------- HẾT ----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
www.VNMATH.com
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4, NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: TOÁN; Khối A
Câu Đáp án Điểm
1. (1,0 điểm)
* TXĐ : D=R
* Sự biến thiên
Ta có: lim ; lim
x x
y y
 
 
2
' 3 6
y x x
;
0 2
' 0
2 2
x y
yx y
0.25
BBT:
x -
0 2 +
y' + 0 - 0 +
y 2 +
-
-2
0.25
Hàm số đồng biến trên
;0
 và
2;

; Hàm số nghịch biến trên
0;2
yCĐ = 2 tại x = 0 ; yCT = - 2 tại x = 2 . 0.25
* Đồ thị : Giao Oy tại (0 ; 2) ; Giao Ox tại (1; 0) và
1 3;0
Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng
1
2
2
-2
y
x
O
0.25
2.(1,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao của (C) và (): x x ( m x m
3 2
3 2 1) 4 2 0
x x x m
2
( 2)( 2 1) 0
x
f x x x m
2
2
( ) 2 1 0 (1)
0.25
1
(2,0 điểm)
() cắt (C) tại đúng 2 điểm phân biệt M,N (1) phải có nghiệm
x x
1 2
,
thỏa
mãn:
x x
x x
1 2
1 2
2
2
0.25
www.VNMATH.com
b
a
f
0
2
2
0
(2) 0
m
m
m
8 5 0
12
2
8 5 0
2 1 0
m
m
5
8
1
2
. 0.25
Với m
5
8
ta có 1 3
( ; ); (2; 3)
2 8
M N
(loại)
Với
m
1
2
ta có
( 1; 2); (2; 2)
M N
(loại)
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn
MNP nhận O làm trọng tâm.
0.25
(1,0 điểm)
Đk 2 ,
x k k Z
sin 2 cos2 4 sinx cos 3cos cos 1 0
x x x x x
0.25
sinx 0
sinx(cos sinx 2) 0
cos sinx 2 0( )
x
x VN
0.25
x k
0.25
2
(1,0 điểm)
Đối chiếu đk suy ra 2 ,x k k
là nghiệm pt. 0.25
(1,0 điểm)
12
3 4 7 1
; .
1
log 2 2
x
x x y y
x y
x
yy
Điều kiện
0 1 1 1 2
0 2 , 0 0 2
x x
y y y
2 2
1 1 3 1 2 3 2
x x y y
(3)
0.25
Xét hàm số
23 , 0;f t t t t

' 2 3 0, 0;f t t t

suy ra hàm số đồng biến trên
0;

Ta lại có
1,2 0;x y

Nên
3 1 2 1 2 3
f x f y x y x y
thay vào pt (2) ta được
0.25
2
22
1
3 1
log 2 2 0
2
y
y
y
y y y y
y
0.25
3
(1,0 điểm)
1 2
y x
(loại)
2 5
y x
(t/m)
Vậy hpt có nghiệm duy nhất
; 5; 2
x y
0.25
(1,0 điểm)
4 3
3
1 1 1
1 ln 2 1 1 ln
2 ln 2 ln
e e e
x x x x
I dx x dx dx
x x x x
0.25
4 4
3
11
1
4 4
e
ex e
x dx
0.25
4
(1,0 điểm)
1
1 1
2 ln
1 ln ln 2 ln
2 ln 2 ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
2
ln 2 ln 2 ln
2
e
e
0.25
www.VNMATH.com
Vậy
4
1 2
ln
4 2
e e
I
. 0.25
(1,0 điểm)
Từ giả thiết suy ra
SH ABCD
và 2 3
3
2
a
SH a
0.25
Ta có 2 2
2
CH SC SH a
.
Do đó, tam giác
HBC
vuông cân tại
B
và
BC a
0.25
Gọi
D
E HC A
thế thì tam giác
HAE
cũng vuông cân và do đó suy ra
0
,
2 2 2 4 3 .
cos 45
d D AHC
DE a a AD a
0.25
5
(1,0 điểm)
2
1
4
2
ABCD
S BC DA AB a
(đ.v.d.t.). Vậy
3
. D
1 4
3
3
S ABC ABCD
a
V SH S (đvtt)
a 5
2 2a
a
3a
a
H
D
C
B
A
S
0.25
(1,0 điểm)
Đặt
1 1 1
; ;x y z
a b c
.
2 2 2 2 2 2
2 2 2
28 4 2013 4 2013
2013
24
x y z xy yz zx x y z
x y z
0.25
Mặt khác
2 2
2 2 2
2013
3
8
x y z x y z x y z 0.25
Ta có
2 2 2
2
1 1 1 3 1 1 3
38 2 8 2
2
2
54
x y
a b a b
a ab b a a b
0.25
6
(1,0 điểm)
Tương tự
2 2 2 2
1 1 1 1
3 , 3
8 2 8 2
5 2 5 2
y z z x
b bc c c ac a
Ta có
4 2013
8 2
8
P x y z
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
4026
12
x y z hay
12
4026
a b c
0.25
7.a (1,0 điểm)
www.VNMATH.com
(C) có tâm I(0;2), bán kính
2 2
R. Gọi tọa độ điểm
;2 1
M a a
Do tam giác ABC đều nội tiếp (C) nên
2
2 2
1
12 3 2 5 12 7 0
7
2
5
a
IM R a a a a a
0.25
Với
1 1;1
a M
Khi đó, AB qua M vtpt là
1; 1
IM
có PT là
0
x y
.
Pt của CM là
2 0
x y
. Tọa độ điểm C thỏa mãn hpt
2 2
2
2
0
2
4 4 0
4
x
x y y
x
x y y
y
0.25
Từ đó tìm được tọa độ
2;4
C.
Với
7 7 9
;
5 5 5
a M
Khi đó, AB qua M vtpt là
7 1
;
5 5
IM
có PT là
7 2 0
x y

.
Pt của CM là
7 14 0
x y
. Tọa độ điểm C thỏa mãn hpt
0.25
(1,0 điểm)
2 2
14
5
12
7 14 0
5
14
4 4 0
5
8
5
x
y
x y
x y y x
y
Từ đó tìm được tọa độ
14 8
;
5 5
C
.
KL…
0.25
(1,0 điểm)
Ox ; ;0
M y M a b
Theo giả thiết ta có
1 21
,
2 2
AM BM
AM BM
 0.25
2 2 2
2
2
1 1 1
4 2 1 0
1 2 4
5 1 2 21
a b a b a b
a b
a b
0.25
Giải hệ được:
4 11
;
5 10
a b
hoặc
4 21
;
5 10
a b
0.25
8.a
(1,0 điểm)
Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán 4 11
; ;0
5 10
M
và 4 21
; ;0
5 10
M
0.25
9.a (1,0 điểm)