Đ THI TH MÔN TOÁN NĂM 2010Ề Ử
=============================
S GD& ĐT HÀ N IỞ Ộ Đ THI TH Đ I H C Đ T I NĂM H C 2009 – 2010Ề Ử Ạ Ọ Ợ Ọ
TR NG THPT CHU VĂN ANƯỜ MÔN TOÁN – KH I AỐ
------------------------------------------ Th i gian làm bài: ờ180 phút ( không k th i gian phát đ )ể ờ ề
===========================================
A. PH N CHUNG ( Dành cho t t c các thí sinh)Ầ ấ ả
Câu I (2 đi m). Cho hàm s y = xể ố 3 – 3x + 2 (C)
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s .ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng (d) có ph ng trình y = - 3x + 2 sao cho t M kọ ộ ể ộ ườ ẳ ươ ừ ẻ
đ c hai ti p tuy n đ n đ th (C) và hai ti p tuy n đó vuông góc v i nhau.ượ ế ế ế ồ ị ế ế ớ
Câu II (2 đi m)ể
1. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
=−−+++
=+++++
232
532
22
22
yxyx
yxyx
2. Gi i ph ng trình.ả ươ 1 + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = 0
Câu III (1 đi m). Tính tích phân: ể
∫−+
1
02
11 x
dx
Câu IV (1 đi m). Cho kh i chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ể ố
∠
ASB = 600 ,
∠
BSC = 900 ,
∠
CSA = 1200. Tính th tích kh i chóp S.ABC.ể ố
Câu V (1 đi m). Cho ba s d ng a, b, c th a mãn đi u ki n : ab + bc + ca = 2abc.ể ố ươ ỏ ề ệ
Ch ng minh r ng: ứ ằ
222 )12(
1
)12(
1
)12(
1
−
+
−
+
−ccbbaa
2
1
≥
B. PH N T CH N ( M i thí sinh ch ch n m t trong hai ph n: Ph n 1 ho c Ph n 2)Ầ Ự Ọ ỗ ỉ ọ ộ ầ ầ ặ ầ
Ph n 1:ầ
Câu VI a (2 đi m)ể
1. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho đ ng th ng (ặ ẳ ọ ộ ườ ẳ
∆
): x + y – 1 = 0, các đi m A( 0; - 1), B(2;1).ể
T giác ABCD là hình thoi có tâm n m trên (ứ ằ
∆
). T m t a đ các đi m C, D.ị ọ ộ ể
2. Trong không gian t a đ Oxyz cho đi m A(0;0;2) và đ ng th ng (ọ ộ ể ườ ẳ
∆
) có ph ng trình thamươ
s : x = 0; y = t; z = 2. Đi m M di đ ng trên tr c hoành, đi m N di đ ng trên (ố ể ộ ụ ể ộ
∆
) sao cho:
OM + AN = MN. Ch ng minh đ ng th ng MN ti p xúc v i m t m t c u c đ nh.ứ ườ ẳ ế ớ ộ ặ ầ ố ị
Câu VII a (1 đi m). Tìm các giá tr c a a th a mãn: 3ể ị ủ ỏ x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0,
.
Ph n 2:ầ
Câu VI b (2 đi m)ể
1. Trong m t ph ng t a đ Oxy cho tam giác ABC tr ng tâm G(ặ ẳ ọ ộ ọ
3
1
;
3
5−
), đ ng tròn đi qua trungườ
đi m các c nh có ph ng trình xể ạ ươ 2 + y2 – 2x + 4y = 0. Hãy tìm ph ng trình đ ng tròn ngo iươ ườ ạ
ti p tam giác ABC.ế
2. Trong không gian t a đ Oxyz cho hai đi m A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) và đ ng th ng (ọ ộ ể ườ ẳ
∆
):
3
6
2
1
1
−
=
−
=zyx
. Tìm t a đ c a đi m M trên (ọ ộ ủ ể
∆
) sao cho di n tích tam giác MAB nh nh t.ệ ỏ ấ
Câu VII b (1 đi m). Tìm s ph c z th a mãn đ ng th i hai đi u ki n:ể ố ứ ỏ ồ ờ ề ệ
3
1
−
−
z
z
= 1,
iz
iz
+
−2
= 2.
---------------------H t---------------------ế
=========================================
ST: Vũ Ph n ( Yên S - Hoàng Mai – Hà N i)ấ ở ộ
CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369.
Đ THI TH MÔN TOÁN NĂM 2010Ề Ử
=============================
H ng d n gi iướ ẫ ả :
Câu I:
1. T làm.ự
2. G i M(a;b) là đi m c n tìm. M thu c (d) nên b = -3a + 2.ọ ể ầ ộ
Ti p tuy n c a đ th ( C) t i đi m (xế ế ủ ồ ị ạ ể 0;y0) là: y = (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 +2.
Ti p tuy n đi qua M(a;b) ế ế
⇔
- 3a + 2 = (3x02 – 3)( a – x0) + x03 – 3x0 + 2
⇔
2x03 – 3ax02 = 0
⇔
x0 = 0 ho c xặ0 = 3a/2..
Có hai ti p tuy n đi qua M v i h s góc là kế ế ớ ệ ố 1 = f ’(0) = -3 và k2 =f ‘(3a/2) =
4
27 2
a
- 3 .
Hai ti p tuy n này vuông góc v i nhau ế ế ớ
⇔
k1.k2 = - 1
⇔
a2 = 40/81
⇔
a =
9
102
±
.
V y có hai đi m th a mãn đ bài là: M(ậ ể ỏ ề
9
102
±
;
2
3
102 +
).
Câu II:
1. C ng và tr t ng v hai ph ng trình c a h ta đ c h t ng đ ng:ộ ừ ừ ế ươ ủ ệ ượ ệ ươ ươ
=+
=+++
2
3
2
7
32 22
yx
yx
⇔
=+−++
−=
2
7
3)
2
3
(2
2
3
22 xx
xy
⇔
…
⇔
=
=
)
20
13
;
20
17
();(
)1;
2
1
();(
yx
yx
2. Ph ng trìnhươ
⇔
( 1 – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) = 0
⇔
( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + 1 – (sinx + cosx)] = 0
⇔
( sinx – cosx).( 1 – 2cosx) = 0
⇔
=
=
2
1
cos
1tan
x
x
⇔
+±=
+=
π
π
π
π
.
3
.
4
lx
kx
( k,l
∈
Z).
Câu III: Đ t x = sint v i t ặ ớ
]
2
;
2
[
ππ
−∈
. Ta có:dx = costdt và
ttx 222 cossin11 =−=−
=|cost| = cost.
Đ i c n: V i x =0 thì t = 0; V i x = 1 thì t = ổ ậ ớ ớ
2
π
. T đó: ừ
∫∫ +
=
−+
2
0
1
02cos1
cos
11
π
t
tdt
x
dx
=
∫−
2
0
2
2
)2/(cos2
1)2/(cos2
π
dt
ts
ts
=
∫∫ −2
0
2
2
0)2/(cos
)2/(
ππ
t
td
dt
=( t – tan (t/2) ) |
2
0
π
=
2
π
-1..
Câu IV: T v hình.ự ẽ
Trên các tia SB, SC l n l t l y các đi m B’, C’ sao cho SB’ = SC’ = SA = a.ầ ượ ấ ể
Tam giác SAB’ đ u c nh a nên AB’ = a. Tam giác SBC’ vuông cân t i S nên B’C’ = aề ạ ạ
2
. Tam
giác SC’A cân t i S có ạ
∠
C’SA = 1200 nên C’A = a
3
. Suy ra AB’2 + B’C’2 = C’A2 hay tam giác
AB’C’ vuông t i B’ạ
⇒
di n tích tam giác AB’C’ = ệ
2
2
2
a
H SH ạ
⊥
mp(AB’C’)
⇒
HA = HB’ =HC’
⇒
H là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác AB’C’ủ ườ ạ ế
⇒
H là trung đi m c a C’A ể ủ
⇒
SH = SA. Sin 300 = a/2.
=========================================
ST: Vũ Ph n ( Yên S - Hoàng Mai – Hà N i)ấ ở ộ
CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369.
Đ THI TH MÔN TOÁN NĂM 2010Ề Ử
=============================
Th tích kh i chóp S.AB’C’ là: V’ = ể ố
12
2
2
.
2
2
.
3
132 aaa =
. Áp d ng công th c: ụ ứ
'
.
'
'.
.
'SC
SC
SB
SB
V
V
CABS
ABCS =
Tính đ c: Vượ S.ABC =
12
2abc
.
Câu V. Đ t x = ặ
a
1
, y =
b
1
, z =
c
1
ta có x,y,z là 3 s d ng th a mãn x + y + z = 2.ố ươ ỏ
Ta có: a(2a – 1)2 =
2
)1
2
(
1−
xx
=
3
2
)(
x
zy +
. T đó:ừ
: P =
222 )12(
1
)12(
1
)12(
1
−
+
−
+
−ccbbaa
=
2
3
2
3
2
3
)()()( yx
z
xz
y
zy
x
+
+
+
+
+
.
Áp d ng b t đ ng th c Cô si có: ụ ấ ẳ ứ
x
xzyzy
zy
x
4
3
64
3
88
)(
3
3
2
3=≥
+
+
+
+
+
(1)
T ng t : ươ ự
y
xzxz
xz
y
4
3
88
)( 2
3≥
+
+
+
+
+
(2)
z
yxyx
yx
z
4
3
88
)( 2
3≥
+
+
+
+
+
(3).
C ng t ng v c a (1), (2), (3) r i c l c đ c: P ộ ừ ế ủ ồ ướ ượ ượ
≥
4
1
(x + y + z) =
2
1
.
Đ ng th c x y ra ẳ ứ ả
⇔
x = y = z = 2/3
⇔
a = b = c = 3/2.
Câu VIa:
1. G i I(a;b) là tâm c a hình thoi.Vì I ọ ủ
∆∈
nên a + b – 1 = 0 hay b = 1 – a (1).
Ta có:
AI
(a;b+1) và
BI
(a – 2;b – 1) mà ABCD là hình thoi nên AI
⊥
BI suy ra :
a(a – 2) + (b + 1)(b – 1) = 0 (2). Th (1) vào (2) r i rút g n đ c: aế ồ ọ ượ 2 – 2a = 0
⇔
a = 0 ho c a = 2.ặ
TH1: V i a = 0 thì I(0;1). Do I là trung đi m c a AC và BD nên áp d ng công th c t a đ trungớ ể ủ ụ ứ ọ ộ
đi m, ta có: ể
=−=
=−=
22
02
AIC
AIC
yyy
xxx
và
=−=
−=−=
12
22
BID
BID
yyy
xxx
; C(0;2) và D(-2;1).
TH2: V i a = 2 thì I(2;-1). T ng t ta đ c: C(4;-1) và D(2;-3).ớ ươ ự ượ
V y có hai c p đi m th a mãn: C(0;2) và D(-2;1) ho c C(4;-1) và D(2;-3).ậ ặ ể ỏ ặ
2. D dàng ch ng minh đ c OA là đo n đ ng vuông góc chung c a hai đ ng th ng ễ ứ ượ ạ ườ ủ ườ ẳ
∆
và Ox
(là hai đ ng th ng chéo nhau và vuông góc v i nhau). T đó MN ti p xúc v i m t c u đ ngườ ẳ ớ ừ ế ớ ặ ầ ườ
kính OA khi và ch khi OM + AN = MN.ỉ
V y khi OM + AN = MN thì MN ti p xúc v i m t c u đ ng kính OA c đ nh.ậ ế ớ ặ ầ ườ ố ị
(Ph ng trình m t c u là: xươ ặ ầ 2 + y2 + ( z – 1)2 = 1).
Câu VIIa: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0
⇔
3x > (1 –a).( 2x +1)
⇔
12
3
+
x
x
> 1 – a (*).
Xét hàm s : f(x) = ố
12
3
+
x
x
v i x ớ
∈
R. Ta có: f ‘ (x) =
2
)12(
2ln.3.23ln).12.(3
+
−+
x
xxxx
> 0 v i m i x.ớ ọ
Hàm s luôn đ ng bi n., mà:ố ồ ế
−∞→x
lim
f(x) = 0. B t đ ng th c (*) đúng v i m i x ấ ẳ ứ ớ ọ
⇔
1 – a
≤
0
⇔
a
≥
1.
=========================================
ST: Vũ Ph n ( Yên S - Hoàng Mai – Hà N i)ấ ở ộ
CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369.
Đ THI TH MÔN TOÁN NĂM 2010Ề Ử
=============================
V y đáp s : a ậ ố
≥
1.
=========================================
ST: Vũ Ph n ( Yên S - Hoàng Mai – Hà N i)ấ ở ộ
CĐ: 0436.45.35.91; 02413.707.289 , DĐ: 01236.575.369.