www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com 1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGHI SƠN ĐỀ THI THỬ ĐH LẦN I NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: TOÁN ; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
1. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
khi m= 0 .
2. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
(1) luôn có c
ự
đạ
i,c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i m.Tìm m
để
các
đ
i
ể
m c
ự
tr
ị
c
ủ
a hàm s
ố
(1) cùng v
ớ
i
đ
i
ể
m I(1;1), t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p b
ằ
ng
5
.
Câu II (2,0 điểm)
1. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3
tan 2 3 sin (1 tan tan )
cos 2
x
x x x
− − = +
.
2. Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:
2
2 2 3 2
x x x x
+ + − − ≤ −
Câu III (1,0 điểm)
Tính nguyên hàm sau:
3
3 3
cot x
I dx
sin x sin x sin x
=−
∫
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy.
G
ọ
i E là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC góc gi
ữ
a SC và m
ặ
t ph
ẳ
ng (SAB) b
ằ
ng 30
0
. Hãy tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABCD và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng DE và SC thao a.
Câu V (1,0 điểm)
Cho a, b, c là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng tho
ả
mãn
1.
abc
=
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1 1 1
( 1 )( 1 )( 1 ) 1
a b c
b c a
− + − + − + ≤
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
,Oxy
Cho tam giác ABC vuông cân t
ạ
i A.Bi
ế
t c
ạ
nh huy
ề
n n
ằ
m trên
đườ
ng
th
ẳ
ng (d)
7 31 0
x y
+ − =
,
điểm
5
(1; )
2
N
thuộc đường thẳng AC,điểm M(2 ;-3) thuộc đường thẳng AB.
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.biết rằng điểm A có hoành độ âm.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3)..Viết phương trình
mặt phẳng (R) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ P đến (R) lớn nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển
2
3
2
, 0
n
x x
x
− ≠
biết rằng
1 2 3 28
2 1 2 1 2 1 2 1
... 2 1
n
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + + = −
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm M(-3;1) và đường tròn
2 2
( ): 2 6 6 0
C x y x y
+ − − + =
.Gọi A,B
là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến ( C).Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M lên đường thẳng AB.
2. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,góc A bằng
0
60
.Góc
giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng
0
30
.Tính khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD)
.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1 2
1 2
2log ( 2 2) log ( 2 1) 6
log ( 5) log ( 4) 1
x y
x y
xy x y x x
y x
− +
− +
− − + + + − + =
+ − + =
-------------------Hết-------------------
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN : Khối A
Câu Nội Dung Điểm
CâuI Cho hàm số
3 2 2 3
3 3( 1)
y x mx m x m m
= − + − − +
(1)
I.1
Khi m=0 . Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ
đồ
th
ị
hàm s
ố
3
3
y x x
= −
HS t
ự
làm:
1 điểm
I.2
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
(1) luôn có c
ự
đạ
i,c
ự
c ti
ể
u v
ớ
i m
ọ
i m.Tìm m
để
các
đ
i
ể
m c
ự
tr
ị
c
ủ
a
hàm s
ố
(1)cùng v
ớ
i
đ
i
ể
m I(1;1), t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p
b
ằ
ng
5
.
2 2
2 2
) ' 3 6 3( 1)
) ' 0 3 6 3( 1) 0.
y x mx m
y x mx m
+ = − + −
+ = ⇔ − + − =
Ta có
' 1 0 ' 0
m y
∆ = > ∀
⇒=
có hai nghiệm phân biệt với mọi m. suy ra hàm số luôn có CĐ,CT
+) Điểm CĐ A(m-1;2-2m),CT B(m+1;-2-2m)
+) pt AB : 2x+y=0, nên A,B,I lập thành một tam giác.
Với
5, 2 5
R AB= = nên tam giác ABC vuông tại I với AB là đường kính
Khi đó ycbt tương đương với
2 2 2 2
3
10 4 6 0
5
1
m
IA IB AB m m
m
=
+ = ⇔ + − = ⇔
= −
Kết luận:
3
5
m
=
ho
ặ
c m= -1
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
CâuII www.MATHVN.com
II.1
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3
tan 2 3 sin (1 tan tan )
cos 2
x
x x x
− − = +
.
...............................................................................................................................................
Đ
K: cos 0
2
cos 0
2
2
x
x k
x
x k
π
π
π π
≠
≠ +
⇔
≠
≠ +
2
2
sin sin
32
tan 2 3 sin 1
cos cos cos 2
cos cos sin sin
3
2 2
tan 2 3 sin
cos cos cos 2
x
x
x x x
xx
x x
x x
x x x
xx
− − = +
+
⇔ − − =
2
2
cos( )
2
3(1 tan ) tan 2 3 sin
cos cos
2
cos 2
3(1 tan ) tan 2 3 sin
cos cos
2
x
x
x x x
x
x
x
x x x
x
x
−
⇔ + − − =
⇔ + − − =
1 điểm
0.25
0.25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com 3
2 2
tan 3
3(1 tan ) tan 2 3 tan 3 tan 2tan 3 0
1
tan
3
.tan 3 3
1
.tan 6
3
x
x x x x x x
x x k
x x k
ππ
ππ
=
+ − − = ⇔ − + = ⇔ = −
= ⇔ = +
= − ⇔ = − +
0.25
0.25
II.2 Giải bất phương trình:
2
2 2 3 2
x x x x
+ + − − ≤ −
- www.DeThiThuDaiHoc.com
...........................................................................................................................................................
Đk:
2
3
x
≥
2
2( 2)
2 3 2 2 0 ( 2)( 1) 0
2 3 2
2
( 2) ( 1) 0
2 3 2
x
x x x x x x
x x
x x
x x
− −
+ − − + − − ≤ ⇔ + − + ≤
+ + −
−
⇔ − + + ≤
+ + −
Ta có 2
( ) ( 1)
2 3 2
f x x
x x
−
= + +
+ + −
( ) ( )
2 2
1 3
2( 2 3 2)' 2 3 2
'( ) 1 1 0
2 3 2 2 3 2
2
( ) ( ) 0
3
x x x x
f x x x x x
f x f
+
+ + − + −
= + = + >
+ + − + + −
⇒
≥ >
V
ậ
y tâp nghi
ệ
m c
ủ
a BPT là
2
;2
3
S
=
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu III www.DeThiThuDaiHoc.com 1 điểm
Tính nguyên hàm sau: 3
3 3
cot x
I dx
sin x sin x sin x
=−
∫
……………………………………………………………………………………………
3 3
3 3 232
3
32 2
33 7
3 2
3 10
cot x cot x
I dx dx
1
sin x sin x sin x sin x 1
sin x
cot x dx
sin x cot x
cot x d(cot x) cot xd(cot x)
cot x
3cot x C
10
= =
−−
=−
= − =
−
= +
∫ ∫
∫
∫ ∫
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu IV
IV
Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình vuông c
ạ
nh a
,
SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i
E
là
trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
BC
góc gi
ữ
a
SC
và m
ặ
t ph
ẳ
ng
(SAB)
b
ằ
ng 300. Hãy tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
S.ABCD
và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng
DE
và
SC
thao a
.
...............................................................................................................................................
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com 4
H T
M K
B E C
A D I
S
Vì
( )
CB AB CB SAB
CB SA
⊥
⇒⊥⇒
⊥ SB là hình chiếu của SC trên mp(SAB)
0 0
( .( )) ( , ) 30 .cot30 3 2
SC SAB SC SB CSB SB BC a SA a
⇒= = = ⇒= = ⇒=
Vậy thể tích hình chóp SABCD là:
3
.1 2
. ( )
3 3
S ABCD ABCD
a
V SA S dvdt
= =
...............................................................................................................................................
T
ừ
C d
ự
ng
/ / , / /( )
2
( , ) ( ,( )
a
CI DE CE DI DE SCI
d DE SC d DE CSI
⇒
= =
⇒
=
T
ừ
A k
ẻ
AK CI
⊥
c
ắ
t ED t
ạ
i H, c
ắ
t CI t
ạ
i K
Ta có ( ) ( ) ( ),( ) ( )
AK CI
CI SAK SCI SAK SCI SAK SK
SA CI
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥ ∩ =
⊥
Trong mp(SAK) k
ẻ
( ) ( , ) ( ,( )
HT AK HT SCI d DE SC d H SCI HT
⊥⇒⊥⇒= =
Ta có
. 3
. .
5
CD AI a
AK CI CD AI AK CI
=⇒= =
Kẻ 1
/ / ( ) 3
5
HK KM a
KM AD M DE HK AK
HA AD
∈⇒=⇒= =
Lại có
. 38
sin
19
38
( , )
19
SA HT SA HK
SAK HT a
SK HK SK
d ED SC a
= =
⇒
= =
⇒
=
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu V www.MATHVN.com
V Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn
1.
abc
=
Chứng minh rằng:
1 1 1
( 1 )( 1 )( 1 ) 1 (1)
a b c
b c a
− + − + − + ≤
……………………………………………………………………………………………...
Do
1.
abc
=
nên tồn tại 3 số dương x,y,z sao cho , ,
x y z
a b c
y z x
= = =
(1) ( )( )( )
x y z y z x z x y xyz
⇔ − + − + − + ≤
(2)
Không mất tính tổng quát giả sử x= max{x,y,z} khi đó
0, 0
x y z x z y
− + ≥ − + ≥
• Nếu
0
z x y
− + <
thì (2) luôn đúng.
• Nếu
0
z x y
− + ≥
0.25
0.25
0.25
www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com 5
Ta có
2
2
2
2
2
2
( )
( )( ) 4
( )
( )( ) 4
( )
( )( ) 4
x y z y z x
x y z y z x x
y z x z x y
y z x z x y y
x y z z x y
x y z z x y z
− + + − +
− + − + ≤ =
− + + − +
− + − + ≤ =
− + + − +
− + − + ≤ =
T
ừ
đ
ó ta có (2)
đượ
c ch
ứ
ng minh.
D
ấ
u ‘=’ x
ả
y ra khi x=y=z hay a=b=c
0.25
Câu VIa
VIa.1
Trong
m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
,Oxy
Cho tam giác
ABC
vuông cân t
ạ
i A
.
Bi
ế
t c
ạ
nh huy
ề
n n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng (d)
x
+7
y
-31=0,
đ
i
ể
m
5
(1; )
2
N
thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng AC,
đ
i
ể
m
M
(2 ;-3) thu
ộ
c
đườ
ng
th
ẳ
ng AB. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC bi
ế
t r
ằ
ng
đ
i
ể
m A có hoành
độ
âm.
...........................................................................
......................................................................................
2 2
0
2 2 2 2
2 2
( ): ( 2) ( 3) 0( 0)
7
cos( ) cos45 1 7
4 3
12 7 12 0 3 4
AB a x b y a b
a b
ABC
a b
a b
a ab b a b
− + + = + >
+
= = + +
= −
⇔ − − = ⇔ =
TH1.
3 4 : 4 3 1 0 :3 4 7 0 ( 1;1), ( 4;5), (3;4)
a b AB x y AC x y A B C
=⇒+ + = ⇒− + = ⇒− −
TH2.
23 3 1 9
4 3 :3 4 18 0 :4 3 0 (4; ), (10;3), ( ; )
2 2 2 2
a b AB x y AC x y A B C= − ⇒− − = ⇒+ − = ⇒− − (lo
ạ
i)
V
ậ
y các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC là :
( 1;1), ( 4;5), (3;4)
A B C
− −
1 điểm
0.25
0.25
0.25
0.25
VIa.2
. Trong
không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxyz cho
đ
i
ể
m M(1;0;2), N(-1;-1;0),P(2 ;5 ;3).Vi
ế
t ph
ươ
ng
trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (R)
đ
i qua M, N sao cho kho
ả
ng cách t
ừ
P
đế
n (R) l
ớ
n nh
ấ
t.
.................................................................................................................................................
pt (MN)
1 2
2 2
x t
y t
z t
= +
=
= +
G
ọ
i H là hình chi
ế
u c
ủ
a P trên (MN) suy ra H(3 ;1 ;4)
G
ọ
i K là hình chi
ế
u c
ủ
a P trên (R) nên
( ,( ))
d P R PK
=
ta có
PK PH
≤
v
ậ
y PK max khi K trùng v
ớ
i H
HN
M K
P
(R) qua H(3 ;1 ;4) nhân
(1; 4;1)
PH −
làm VTPT suy ra (R) x-4y+z-3=0
1 điểm
0. 25
0.25
0.25
0.25