TOÁN 10
TOÁN 10 | TGT – HMU 113
BÀI KIỂM TRA TOÁN
Thời gian làm bài 45 phút
Bài 1:
Cho biểu thức: 𝑃=𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏 +𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏,với 𝑎>𝑏>0
Chứng minh 𝑃>0
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau
a) {𝑥−𝑦−7=0
𝑥2−𝑦2+2𝑥+2𝑦+4=0 b) {1
|𝑥−1|+2𝑦−𝑥=3
4𝑦−2𝑥+ 3
|𝑥−1|=7
Bài 3:
Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 sao cho phương trình: 𝑥2−2𝑚𝑥+𝑚2−1=
0 (1) có hai nghiệm 𝑥1,𝑥2 thỏa mãn: 𝑥1<1<𝑥2.
Bài 4:
Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O và AD = 3
BC. Gọi H là trực tâm tam giác ABD. Chứng minh O là trung điểm của CH.
Bài 5:
Cho ba số thực dương 𝑎,𝑏,𝑐 thỏa mãn: 𝑎+4𝑏+9𝑐=6. Chứng minh rằng:
𝑎3+𝑏3+𝑐3≥1
6
*** HẾT ***
TOÁN 10
TOÁN 10 | TGT – HMU 113
Hướng dẫn giải:
Bài 1:
ĐKXĐ: 𝑎>𝑏>0
Ta có: 𝑃=𝑎2+𝑏√𝑎𝑏
𝑎+√𝑎𝑏 +𝑎√𝑎−3𝑎√𝑏+2𝑏√𝑎
√𝑎−√𝑏=√𝑎(√𝑎3+√𝑏3)
√𝑎(√𝑎+√𝑏) +√𝑎(𝑎−3√𝑎𝑏+2𝑏)
√𝑎−√𝑏=
(√𝑎+√𝑏)(𝑎−√𝑎𝑏+𝑏)
√𝑎+√𝑏+√𝑎(√𝑎−2√𝑏)(√𝑎−√𝑏)
√𝑎−√𝑏=𝑎−√𝑎𝑏+𝑏+𝑎−2√𝑎𝑏=2𝑎−3√𝑎𝑏+
𝑏=2𝑎−2√𝑎𝑏−(√𝑎𝑏−𝑏)=2√𝑎(√𝑎−√𝑏)−√𝑏(√𝑎−√𝑏)
=(√𝑎−√𝑏)(2√𝑎−√𝑏)
Do 𝑎>𝑏>0, nên √𝑎−√𝑏>0,2√𝑎−√𝑏>0
Vậy 𝑃>0
Bài 2:
a) Từ 𝑥=𝑦+7 thay vào phương trình (2) ta được:
(𝑦+7)2−𝑦2+2(𝑦+7)+2𝑦+4=0
𝑦2+14𝑦+49−𝑦2+2𝑦+14+2𝑦+4=0
18𝑦+67=0
𝑦=−67
18 => 𝑥=59
18
KL: Vậy …
b) ĐKXĐ: 𝑥≠1,𝑦∈𝑅
Đặt {1
|𝑥−1|=𝑎 (𝑎>0)
2𝑦−𝑥=𝑏 (𝑏∈𝑅), khi đó hệ trở thành: {𝑎+𝑏=3
3𝑎+2𝑏=7 {2𝑎+2𝑏=6
3𝑎+2𝑏=7
𝑎=1 (𝑡𝑚)→𝑏=2(𝑡𝑚)
Hay {|𝑥−1|=1
2𝑦−𝑥=2 {[𝑥−1=1
𝑥−1=−1
𝑦=𝑥+2
2 [{𝑥=2
𝑦=2 (𝑡𝑚)
{𝑥=0
𝑦=1(𝑡𝑚)
KL: Vậy …
Bài 3:
Ta có: 𝑥2−2𝑚𝑥+(𝑚−1)(𝑚+1)=0
𝑥2−(𝑚−1)𝑥−[(𝑚+1)𝑥−(𝑚−1)(𝑚+1)]=0
𝑥(𝑥−𝑚+1)−(𝑚+1)(𝑥−𝑚+1)=0
TOÁN 10
TOÁN 10 | TGT – HMU 113
(𝑥−𝑚+1)(𝑥−𝑚−1)=0
[𝑥=𝑚−1
𝑥=𝑚+1
Với mọi 𝑚 ta có: 𝑚−1<𝑚+1
Nên 𝑥1<1<𝑥2 𝑚−1<1<𝑚+1 0<𝑚<2
Vậy …
Chú ý: Có thể làm 1 trong các cách sau đều được
C1: Tính ∆′>0, thấy ∆′ chính phương => tính nghiệm => làm tương tự
C2: Áp dụng viet, bài toán (𝑥1−1)(𝑥2−1)<0
Bài 4:
Do ABCD là hình thang cân nên IB = IC
Nên ∆𝐼𝐵𝐶 cân tại I
Lại có BI vuông với IC => 𝐵𝐶𝐼
=45°
Lại có BH vuông AD
Mà BC // AD => BH vuông BC
Vậy ∆BHC vuông cân tại B có BI là đường cao
=> BI là trung tuyến => I là trung điểm HC
Bài 5:
Ta có: 𝑎3+2𝑥3=𝑎3+𝑥3+𝑥3≥3√𝑎3𝑥3𝑥3
3=3𝑎𝑥2
Tương tự: 𝑏3+2𝑦3≥3𝑏𝑦2, 𝑐3+2𝑧3≥3𝑐𝑧2
Dấu “=” xảy ra 𝑎=𝑥,𝑏=𝑦,𝑐=𝑧
Vậy 𝑎3+𝑏3+𝑐3≥3𝑎𝑥2+3𝑏𝑦2+3𝑐𝑧2−(2𝑥3+2𝑦3+2𝑧3)
Chọn {𝑥+4𝑦+9𝑧=𝑎+4𝑏+9𝑐=6
𝑥2
1=𝑦2
4=𝑧2
9=𝑡2
{
𝑥=1
6
𝑦=1
3
𝑧=1
2
Do đó: 𝑎3+𝑏3+𝑐3≥3𝑡2(𝑎+4𝑏+9𝑐)−2(𝑥3+𝑦3+𝑧30=1
6