Đề Thi Thử Toán THPT Quốc Gia 2015 (Có Lời Giải)

SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 TRƯỜNG THPT CHUYÊN MÔN TOÁN NGUYỄN BỈNH KHIÊM Thời gian làm bài : 180 phút

23 x

y x = + ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số 2 - (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1 x- 9 Câu 2) (1,0 điểm)

2 cos cos 3 0 x + - = a) Giải phương trình:

2 2 +

x 3 b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện là một số thực. z z z i 8 z+ = và 6 -

x 7 x 10) x 2) x 5) - + - - = + log ( 4 log ( 4 Câu 3) (0,5 điểm) Giải phương trình: log ( 1 4 Câu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:

x x ( 6 y 4) 3 (3 y y x y ) ( x y ) 4(1 xy + - + - 4) 8 2( + + + = + + - ) 2 +

p 4

3 x xy 22 1 x 2 y 3 - + - y - = - + ì ï í ïî

Câu 5) (1,0 điểm) Tính tích phân I = ( x 2 tan x ) sin xdx + +

ò

030

, BC = 3a , · 3a ACB =

. Cạnh 060 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên

Câu 6) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = bên hợp với mặt phẳng đáy góc cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC).

Câu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(– 3; – 4), tâm đường tròn nội tiếp

;1 - I(2; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp J( ). Viết phương trình đường thẳng BC. 1 2

Câu 8) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB và tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA = MB = 13.

Câu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.

( a b )( ) ab a ( b 1)( + a b + - - 1) 0 - = .

Câu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

2 2 a 36 (1 9 )(1 9 )

a 12 ab 3 + - P = b + ab b + + +

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

23 x

Câu Đáp án Điểm

- =

®-¥

y y = +¥ Câu1) x y 2 + a) + TXĐ D = R , lim

y 0,25 é y y x 6 x ' 3 = + + , 2 2 = -¥ , lim x ®+¥ 0 2 x = Þ = - ' 0 = Û ê = - Þ = x y ë

-¥ 2- 0 + ¥ + 0 - 0 + 0,25 ¥

------------------------------------------------------------------------------------------------------------ + BBT x y’ y -¥ 2- Câu 1 (2,0đ)

0,25

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Hàm ĐB trên các khoảng ( -¥ ; 2- ), (0; + ¥ ) và NB trên khoảng ( 2- ; 0). Điểm cực đại đồ thị ( 2- ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; 2- ) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Đồ thị

-10

-5

-2

-4

0,25

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. b)Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 0,25 1 x- 9

2 x 0

1 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = Þ = 0,25 ) 9 3 6 = Û + Ta có y x '( 0 x 0 3 x 0 x 0 y 0 2 y = - Þ = - 0 é 9 = Û ê ë

0,25 1) 2 9( x - +

9( y x 3) 2 - = + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y = + Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Phương trình tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là 0,25

Câu 2 (1,0đ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 2) 0,25 cos 2cos 4cos 3cos 2 cos 3 0 x + - = Û 3 0 - + - = a) x 3 x 3 x 3 x 3

Û (cos 1)(4 cos 6cos - + + 3) 0 = x 3 x 3 x 3

Câu Đáp án Điểm

Û cos 1 k 6 = Û = 2 p x Û = k , p k Z Î 0,25 x 3 x 3

yi x = + ) ( z z x x ) 6 yi 3 . Ta có 2 yi 2 ( 2 ) 2( - x 2 ) xy yi y + + 6 + = Û + ) 8 x i x ( - = Û = (1) x i 8) 2 (2 - + = - - + - là số thực nên 0,25 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- b) Gọi z + y 2 2 + xy z y- 2 yi x ( - = 8 i 8 0 - = (2).

0,25

z 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2 5 x x x < Ú > 10 0 >

2 7 + - 2 0 - >

x x 2 5 x Û > Câu 3) b)ĐK Câu 3 (0,5đ) x 5 0 x + > 5 > - 0,25 ì ï Û > í ï î ì ï í ï î

x 7 x 10) x 2) x 5) - + - - = - + Với ĐK trên phương trình tương đương : log ( 4 log ( 4 log ( 4

x x x x 7 5) 2) 10)( - = + + - log ( 4 log ( 4

5) 2 x = - 0,25 x 7 x 10)( + + 5) 1 x 5)( = + (vì x > 5) 26 xÛ =

Û -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2( x Û - x ( Û - --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

x x ( 6 y 4) 3 (3 y y x y ) ( x y ) 4(1 xy ) 2 (1) + - + - 4) 8 2( + + + = + + - + Câu 4) 3 x xy 22 1 x 2 y 3(2) - + - y - = - + ì ï í ïî

Câu 4 (1,0đ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- +Ta có (1) 4 ( 4 ( 2) 2) 3 3 x y x y y x y x ( ) ) ( Û + + + + + - + - = - -

t t t 0,25 0, f '( ) t t R = 1 + = > " Î + Xét hàm f t ( ) t 4 t = + + , t RÎ . Ta có 4 + + 2 4 4 t t + +

f y ( 2) 3 3 2 1 y x y y y x ) x - = - Û = - x Û + + - = - 0,25

Suy ra f(t) đồng biến trên R. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f x + Ta có (1) Û ( --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Thế y = 1 – x vào (2) ta có : 22 2 2 1 x x x x x + (3) . Với ĐK x ³ 0. ta có + - = + +

(3) ( x 2 x ( x x 2 x Û + 22 5) - - 1) - = + - 3 + 2 x 2 x 3 + - ( x 1)( x 3) - = - + Û 1 x - x 1 + x 2 x + + 22 5 + 0,25

1 ( x 1) ( x 0 - + + - = Û Û x = 1 1 1 x + x 2 x + + 22 5 + æ 3) 1 ç è ö ÷ ø é ê ê ë ù ú ú û

1 ( x 0 + + - > Vì với x ³ 0 thì (phải giải thích) 1 1 x + 2 x x 22 5 + + æ 3) 1 ç è ö ÷ ø

+ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x = 1 Þ y = 0 .Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) 0,25

p 4

Câu Đáp án Điểm

= Câu 5) I = ( x 1)sin xdx dx ( x 2 tan x )sin xdx + + + +

ò

Câu 5 (1,0đ) 0,25 x sin 2 x cos

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1 du dx = Þ + Đặt . x = + sin dv xdx v cos x = = - ì í î

p 4

p 4 0

u ì í î p 4 0,25 Ta có = 1) 1 sin x 1 - + + + = - + p ( x 1) sin xdx x 1) cos x cos xdx + ( = - + +

ò

p ( 4 2 2 2 8

p 4

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0,25 - + dx = = = 2 1 -

ò

x sin 2 x cos (cos ) x d 2 x cos 1 cos x

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0,25 + Vậy I = 2 + 2 p- 8

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 6) Câu 6 (1,0đ)

A '

) ( ) ( ABC A BC ' 0,25 ) ) ( A H ' ABC ^ Þ

) ( ) ( A AH ' ABC ) A AH ' ( A H ' ^ ( ^ ' A BC = Ç

60 A AH =

= AC HC . .cos 30 2 AC HC + -

ABC A B C .

ABC

39 a 4

tan 60 a ì ï í ï î Suy ra · ' ---------------------------------------------------------- 2 2 AH = Þ AH = a ' Þ A H AH = = 0,25 3 2 a 3 3 = V S . A H ' a . 3 = = 4

Þ HA AC^ Þ 'AA -------------------------------------------------------- AC^ Vì AH AC HC = 0,25

A AC '

S a a . AC AA . ' a . 3.2 3 = = = 1 2 + 1 2

A ABC

' A AC

------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,25 a Þ d B A AC , ( ( ' )) = = = V 3. S a 3 3 4 9 4 2 a 3

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 7) 0,25 Câu 7 (1,0đ) ( x ) ( y 1) + + - = + Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC : (1) 1 2 125 4

1 0 x yÛ - - = = + Phương trình đường thẳng AI : x 3 + 2 3 + y 4 + 1 4 + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Câu Đáp án Điểm

3 x 0,25 2) ( ) ( x x + - + . Suy ra D( ) 125 = Û 4 1 2 9 7 ; 2 2 = - 9 2 + Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC. Hoành độ điểm D là nghiệm khác – 3 của phương trình : é ê ê = x ë

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

· · IBD IBC CBD + = = và · Þ DI = DB = DC suy ra · · BID IBD= B A + 2 2 A B + 2 2 0,25 + Ta có ·BID = Þ B, C nằm trên đường tròn tâm D bán kính DI có phương trình :

) ( ( ) y x = - + - (2) 9 2 7 2

( ) ( 1) y x + + - = y x 5 - + 50 0 = x y y 2 + - x + - 30 0 = 0,25 9 7 x y x y 10 0 = + + - - x x y 9 7 y - - + 20 0 = + 10 ì Û í î ì ï Û í ïî y ( ) ) - = + 7 2 1 2 9 2 125 4 50 4 50 0 x x 10 0 = y+ - - = hay 2

( 6; 8; 8)  AB = - - - 0,25 Câu 8 (1,0đ)

1) 8( 7 0 4 4 y y x x z z 3 Û + 6) 8( - 7) 0 = - - - = - + - 0,25

4 y z x 4 50 4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trình (1) và (2) ì ïï í ï - x ( ïî y+ 5 Suy ra phương trình đường thẳng BC : 10 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Câu 8) + Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận làm VTPT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Suy ra phương trình mp(Q): 6( + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Gọi D = (Q) Ç (P). Đường thẳng D là tập hợp các điểm thỏa hệ phương trình: 7 0 - =

4 0 x + y + z + - - =

(3; 4; 4) + (P) có VTPT , (Q) có VTPT (1)  Qn =

0,25 [ = = (8; 7;1) - . Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy suy ra D có VTCP 3 ì í î  (1;1; 1) Pn = -    n n , u ] P Q

ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trình tham số đường thẳng D x t 1 8

t = + ì ï y t 2 7 = - í ï = - + z 1 î

1(1; 2; 1)

169 12) 3) 64 / 27 (8 t Û - (4 7 ) t - t = = + tÛ = hoặc 0 Û - 0,25 M M ( ) ; - Vậy có hai điểm M thỏa bài toán : - , ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +MÎ D thì MÎ(P) và MA = MB. Ta có M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t) t ( + - MA = 13 128 t 0 = 334 7 ; 57 57 114 t 569 57

0,25 792 cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi Þ W = 792 Câu 9 (0,5đ)

3 5

1 3

120 cách chọn

1 C C C = 4 2 C C C = 4

2 3

1 5

90 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Câu 9) 5 C = + Có 12 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’ TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có cách chọn

0,25 Suy ra

XW = 120 + 90 = 210 35 132

XW W

= = Vậy P(X) = 210 792

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 2 a 36 (1 9 )(1 9 )

12 a 3 ab + - Câu 10) P = b + ab b + + + Câu 10 (1,0đ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

( a ) + a b + ( a b )( ) ab a ( b 1)( 1) 0 + a b + - - - = a )(1 b ) Û (1 = - -

GT :

(*)

)( b ab

( a ) + a b + ( ab .2 ab 4 ab a b + ) 2 ³ = + =

Vì

b )( ab a b b a 0,25

1 2 ö ÷ ø ab a )(1 b £ - ab ab + æ ç è a b ) 1 ( ) + = - + - -

, khi đó từ (*) suy ra 4

ab 1 2 £ - ab ab +

và (1 ,

0 t < £ 2 t t 1 3 t £ - Û 0 Û < £

Đặt t = ab (t > 0) ta được

1 9

2 2 a 36 (1 9 )(1 9 )

1 ì ï 3 í ï £ - t t 4 (1 3 ) î ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12 Þ £ a b ab (1 9 )(1 9 ) 36 + + ³ Ta có 1 ab 2 + b + + +

0,25 a và . ab 3 ab 3 2 ab ab - £ - = b + ab

P ab £ + Suy ra . Dấu đẳng thức xảy ra 1 ab 2 + 1 a bÛ = = . 3 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

f t ( ) t = + với 0 < t