SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN HỌC
(dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
Bài 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức
9 3 1 1
:
9
33
x x x
Fx
x x x x


với
0, 9xx
.
a) Rút gọn F. b) Tìm x sao cho
1F
.
Bài 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
1 2 1 3 2 1 4x x x x x x
với
1x
hoặc
4x
.
Bài 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của x sao cho biểu thức
2
2
23
1
xx
xx


nhận giá trị là
số nguyên.
Bài 4 (1,0 điểm). Các số
được xác định bởi
28 27
01
9, 27 28 ,
n n n
a a a a
với mọi
0,1, 2,...n
Chứng minh rằng số
11
a
viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9.
Bài 5 (2,0 điểm). Cho đa thức
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
, , , 9 6 6 4 .F x y z t x y y z z t t x xz y t yt x z xyzt
a) Hãy phân tích đa thức F thành tích của hai đa thức bậc hai.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức F khi
1xy zt
Bài 6 (1,5 điểm). Hình bình hành ABCD có
0
120A
, AB = a, BC = b. Các đường phân giác
trong của bốn góc A, B, C, D cắt nhau tạo thành tứ giác MNPQ. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Bài 7 (1,5 điểm). Trên các cạnh BC, CD của hình vuông có cạnh dài 1 đơn vị ABCD ta lấy các
điểm M, N tương ứng sao cho
2MC CN MN
đơn vị. Đường chéo BD cắt các đoạn AM, AN
lần lượt tại các điểm P và Q. Chứng minh rằng các đoạn thẳng BP, PQ, QD lập thành ba cạnh
của một tam giác vuông.
--------------- Hết ---------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:............................................................; Phòng thi:......; Số báo danh:.................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH
VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN HỌC
(dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán)
Bài
ĐÁP ÁN
Điểm
1.a
Đáp số
3
22
x
F
x
.
1,0
1.b
34
1 1 0
2 2 2 2
xx
F
xx

.
Do
2 2 0x
nên phải có
4 0 16xx
1,0
2
Nếu x = 1 thay vào phương trình ta được nghiệm x = 1.
0,25
Nếu
4x
phương trình tương đương với
2 3 2 4x x x
mà có
24
34
xx
xx
Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm.
0,25
Nếu
1x
, phương trình tương đương với
1 2 1 3 2 1 4 2 3 2 4x x x x x x x x x
0,25
mà có
24
34
xx
xx
Vậy trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
0,25
3
Đặt
2
2
2
2
12
23 0,
113
24
x
xx
kx
xx x


 



. Vậy k là số nguyên dương.
Từ đó có
2
1 2 3 0 1k x k x k
.
Nếu
1k
ta có
1
2
3
x
thỏa mãn.
Nếu
1k
để (1) có nghiệm hữu tỷ cần
22
2 4 1 3 0 3 20 8 0k k k k k
2
3 10 76 3 10 9 7k k k
.
Thay k = 2, 3, 4, 5, 6 ta thấy chỉ có :
1,0
A
D
B
C
M
N
P
Q
+)
3k
thì (1) có nghiệm
23
5
0, 2
xx
.
+) k = 6 thì (1) có nghiệm
45
3,1
5
xx
.
Vậy có 5 giá trị của x thỏa mãn.
4
Theo đề bài ta có
28 27 27 27
11 27 28 1 27 1 1
n n n n n n
a a a a a a
27 26 25 24 2
1 27 ... 1
n n n n n n n
a a a a a a a
27 26 25 2
1 27 1 1 1 ... 1 1
n n n n n n
a a a a a a
.
0,5
Ta có
27 26 25 2
1 1 , 1 1 , 1 1 ,... 1 1
n n n n n n n n
a a a a a a a a
nên suy
ra
2
111
nn
aa
(1)
0,25
Do
09a
và trong (1) cho n lấy giá trị từ 0 đến 10 ta suy ra
11
2
11 1 10a
hay
2048
11 1 10a
Vậy
11
a
viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9.
0,25
5.a
2 2 2 2
, , , 3 3 2 3 3 2F x y z t x z xz y t yt
1,0
5.b
Ta có
2
, , , 3 3 8 8F x y z t yz xy zt xt xy zt
Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn
1
1, 1, 0, 3
x y z t
.
1,0
6
Dễ thấy tứ giác MNPQ có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật.
0,25
Tam giác vuông ADM có
3
sin 2
b
DM AD DAM
.
Tam giác vuông DCN có
3
sin 2
a
DN DC DCN
.
Vậy
3
2
MN DN DM a b
.
(Giả sử a > b, trường hợp a < b làm tương tự, a = b thì không tồn tại tứ giác
MNPQ).
0,5
Tam giác vuông DCN có
0
cos 60 2
a
CN CD
.
Tam giác vuông BCP có
0
cos 60 2
b
CP CB
.
Vậy
2
ab
NP CN CP
.
0,5
A
D
B
C
H
M
N
P
Q
K
Suy ra diện tích hình chữ nhật MNPQ là
23
..
4
S MN NP a b
0,25
7
Trên cạnh DC kéo dài về phía D lấy điểm K sao cho DK = BM.
Ta có MN = BM + DN (suy ra từ giả thiết)
= DK + DN = KN. (1).
0,5
Mặt khác
ADK ABM AM AK
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
KAN MAN
. Từ đó
,AKN AMN AMB ANK ANM
.
Hạ AH vuông góc với MN. Dễ thấy
,AHM ABM HM MB AH AB
.
Suy ra AM là trung trực của HB. Từ đó PH = PB và
0
45APH APB AHP
.
0,5
Chứng minh tương tự có QH = QD,
0
45AHQ
.
Vậy
0 2 2 2 2 2
90QHP QP HQ HP QD BP
.
0,5
Giám khảo chấm bài chú ý: Nếu thí sinh giải bằng cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối
đa.