Đ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2002-2003Ề Ọ Ỏ Ố Ọ
MÔN: TOÁN (B ng A)ả
Ngày thi : 12/3/2003
Bài 1 : Cho hàm s f xác đ nh trên t p h p s th c R, l y giá tr trên R vàố ị ậ ợ ố ự ấ ị
tho mãn đi u ki n :ả ề ệ
f(cotgx) = sin2x + cos2x
v i m i x thu c kho ng (0;ớ ọ ộ ả
π
).
Hãy tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s :ị ỏ ấ ị ớ ấ ủ ố
g(x) = f(x).f(1-x)
trên đo n [-1;1]ạ
Bài 2 : Trong m t ph ng , cho hai đ ng tròn c đ nh (Oặ ẳ ườ ố ị
1
) và (O
2
) ti pế
xúc v i nhau t i đi m M , và bán kính c a đ ng tròn (Oớ ạ ể ủ ườ
2
) l n h n bánớ ơ
kính c a đ ng tròn (Oủ ườ
1
). Xét đi m A n m trên đ ng tròn (Oể ằ ườ
2
) sao cho 3
đi m Oể
1
,O
2
,A không th ng hàng . T A k các ti p tuy n AB và AC đ nẳ ừ ẻ ế ế ế
đ ng tròn (Oườ
1
) (B và C là các ti p đi m) . Các đ ng th ng MB và MCế ể ườ ẳ
c t l i đ ng tròn (Oắ ạ ườ
2
),t ng ng, t i E và F . G i D là giao đi m c aươ ứ ạ ọ ể ủ
đ ng th ng EF và ti p tuy n t i A c a đ ng tròn (Oườ ẳ ế ế ạ ủ ườ
2
) . Ch ng minhứ
r ng đi m D di đ ng trên m t đ ng th ng c đ nh , khi A di đ ng trênằ ể ộ ộ ườ ẳ ố ị ộ
đ ng tròn (Oườ
2
) sao cho ba đi m Oể
1
,O
2
,A không th ng hàng .ẳ
( (O) kí hi u đ ng tròn tâm O)ệ ườ
Bài 3 : V i m i s nguyên n>1 , kí hi u sớ ỗ ố ệ
n
là s các hoàn v (aố ị
1
,a
2
,….,a
n
)
c a n s nguyên d ng đ u tiên , mà m i hoán v (aủ ố ươ ầ ỗ ị
1
,a
2
,…., a
n
) đ u cóề
tính ch t 1ấ
≤
|a
k
- k|
≤
2 v i m i k = 1,2,3,…,n.ớ ọ
Ch ng minh r ng : 1,75.sứ ằ
1−n
< s
n
< 2.s
v i m i s nguyên n >6ớ ọ ố
------------------------------------------------
Đ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2002-2003Ề Ọ Ỏ Ố Ọ
MÔN: TOÁN (B ng A)ả
Ngày thi : 13/3/2003
Bài 4 : Hãy tìm s nguyên d ng n l n nh t sao cho h ph ng trình :ố ươ ớ ấ ệ ươ
(x+1)
2
+ y
2
1
= (x+2)
2
+ y
2
2
= … = (x+k)
2
+ y
2
k
= … = (x+n)
2
+ y
2
n
có nghi m nguyên (x,yệ
1
,y
2
,….,y
n
)
Bài 5 : Cho hai đa th c :ứ
P(x) = 4x
3
- 2x
2
- 15x + 9
và Q(x) = 12x
3
+ 6x
2
- 7x + 1
1/ Ch ng minh r ng m i đa th c đã cho đ u có ba nghi m th c phân bi tứ ằ ỗ ứ ề ệ ự ệ
2/ Kí hi u α và β t ng ng là nghi m l n nh t c a P(x) và Q(x) . Ch ngệ ươ ứ ệ ớ ấ ủ ứ
minh r ng: αằ
2
+ 3β
2
= 4
Bài 6 : Cho t p h p F g m t t c các hàm s f : Rậ ợ ồ ấ ả ố
+
→
R
+
tho mãn đi uả ề
ki n:ệ
f(3x)
≥
f(f(2x)) + x
v i m i s th c d ng x.ớ ọ ố ự ươ
Hãy tìm s th c α l n nh t sao cho v i m i hàm s f thu c t p h pố ự ớ ấ ớ ọ ố ộ ậ ợ
F ta đ u có :ề
f(x)
≥
α
v i m i s th c d ng x.ớ ọ ố ự ươ
( R
+
kí hi u t p h p các s th c d ng). ệ ậ ợ ố ự ươ
--------------------------------------