ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2015

2

2

M«n thi: To¸n häc (Dïng cho mäi thÝ sinh thi vµo tr­êng chuyªn) Thêi gian lµm bµi :120 phót

a

 a b 3

b 3

 2

3

Câu 1: 1) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn

a) Chứng minh rằng b) Chứng minh rằng

2

2

2

4

x

y

5

xy

a b   3 3   b a y x 3 2   

45  xy 5 2) Giải hệ phương trình

Câu 2

x

y

,x y không nhỏ hơn 2 sao cho

1

1) Tìm các số nguyên

 1

  1

2 x y

xy  chia hết cho  2 2 y 1 0.

,x y là những số thực thỏa mãn đẳng thức

2) Với   Tìm giá trị lớn nhất và

P

xy  y

1

3

nhỏ nhất của biểu thức

Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB.

1) Chứng minh rằng EF song song với BC. 2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp

tam giác AEM cắt đường trìn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng.

,i

j

là ô ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết các số Câu 4. 1) Cho bảng ô vuông 2015 2015 . Kí hiệu ô

,

j

i

i 

nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau: 10 …

 1

  ,

thì số k+1 6 9 …

j 1,

3 5 8 …

  . 1

1, j

j 

thì số k+1 được viết 1 2 4 7 … … . (Xem hình 1.)

1,1

,

.m n . Hãy xác định m

Hình 1

 Chứng minh rằng

2

2

2

a

b

c

     a b c

 

2

ab bc ac abc    ab bc ac

4. 

i) Số 1 được viết vào ô (1,1). ii) Nếu số k được viết vào ô  được viết vào ô  i iii) Nếu số k được viết vào ô  vào ô  Khi đó số 2015 được viết vào ô  và n. 2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn

2

a

2

b 3

Hướng dẫn: Câu 1. a) Giả sử a,b là hai số thực phân biệt thỏa mãn

2

2

a)

b 0

  a b  0

 3 

 a 2 3  2 3    a b a b  a b a b  

   0

   b    a            a b

 

27

3

3

a b loai 0 3 

b

 

27

3

3

  a

b

 ab a b 3  

 27

ab

9

2

2

b 3

4

a

2

 a b     a b    3 3     a b)

2

ab

3

 a b

4

a b

3

3

vì

 a b  3     2 ab      b a

45

2

x

3

y

5

xy

vậy

2

2

2

4

x

y

5

xy

  

b). Giải hệ phương trình

y  nhân hai vế của phương trình với y

0 2

2

2

xy

3

y

5

xy

2

2

2

4

x

y

5

xy

   

x

3

5

xy

3

y

5

xy

3

y

5

xy

3

y

5

xy

2

2

2

2

2

x

y

2

x

y

0

y

5

xy

xy

y

0

y

5

xy

y 

 x 2   2  x 4 

 x 2   2  x 4 

2    

Ta thấy x-y =0 là nghiệm của phương trình. Nếu

 x 2   2  x 2   2       2     

x  3  5 xy    x y 1 x  y  0 x  3  5 xy  x  y 2 x  y  0 x  3  5 xy y  2        x , y   x  y  0 2 5 4 5 y  y 

x

y

,x y không nhỏ hơn 2 sao cho

1

xy  chia hết cho 

Câu 2.

 1

  1

y

x

 suy ra xy - 1 xy +1- x –y

 1

x

y

 suy ra x-1  y -1 và y-1  x -1

 1

2 2

2 x y

,x y là những số thực thỏa mãn đẳng thức

a) Tìm các số nguyên Ta có xy – 1    1 Mà xy +1- x –y xy +1- x –y  Suy ra : (x-1) + (y -1)  1 Suy ra x = y x2 – 1  (x - 1)2 ta có x + 1  x - 1 suy ra 2  x - 1 suy ra x = 2 hoặc x = 3 3) Với 1 0. y   Tìm giá trị lớn nhất và

nhỏ nhất của biểu thức

P

xy  y

1

3

2

1

2

   2 y

2 x y

  

1

y

3 x y

3 2 y

2 x y 2

P

2

xy 2

2 x y

3

2

xy 2 x y

3

  1 0.

 1

2

3

 2 px y

   1 xy

2

  p

 0

2

  

4 12

p

2

0  suy ra 4 – 12p2 0

3

     3

p

p

3

1

Phương trình có nghiêm khi

xy  

y

   

x

.

1 27 2

14 27

27 14

1 3 3

1 3 3

suy ra Vây max P = 3 khi

Câu 3:

A

E

F

J

M

N

P

C

B

D

 BED CDF ,

BD AB  DC AC

 (cid:0)

BC FE

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0) FED EDB BED

AB AC (cid:0) BC FE

 (cid:0)

a) Ta có: AD là phân giác mà là tam giác cân,

 (cid:0)  APM DEF

 (cid:0) AEM BED  (cid:0)

(cid:0) 180    

BE   CF b) Ta có : mà (cid:0) APM Tương tự : (cid:0) DFE APN  (cid:0) (cid:0)   APN APM DFE FED MPN (cid:0) (cid:0) mà (cid:0)  MJN MDN EDF MJN MPN

(cid:0) (cid:0) (cid:0)   (cid:0) (cid:0) nội tiếp      180   MPNJ

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

(cid:0)

 JPM JNM JEM JPM APM A PJ

,

 APM DEF

và (cid:0) thẳng hàng

1)

1)

  1

x

1

x

  1

x

  x

  k

 k k ( 2

 k k ( 2

 1 8 2

 1 8 2

 1 8 2

    k 

  

  1

1 8.2015

k

63

c) Ta có : (cid:0) Câu 4: 1) Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, ... Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ k thì ta có:

x 

2015

 2

  

  

1)

 

1 1954

Áp dụng ta có

k 

63

k k  ( 2 

 

Số đầu tiên ở hàng chéo thứ là

4

4

 abc ab bc ac

4

3 3 3 a b c

  1

abc

của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954 1 62 Tọa độ của nó là (2, 62)

3

    a b c

33

abc

3

2 2 2 a b c

2

2

2

3

a

b

c

3

2 2 2 a b c

2

ab bc ac

2) Theo Cauchy 4 số ta có :

3

2

3

2

3

2

BĐT tương đương : (1)

a

x

,

b

y

,

c

,

0

 z x y z ,

3

3

3

3

3

3 x y

2

2

  x

xyz

3

y

z

2

3

3

xyz

z

y

z

z

  1 Áp dụng BĐT Schur bậc 3:

 yz y

 xz x

x

3 z y  xy x y

z

z

z

y

x

x

x y z , ,

3 3 z x 3 3   z z

 

 

x 

   y  0  với mọi số thực không âm

Đặt



 y y

  z

y

, 

2

2

z

z

y

yz

x

y

x

  z

y  y

y

x

x

0

z

 

y

z

y

x

0

 z   y   y y

 0 

x

x

y

z

z

z

0

x y z như nhau , giả sử x ,  z x  x x  z  y

 0   y y    y y   y y

x   

xz  

     x x  x

 z z

  x  y

    x x y Chứng minh BĐT : Do vai trò    z z Ta xét :    x x    x x dpcm

3

3

3

3

3

x

y

z

3

xyz

y

z

z

2

3 x y

2

3 3 z x

2

3 z y

 xy x

 yz y

 xz x

Ta có :

Dấu = xảy ra khi     b c a 1   y , y z z  0 x    x 