SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 20/6/2013
Thời gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm).
1. Rút gọn biểu thức
M 2 2 8 18
.
2. Giải hệ phương trình
2x y 9
3x 2y 10
.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức
2
3
2x 4 1 1
A1 x
1 x 1 x
(với
x 0, x 1
).
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.
Câu 3 (2,0 điểm). Cho phương trình 2
x 2(m 1)x 2m 0
(1)
(với x là ẩn, m là tham số).
1. Giải phương trình (1) với m = 0.
2. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác
vuông có cạnh huyền bằng
12
.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn
thẳng AO (C khác A và C khác O). Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AO cắt nửa đường
tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M (M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa
đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD.
1. Chứng minh tứ giác BCFM là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh EM = EF.
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng
hàng, từ đó suy ra góc ABI có số đo không đổi khi M di chuyển trên cung BD.
Câu 5 (1,5 điểm).
1. Chứng minh rằng phương trình
2
n 1 x 2x n n 2 n 3 0
(x là ẩn, n là tham
số) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
2. Giải phương trình
3 2
5 1 x 2 x 2
.
------HẾT------
Họ và tên thí sinh:..................................................... Số báo danh:...............................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..................................................................................................
Giám thị 2:..................................................................................................
Đ
Ề THI CHÍNH THỨC
1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN - Ngày thi 20/6/2013
(Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó.
2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau.
3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm.
4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng thì vẫn cho điểm đủ
từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.
5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm
bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.
6. Tuyệt đối không làm tròn điểm.
II. Hướng dẫn chi tiết
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(1,5
điểm)
1. (0,5 điểm)
M 2 2 8 18 2 2 4.2 9.2
0,25
2 2.2 2 3 2 2 2
0,25
2. (1,0 điểm)
2x y 9 4x 2y 18
3x 2y 10 3x 2y 10
7x 28
2x y 9
0,5
x 4
2x y 9
x 4
y 1
. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) = (4; 1) 0,5
Câu 2
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm)
2
3
2x 4 1 1
A1 x
1 x 1 x
2
3
2x 4 1 x 1 x
1 x 1 x
0,25
=
2
3
2x 4 2
1 x 1 x
0,25
2 2
2
2 2
2x 4 2 1 x x
2x 4 2
1 x
1 x 1 x x 1 x 1 x x
0,25
2
2 1 x
1 x 1 x x
=
2
2
1 x x
0,25
2. (1,0 điểm)
Với
x 0
x 1
thì 1 + x + x2
1 0,25
A = 2
2
2
1 x x
0,25
A = 2 khi x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x = 0 0,5
Câu 3
(2,0
1. (0,75 điểm)
Với m = 0 phương trình (1) trở thành 2
x 2x 0
0,25
2
điểm)
x x 2 0
0,25
x 0
hoặc
x 2
.
Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm: x = 0; x = 2. 0,25
2. (1,25 điểm)
2
' m 1 0 m
. Vậy PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2
x , x m
. 0,25
Để x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một
vuông thì ta phải có x1, x2 > 0.
Theo Vi-ét ta có
1 2
1 2
x x 2 m 1
x x 2m
.
Phương trình (1) có hai nghiệm dương
2 m 1 0
m 0
2m 0
.
0,25
Theo giả thiết có
2
2 2
1 2 1 2 1 2
x x 12 x x 2x x 12
0,25
2 2
4(m 1) 4m 12 m m 2 0
(*) 0,25
Giải phương trình (*) được m = 1 (thoả mãn), m = -2 (loại).
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. 0,25
Câu 4
(3,0
điểm)
1. (1,0 điểm)
D
E
M
I
H
F
C O BA
Ta có M thuộc đường tròn tâm O đường kính
AB (giả thiết) nên
฀
0
AMB 90
(góc nội tiếp
chắn nửa đường tròn) hay
฀
0
FMB 90
.
0,25
Mặt khác
฀
0
FCB 90
(giả thiết). 0,25
Do đó
฀
฀
0
FMB FCB 180
. Vậy tứ giác
BCFM là tứ giác nội tiếp.
0,5
2. (1,0 điểm)
Ta có BCFM là tứ giác nội tiếp (cmt)
฀
฀
CBM EFM 1
(vì cùng bù với
฀
CFM
) 0,25
Mặt khác
฀
฀
CBM EMF 2
(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng
chắn
฀
AM
) 0,25
Từ
฀
฀
1 & 2 EFM EMF
0,25
Suy ra tam giác EMF là tam giác cân tại E
EM EF
(đpcm) 0,25
3. (1,0 điểm)
Gọị H là trung điểm của DF. Suy ra
IH DF
và
฀
฀
DIF
DIH 3
2
.
Trong đường tròn
I
ta có:
฀
DMF
và
฀
DIF
lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm
cùng chắn cung DF. Suy ra
฀
฀
1
DMF DIF
2
(4).
Từ (3) và (4) suy ra
฀
฀
DMF DIH
hay
฀
฀
DMA DIH
.
0,25
Trong đường tròn
O
ta có:
฀
฀
DMA DBA
(góc nội tiếp cùng chắn
฀
DA
)
Suy ra
฀
฀
DBA DIH
0,25
3
Vì IH và BC cùng vuông góc với EC nên suy ra IH // BC. Do đó
฀
฀
o
DBA HIB 180
฀
฀
o
DIH HIB 180
Ba điểm D, I, B thẳng hàng. 0,25
฀
฀
ABI ABD
1
2
sđ
฀
AD
. Vì C cố định nên D cố định
1
2
sđ
฀
AD
không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
0,25
Câu 5
(1,5
điểm)
1. (0,75 điểm)
Với n = -1: Phương trình đã cho trở thành
2x 2 0 x 1
฀
. 0,25
Với
n 1
:
2 2
2 2
2 2 2
' 1 n n 1 n 2 n 3 1 n 3n n 3n 2
n 3n 2 n 3n 1 n 3n 1
0,25
Ta có
n
฀
,
'
là số chính phương, các hệ số của phương trình là số nguyên nên
suy ra phương trình đã cho luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n. 0,25
2. (0,75 điểm)
Cách 1: Điều kiện: 3
1 x 0 x 1
.
3 2 2 2
5 1 x 2 x 2 5 1 x 1 x x 2 x 2
Đặt 2
u 1 x; v 1 x x ; u 0, v 0
0,25
Phương trình đã cho trở thành
2
2 2 u u
5uv 2 u v 2 5 2 0
v v
u
2
v
hoặc
u 1
v 2
0,25
Với u
2
v
2 2
1 x 2 1 x x 4x 5x 3 0
(vô nghiệm)
Với
u 1
v 2
2 2
5 37
2 1 x 1 x x x 5x 3 0 x
2
(TM)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
5 37
x
2
.
0,25
Cách 2: Điều kiện: 3
1 x 0 x 1
.
2
3 2 3 2
5 1 x 2 x 2 25 1 x 4 x 2
0,25
4 3 2
2 2
2
2
4x 25x 16x 9 0
x 5x 3 4x 5x 3 0
x 5x 3 0
4x 5x 3 0
0,25
+ 2
5 37
x 5x 3 0 x
2
(thỏa mãn)
+ 2
4x 5x 3 0
: vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
5 37
x
2
.
0,25
------Hết------
4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH NINH BÌNH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn: TOÁN
Ngày thi: 21/6/2013
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
Câu 1 (1,5 điểm). Cho biểu thức
2
1 1 x 1
A :
x x x 1
x 1
(với
x 0, x 1
).
1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P A 16 x
.
Câu 2 (2,0 điểm). Cho phương trình
2
x m 1 x 6 0
(1)
(với x là ẩn, m là tham số).
1. Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm
x 1 2
.
2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
1 2
x , x
với mọi m. Tìm
m để biểu thức 2 2
1 2
B (x 9)(x 4)
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 (2,0 điểm).
1. Giải hệ phương trình
2 2 2
x y z 6
xy yz zx 7
x y z 14
.
2. Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn
2 2 2 2
x 1 x y 4x y
.
Câu 4 (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R có đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB
lấy một điểm H (H khác O và H khác B). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường
tròn tại hai điểm M và N. Trên tia đối của tia NM lấy một điểm C. AC cắt đường tròn tại K
khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
1. Chứng minh rằng tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh rằng tam giác
NKF là tam giác cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh rằng
2 2
KM KN
là không đổi khi H di chuyển trên đoạn
thẳng OB.
Câu 5 (1,5 điểm).
1. Cho x, y là các số thực thoả mãn
2
2 2 2 2
x x 2y 3 y 2 1
. Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
C x y
.
2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a; b) sao cho
2
a 2
ab 2
là số nguyên.
Đ
Ề THI CHÍNH THỨC