Đ thi vào 10 h THPT chuyên năm 2003 Đ i h c khoa h c t nhiên(vòng 2)ề ệ ạ ọ ọ ự
Bµi 1. Cho ph ng trình xươ 4 + 2mx2 + 4 = 0. Tìm giá tr c a tham s m đ ph ng trình có 4ị ủ ố ể ươ
nghi m phân bi t xệ ệ 1, x2, x3, x4 th a mãn xỏ14 + x24 + x34 + x44 = 32.
Bµi 2. Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
Bµi 3. Tìm các s nguyên x, y th a mãn xố ỏ 2 + xy + y2 = x2y2 .
Bµi 4. đ ng tròn (O) n i ti p ườ ộ ế ∆ ABC ti p xúc v i BC, CA, AB t ng ng t i D, E, F.ế ớ ươ ứ ạ
Đ ng tròn tâm (Oườ ’) bàng ti p trong góc ế∠ BAC c a ủ∆ ABC ti p xúc v i BC và ph nế ớ ầ
kéo dài c a AB, AC t ng ng t i P, M, N.ủ ươ ứ ạ
a) Ch ng minh r ng : BP = CD.ứ ằ
b) Trên đ ng th ng MN l y các đi m I và K sao cho CK // AB, BI // AC. Ch ng minhườ ẳ ấ ể ứ
r ng : t giác BICE và BKCF là hình bình hành.ằ ứ
c) G i (S) là đ ng tròn đi qua I, K, P. Ch ng minh r ng (S) ti p xúc v i BC, BI, CK.ọ ườ ứ ằ ế ớ
Bµi 5. S th c x thay đ i và th a mãn đi u ki n : ố ự ổ ỏ ề ệ
Tìm min c a .ủ
Đ thi vào 10 h THPT chuyên năm 2003 Đ i h c khoa h c t nhiênề ệ ạ ọ ọ ự
Bµi 1. Gi i ph ng trình .ả ươ
Bµi 2. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
Bµi 3. Tím các s nguyên x, y th a mãn đ ng th c : .ố ỏ ẳ ứ
Bµi 4. Cho n a đ ng tròn (O) đ ng kính AB = 2R. M, N là hai đi m trên n a đ ng trònử ườ ườ ể ử ườ
(O) sao cho M thu c cung AN và t ng các kho ng cách t A, B đ n đ ng th ng MNộ ổ ả ừ ế ườ ẳ
b ng ằ
a) Tính đ dài MN theo R.ộ
b) G i giao đi m c a hai dây AN và BM là I. Giao đi m c a các đ ng th ng AM vàọ ể ủ ể ủ ườ ẳ
BN là K. Ch ng minh r ng b n đi m M, N, I, K cùng n m trên m t đ ng tròn , Tínhứ ằ ố ể ằ ộ ườ
bán kính c a đ ng tròn đó theo R.ủ ườ
c) Tìm giá tr l n nh t c a di n tích ị ớ ấ ủ ệ ∆ KAB theo R khi M, N thay đ i nh ng v n th aổ ư ẫ ỏ
mãn gi thi t c a bài toán. ả ế ủ
Bµi 5. Cho x, y, z là các s th c th a mãn đi u ki n : x + y + z + xy + yz + zx = 6. Ch ngố ự ỏ ề ệ ứ
minh r ng : xằ2 + y2 + z2 ≥ 3.
Đ thi vào 10 h THPT chuyên năm 2002 Đ i h c khoa h c t nhiênề ệ ạ ọ ọ ự
Bµi 1. a) Gi i ph ng trình : .ả ươ
b) Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình : x + xy + y = 9ệ ủ ươ
Bµi 2. Gi i h ph ng trình : {ả ệ ươ M}
Bµi 3. Cho m i s nguyên d ng 1, 2, ườ ố ươ …, 10. S p x p 10 s đó m t cách tùy ý vàoắ ế ố ộ
m t hàng. C ng m i s v i s th t c a nó trong hàng ta đ c 10 t ng. Ch ng minhộ ộ ỗ ố ớ ố ứ ự ủ ượ ổ ứ
r ng trong 10 t ng đó t n t i ít nh t hai t ng có ch s t n cùng gi ng nhau.ằ ổ ồ ạ ấ ổ ữ ố ậ ố
Bµi 4. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : Trong đó a, b, c là đ dài ba c nh c a m tị ỏ ấ ủ ể ứ ộ ạ ủ ộ
tam giác.
Bµi 5. Đ ng tròn (C) tâm I n i ti p ườ ộ ế ∆ ABC ti p xúc v i các c nh BC, CA, AB t ngế ớ ạ ươ
ng t i Aứ ạ ’, B’, C’ .
a) G i các giao đi m c a đ ng tròn (C) v i các đo n IA, IB, IC l n l t t i M, N, P.ọ ể ủ ườ ớ ạ ầ ượ ạ
Ch ng minh r ng các đ ng th ng Aứ ằ ườ ẳ ’M, B’N, C’P đ ng quy.ồ
b) Kðo dài đo n AI c t đ ng tròn ngo i ti p ạ ắ ườ ạ ế ∆ ABC t i D (khác A). Ch ng minh r ngạ ứ ằ
trong đó r là bán kính đ ng tròn (C) .ườ
Đ thi vào 10 h THPT chuyên năm 2002 Đ i h c khoa h c t nhiênề ệ ạ ọ ọ ự
Bµi 1. a) Gi i ph ng trình : ả ươ
b) Gi i h ph ng trình :ả ệ ươ
Bµi 2. Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng ph ng trìnhộ ạ ủ ộ ứ ằ ươ
x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vô nghi m.ệ
Bµi 3. Tìm t t c các s nguyên n sao cho nấ ả ố 2 + 2002 là m t s chính ph ng.ộ ố ươ
Bµi 4. Tìm giá tr nh nh t c a bi t th c: Trong đó x, y, z là các s d ng thay đ iị ỏ ấ ủ ể ứ ố ươ ổ
th a mãn đi u ki n xỏ ề ệ 2 + y2 + z2 ≤ 3.
Bµi 5. Cho hình vuông ABCD. M là đi m thay đ i trên c nh BC (M không trùng v i B)ể ổ ạ ớ
và N là đi m thay đ i trên c nh CD (N không trùng D) sao cho ể ổ ạ ∠ MAN = ∠ MAB + ∠
NAD.
a) BD c t AN, AM t ng ng t i p và Q. Ch ng minh r ng 5 đi m P, Q, M, C, N cùngắ ươ ứ ạ ứ ằ ể
n m trên m t đ ng tròn.ằ ộ ườ
b) Ch ng minh r ng đ ng th ng MN luôn luôn ti p xúc v i m t đ ng tròn c đ nhứ ằ ườ ẳ ế ớ ộ ườ ố ị
khi M và N thay đ i.ổ
c) Ký hi u di n tích c a ệ ệ ủ ∆ APQ là S và di n tích t giác PQMN là Sệ ứ ’. Ch ng minh r ngứ ằ
t s không đ i khi M, N thay đ i.ỷ ố ổ ổ