Đề thi và đáp án môn: Toán cao cấp A1

Chia sẻ: Lê Hoàng Minh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

385
lượt xem 63
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bạn học sinh và quý thầy cô hãy tham khảo đề thi môn "Toán cao cấp A1" kèm đáp án để hệ thống lại kiến thức đã học cũng như kinh nghiệm ra đề. Hy vọng đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi và đáp án môn: Toán cao cấp A1

Trường ĐH Sư phạm kĩ thuật TP HCM Đề thi môn Toán cao cấp A1 (MATH130101) Khoa KHCB-Bộ môn Toán Ngày thi: 15/8/2014 Thời gian: 90 phút Câu I (3.5 điểm) 1+i √ 1. Cho số phức z = √ . Tính z 2016 và 5 z. 1 − 3i 2. Cho hàm số   x · ln(3x + 1) khi x > 0 f (x) = ex2 − 1 3 cos x + x khi x ≤ 0 a. Khảo sát sự liên tục của hàm f (x) tại x = 0. b. Tính f 0 (1). Câu II (1.5 điểm) √ Khảo sát và vẽ đường cong r = 3 + 2 sin φ trong tọa độ cực. Câu III (2.0 điểm) R2 x 1. Tính tích phân suy rộng I = 0 √ dx. 2−x R +∞ x3 + 2 2. Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng 1 . x5−x+3 Câu IV (3.0 điểm) n(n+1) P+∞ n 1. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số n=1 n+1 P+∞ xn 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n=1 2 . n +n 3. Khai triển thành chuỗi Fourier hàm f (x) tuần hoàn với chu kì T = 2π và được xác định bởi ( 3 khi0 < x < 3π 2 f (x) = 0 khi 3π2 ≤ x ≤ 2π 1
ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung√ √ Điểm z = 1−4 3 + 1+4 3 i = z = √12 cos 7π 7π I 1 12 + i sin 12 0.5 z 2016 = (√2)12016 cos 7π·2016 + i sin 7π·2016 12 0.5 √ 7π 7π 12 1 +2kπ +2kπ 5 z = 10√2 cos 12 5 +i 512 0.5 với k = 0, 1, 2, 3, 4 2 2a limx→0+ f (x) = limx→0+ x ln(3x+1) ex2 −1 = limx→0+ 3x x2 = 3 0.25 limx→0− f (x) = limx→0− (3 cos x + x) = 3 0.25 f (0) = 3 0.25 limx→0− f (x) = lim x→0+ f (x) = f (0) nên hàm số liên tục tại 0 0.25 2 2 3x −1 ln(3x + 1) + 3x+1 (ex ) − 2x2 · ex · ln(3x + 1) 0 2b Với x > 0, f (x) = 0.5 (ex2 −1 )2 (ln 4+ 34 )(e−1)−2e ln 4 f 0 (1) = (e−1)2 0.25 Câu II TXĐ: R, T = 2π 0.25 2 cos φ r0 = √ , r0 = 0 ⇔ φ = π2 , 3π 2 0.5 2 3 + 2 sin φ 3 + 2 sin φ tan w = , tan w = ∞ ⇔ φ = π2 , 3π 2 0.25 cos φ φ 0 π/2 3π/2 2π r0 √ + √ 0 - 0 + √ Bảng biến thiên 0.25 r 3 5 1 3 tan w ∞ ∞ Vẽ đồ thị Ra x 0.25 Câu III 1 I = lima→2− 0 √2−x dx 0.25 R √2−a 2 I = lima→2− 2 (2t − 4) √ 0.25 3 √ 2−a I = lima→2− 2t3 − 4t |√2 0.25 √ 8 2 I= 3 0.25 x3 + 2 1 f (x) 2 f (x) = 5 , g(x) = 2 , limx→+∞ =1 0.5 x −x+3 x g(x) R +∞ 1 1 dx hội tụ 0.25 x2 3 R +∞ x + 2 1 dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2. 0.25 x5 − x + 3 √ n n+1 Câu IV 1 limn→+∞ n un = limn→+∞ n+1 = 1e < 1 0.5 nên chuỗi hội
tụ
0.5 2 2 r = limn→+∞
aan+1
= limn→+∞ n n+3n+2 =1 0.25
n
2 +n P+∞ (−1)n 1 Tại x = 1, n=1 2 đan dấu, 2 giảm và → 0 khi n → +∞ 0.25 n +n n +n nên hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. P+∞ 1 1 1 Tại x = −1, n=1 2 có 2 ∼ 2 hi n → +∞, 0.25 n +n n +n n P+∞ 1 P+∞ 1 n=1 2 hội tụ nên n=1 2 hội tụ n n +n Vậy miền hội tụ là [−1, 1]. 0.25 1 R 2π 1 R 3π/2 3x 3π/2 9 3 a0 = 0 f (x)dx = 0 3dx = |0 = 0.25 π π π 2 1 R 2π an = f (x) cos(nx)dx, n ≥ 0 0.25 π 0 R 3π/2 3π/2 3nπ an = π1 0 3 cos(nx)dx = nπ 3 sin(nx) |0 3 = nπ sin R 2π 2 bn = π1 0 f (x) sin(nx)dx, n ≥ 1 0.25 1 3π/2 R −3 3π/2 −3 3nπ bn = π 0 3 sin(nx)dx = nπ cos(nx) |0 = nπ cos −1 2 a0 P+∞ x 6= 3π/2 + 2kπ, 2kπ: f (x) = + n=1 [an cos(nx) + bn sin(nx)] 2 x = 3π/2 + 2kπ, 2kπ, S(x) = 3/2 0.25 2
Đồ thị câu II 3