zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

13
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo này giới thiệu hai định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric là các mở rộng của nguyên lý cổ điểm, nguyên lý ánh xạ co Banach bằng cách thay hằng số co r thuộc [0,1) trong định lý điểm bất động Banach bằng hằng số co tổng quát hơn và các ví dụ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric Đoàn Trọng Hiếu 1 Khoa KHCB, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: hieupci@gmail.com Mobile: 0912548009 Tóm tắt Từ khóa: Bài báo này giới thiệu hai định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric là các mở rộng của nguyên lý cổ điểm, nguyên lý ánh Ánh xạ co; Đầy đủ; Điểm bất động; xạ co Banach bằng cách thay hằng số co r0,1 trong định lý điểm Kiểu metric; bất động Banach bằng hằng số co tổng quát hơn và các ví dụ. 1. GIỚI THIỆU (3) dx,y   k dx,z+dz,y  với mọi Năm 1922 nhà toán học Banach Stefan đã x,y,zX và hằng số k 0. Khi đó, bộ ba đặt nền móng cho lý thuyết điểm bất động bằng nguyên lý nổi tiếng: ”Nguyên lý ánh xạ co X,d,k  là một không gian kiểu metric. Banach’’ như sau. Cho T:MM là một ánh xạ Định nghĩa 2.1.2[1]. Giả sử  X,d,k  là một trên M nếu dTx,Ty  q.dx,y với không gian kiểu, x n là một dãy các phần tử của q 1,x,yM và M là không gian metric đầy đủ, thì X. Khi đó, ta nói rằng (1’) T có một điểm bất động duy nhất xM, (1) x n là hội tụ dến xX nếu (2’) limT x  x, n limdx n ,x  0. n n  n  (3’) d T x,x q 1q dx,Tx,xM. n 1 (2) x n là dãy Cauchy nếu Tiếp theo đó, xuất hiện nhiều hướng nghiên lim dx n ,x m  0. n,m cứu để mở rộng Định lý điểm bất động trên các không gian có cấu trúc tương tự không gian (3)  X,d,k  là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy metric. Đặc biệt, năm 1993 [1] và 1998 [2] các phần tử của X đều hội tụ trong nó. Czerwik đã đưa ra khái niệm không gian kiểu metric. Trong bài báo này tác giả đưa ra và chứng 2.2 Các định lý minh Định lý điểm bất động trong không gian Định lý 2.2.1 Cho  X,d,k  là một không gian kiểu metric là một mở rộng của Định lý điểm bất động của Banach. kiểu metric đầy đủ và T là ánh xạ đơn trị từ X vào chính nó. Giả sử tồn tại 0 sao cho 2. NỘI DUNG  dx,Ty  dTx,y  dx,y   dTx,Ty    dx,y , 2.1. Không gian kiểu metric và tính chất  k 1dx,Tx  kdy,Ty    Định nghĩa 2.1.1[1]. Cho X là một tập khác rỗng. với mọi x, y  X. Khi đó Ánh xạ d:XX 0, được gọi là một kiểu  (1) T có ít nhất một điểm bất động x  X; metric trên X nếu (1) dx,y  0 khi và chỉ khi x  y,x, yX; n   (2) Với mọi xX, thì dãy T x hội tụ đến điểm bất động. (2) dx,y  dy,x với mọi x,yX;   (3) Nếu x ,y  X là hai điểm bất động khác nhau thì 179 * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  limdn 0.  d x ,y   3  n Mặt khác, với mọi n,p , n,p1. Ta có Chứng minh: Lấy x0 X tùy ý. Xây dựng dx n ,x np   kdx n ,x n1   k 2dx n1 ,x n2   dãy x n sao cho x n1  Tx n với mọi n 0. Đặt  k pd x np1 ,x np  dn dx n ,x n1  với mọi n 0. Khi đó  kdn  k 2dn1  k p dnp1 0  dn  d x n ,x n1   dTx n1 ,Tx n   k n  n1 1d0  k 2 n1 n 1d0   d x n1 ,Tx n   dTx n1 ,x n   dx n1 ,x n    d x n1 ,x n   k p  np1 np2 1d0  k 1d x n1 ,Tx n1   kdx n ,Tx n     d x n1 ,x n1   dx n1 ,x n      k  k 2 n1  k p  np1 np2  n1  n  n1 1d0  d x n1 ,x n   k  k 2   k  n  n1 1d0 0, n . p  k 1d x n1 ,x n   kdx n ,x n1     k 1d x n1 ,x n   kdx n ,x n1    d x n1 ,x n  Điều đó cho thấy  k 1d x n1 ,x n   kdx n ,x n1     k 1dn1  kdn  limdx n ,x np  0 với mọi p1.  dn1 , n  1. n  k 1dn1  kdn   Do đó x n là một dãy Cauchy trong X. Vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại phần tử x  X sao Đặt cho x n hội tụ về x . Ta chứng minh rằng x  là n  k 1dn1 kdn , n 1. một điểm bất động của T. Thật vậy k 1dn1 kdn     d x n1 ,Tx   d Tx n ,Tx   Thế thì  d x ,Tx   dTx  ,x  d x n ,x       n n d x n ,x   0n 1 và dn ndn1 , n , n 1  k 1d x n ,Tx n   kd x  ,Tx        suy ra     d x n ,Tx   d x n1 ,x   d x n ,x       d x n ,x   dn dn1 , n , n 1.  k 1d x n ,x n1   kd x ,Tx         Ta có     k 1d x n ,x   kd x  ,Tx   d x n1 ,x     dn  dn1  kdn k 1dn1  kdn1 k 1dn   d x n ,x  .     k  1d x n ,x n1   kd x  ,Tx      1 1    k 1dn1 kdn k 1dn kdn1 Cho n ta thu được  k 1dn1 kdn   k 1dn  kdn1  limx n1  Tx . n k 1dn1 kdn k 1dn kdn1 Do đó Tx *  x , hay x  là một điểm bất động 1 1 của T. Nếu y   x cũng là một điểm bất động   .  n  n1 của T thì Các bất đẳng thức trên chứng tỏ d x * ,y *   dTx  ,Ty   n1 n , n , n 1.  d x ,Ty  dTx ,y  dx  ,y    Vì thế   d x ,y    k 1d x ,Tx  kdy ,Ty       nn1 1 1n 0, n . Nghĩa là 3d2  x ,y    limn n1 ...1 0,  n Suy ra suy ra * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 180
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH  d0,0  d1,1=d2,2=0,   d x* ,y *  . 3 1 d0,1= d1,0  , Ví dụ 2.2.2 Cho X 0,1,2 và d:XX 0, 2 được định nghĩa bởi d0,2  d2,0 1, d0,0  d1,1=d2,2=0, d1,2  d2,1 2. d0,1= d1,0 1,  4 Khi đó  X,d,k   là một không gian kiểu d0,2  d2,0 2,  3 d1,2  d2,1  4. metric đầy đủ. Ánh xạ T:X  X định nghĩa bởi Khi đó X,d,k 4 là một không gian kiểu T00, T11, T2=2. metric đầy đủ. Với 1, ta có Ánh xạ T:X  X định nghĩa bởi T00, T11, T2=0. d0,T1dT0,1d0,1 3  , 4  4 2 Với 3, ta có  3 1d0,T0 3 d1,T11   1  dT0,T1 d1,T2dT1,2d1,2  d0,T1dT0,1d0,1  6,   d0,1 4  4  5d0,T0 4d1,T13   3 1d1,T1 3 d2,T21   =1, d0,T2dT0,2d0,2 và 3. 1  dT1,T2 4  4  3 1d0,T0 3 d2,T21    d1,T2 dT1,2 d1,2    d1,2 Do đó Mx,y  1 với mọi x  yX. Mặt khác, ta  5H1,T1  4d2,T2 3  có 36 = . 1 3 11 dT0,T1 M0,1d0,1  , 2 4 Do đó, T thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.2.1. Rõ ràng T có hai điểm bất động khác nhau 2dT1,T2 M1,2d1,2 12,  là 0,1 và d0,1 1 1 1dT0,T2 M0,2d0,2 3. 3 Chú ý 2.2.3 Trong Định lý 2.2.1 biểu thức Vì vậy, T thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.2.1 với 1. Rõ ràng T có ba điểm bất động dx,Ty dTx,y dx,y  Mx,y : khác nhau là 0,1,2 và k 1dx,Txkdy,Ty   1 có giá trị lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1. Trong Ví dụ   d x ,y    , x *  y  X. 3 3 2.2.2 ta có Mx,y  1 với mọi x,yX. Ví dụ sau Định lý 2.2.5 Cho  X,d,k  là một không gian đây ta xét Mx,y  1 với mọi x  yX. kiểu metric đầy đủ và T là ánh xạ đơn trị từ X Ví dụ 2.2.4 Cho X 0,1,2 và d:XX 0, vào chính nó. Giả sử tồn tại 0 sao cho được định nghĩa bởi dTx,Ty  Mx,y dx,y , ở đây 181 * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020
ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH dx,Ty  dTx,y  dx,Tx  dy,Ty  dx,y  Thế thì Mx,y   k 2dx,Tx k 1dy,Ty   0n 1 và dn ndn1 , n , n 1. với mọi x, y  X. Khi đó Chứng minh tương tự Định lý 2.2.1, ta có kết luận của định lý. (1) T có ít nhất một điểm bất động x  X; KẾT QUẢ   (2) Với mọi xX, thì dãy Tn x hội tụ đến Bài báo này đã mở rộng nguyên lý ánh xạ co điểm bất động. Banach bằng hai định lý điểm bất động trong không gian kiểu metric đầy đủ bằng cách thay (3) Nếu x ,y   X là hai điểm bất động điều kiện co bằng điều kiện co tổng quát hơn. khác nhau thì 3. KẾT LUẬN  d x ,y    3    Không gian kiểu metric là không gian suy rộng và là không gian tổng quát hóa của không Chứng minh. Lấy x0 X tùy ý. Xây dựng gian metric thông thường, nghĩa là mọi metric thông thường là kiểu metric nhưng có những dãy x n sao cho x n1  Tx n với mọi n 0. Đặt không gian kiểu metric không là metric thông dn dx n ,x n1  với mọi n 0. Khi đó, ta có thường. Bài báo này, đã đưa ra và chứng minh hai Định lý điểm bất động là các mở rộng của dn  dTx n1 ,Tx n  Định lý điểm bất động Banach.  k  2d x n1 ,x n   k 1dx n ,x n1    d x n1 ,x n  TÀI LIỆU THAM KHẢO  k  2d x n1 ,x n   k 1dx n ,x n1    [1] S. Czerwik, “ Contraction mappings in b-  k 2dn1  k 1dn  metric spaces”, Acta Math. Inform. Univ.  dn1 , n  1.  k  2dn1  k 1dn   Ostraviensis. 1 (1993), 5-11. [2] S. Czerwik, “Nonlinear set-valued contraction mappings in b-metric spaces”,Atti Semin. Math. k 2dn1 k 1dn , n 1. Fis. Univ. Modena. 46 (1998), 263-276. Đặt  n  k 2dn1 k 1dn  * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 182

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.