Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài là tìm điều kiện để bài toán có nghiệm và nghiên cứu thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ánh xạ không giãn. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật toán song song giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L HIN HU THUT TON SONG SONG GII BI TON CN BNG TRN TP IM BT ËNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2020
TR×ÍNG I HÅC S× PHM KHOA TON L¶ Hi·n Hªu T26B.228 THUT TON SONG SONG GII BI TON CN BNG TRN TP IM BT ËNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH. NGUYN XUN TN THI NGUYN - 2020
Líi cam oan "Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n Tæi xin cam oan Luªn v«n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng" l cæng tr¼nh nghi¶n cùu khoa håc cõa ri¶ng GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n tæi d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa . Ngo i ra, trong luªn v«n tæi cán sû döng mët sè k¸t qu£, nhªn x²t cõa mët sè t¡c gi£ kh¡c ·u câ chó th½ch v tr½ch d¨n nguçn gèc. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn. N¸u ph¡t hi»n b§t ký sü gian lªn n o tæi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· nëi dung luªn v«n cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ L¶ Hi·n Hªu X¡c nhªn X¡c nhªn cõa khoa chuy¶n mæn cõa ng÷íi h÷îng d¨n GS. TSKH Nguy¹n Xu¥n T§n i
Líi c£m ìn Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, d¤y b£o º tæi ho n th nh tèt luªn v«n. Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong khoa To¡n , ¤i håc S÷ ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ d¤y b£o, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i khoa. Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn b¶n tæi, cê vô, ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n tèt nghi»p. Th¡i Nguy¶n, th¡ng n«m 2020 T¡c gi£ L¶ Hi·n Hªu ii
Danh möc c¡c kþ hi»u vi¸t tt R Tªp sè thüc. ∈ Thuëc cõa mët ph¦n tû èi vîi tªp hñp. ∀x Måi x. Rn Khæng gian Euclid thüc n-chi·u. H Khæng gian Hilbert thüc. xn → x D¢y hëi tö m¤nh tîi x. xn * x D¢y hëi tö y¸u tîi x. Chu©n cõa vectì x. q kxk = hx, xi hx, yi T½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y. (EP ) B i to¡n c¥n b¬ng. (SEP ) Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng. (DEP ) B i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u (SDEP ) Tªp nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng èi ng¨u. d(., .) Kho£ng c¡ch giúa hai ph¦n tû trong khæng gian Hilbert. PC nh x¤ chi¸u l¶n mët tªp hñp C. NC (x) Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x. domf Mi·n húu hi»u cõa h m f. graf ç thà cõa h m f. epif Tr¶n ç thà cõa h m f. lev ≤µ f Tªp mùc d÷îi cõa f t¤i µ. limak Giîi h¤n d÷îi cõa d¢y {ak }. limak Giîi h¤n tr¶n cõa d¢y {ak }. inf A Cªn d÷îi lîn nh§t cõa tªp sè thüc A. iii
supA Cªn tr¶n nhä nh§t cõa tªp sè thüc A. f 0 (x; y) ¤o h m cõa h m f t¤i x theo h÷îng y. ∇f (x) ¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x. ∂f (x) D÷îi vi ph¥n cõa h m f t¤i x. ιC H m ch¿ cõa tªp C. dH (A, B) Kho£ng c¡ch Hausdorff giúa hai tªp A v B. minH f Gi¡ trà cüc tiºu cõa h m f tr¶n to n khæng gian. argminf Tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m f tr¶n to n khæng gian. minC f Gi¡ trà cüc tiºu cõa h m f tr¶n tªp C. arg minC f Tªp c¡c iºm cüc tiºu cõa h m f tr¶n tªp C. F ixT Tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T. iv
Möc löc Mð ¦u 1 1 Lþ do chån · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Möc ½ch nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ch÷ìng I: Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Tªp lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tªp âng, tªp âng y¸u, tªp mð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Tªp compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa h m sè trong khæng gian Hilbert . . 8 1.3 D÷îi vi ph¥n cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 T½nh ìn i»u cõa h m sè trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . 11 Ch÷ìng II: Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng 15 2.1 B i to¡n c¥n b¬ng v sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Giîi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Sü tçn t¤i nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Mët sè b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.4 Mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t v tèc ë hëi tö cho b i to¡n c¥n b¬ng . . . 23 v
2.2 Thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng . . . 32 2.2.1 Thuªt to¡n v sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2 Mët sè tr÷íng hñp ri¶ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 K¸t luªn 43 T i li»u tham kh£o 44 vi
MÐ U 1. Lþ do chån · t i. Cho C l mët tªp kh¡c réng, f : C × C → R l mët h m sè thäa m¢n f (x, x) = 0, ∀x ∈ C ( ÷ñc gåi l song h m c¥n b¬ng). B i to¡n: T¼m x∗ ∈ C sao cho: f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (EP ) ÷ñc gåi l b i to¡n c¥n b¬ng, x∗ ÷ñc gåi l nghi»m. Tªp nghi»m cõa b i to¡n (EP) ÷ñc k½ hi»u l (SEP). "C¥n b¬ng" l thuªt ngú tø l¥u ¢ ÷ñc sû döng rëng r¢i trong c£ thüc ti¹n v to¡n håc d÷îi nhi·u h¼nh thùc, quy mæ kh¡c nhau. B i to¡n c¥n b¬ng ¢ ÷ñc Nikaido v Isoda n¶u ra tø n«m 1955. N«m 1994, b i to¡n ÷ñc Blum v Oettli ph¡t biºu r§t ìn gi£n nh÷ tr¶n. Trong l¾nh vüc to¡n håc, b i to¡n c¥n b¬ng bao h m nhi·u lîp b i to¡n li¶n quan nh÷ b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm y¶n ngüa, b i to¡n iºm b§t ëng, b i to¡n Nash,... B i to¡n c¥n b¬ng °t ra v§n · quan trång c¦n gi£i quy¸t l t¼m i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m v x¥y düng thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa b i to¡n n y. Kh£o s¡t c¡c i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m, ta ph£i °t c¡c i·u ki»n l¶n tªp hñp C h m sè f . C¡c thuªt to¡n ÷ñc bi¸t hi»n nay cì b£n düa tr¶n k¾ thuªt t¼m nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u, nh÷ thuªt to¡n chi¸u, thuªt to¡n chi¸u t«ng c÷íng, ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ( h m gap), h m ph¤t, ph÷ìng ph¡p h÷îng gi£m, ho°c c¡c k¾ thuªt hi»u ch¿nh nh÷ ph÷ìng ph¡p 1
iºm g¦n k· hay lþ thuy¸t hi»u ch¿nh Tikhonow. Mët h÷îng ti¸p cªn cì b£n º gi£i (EP) ÷ñc düa tr¶n k¸t qu£ : x∗ l mët nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng (EP) khi v ch¿ khi nâ l mët nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u min {f (x∗ , y) : y ∈ C} , hay l iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ a trà φ(x) = arg min {f (x, y) : y ∈ C} . º t¼m hiºu s¥u sc v· b i to¡n n y, tæi chån · t i luªn v«n cao håc cõa m¼nh v·thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng GS. TSKH. Nguy¹n , d÷îi sü h÷îng d¨n nghi¶m tóc, tªn t¼nh cõa Xu¥n T§n , vîi hy vång luªn v«n s³ l mët têng quan tèt v· ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húa h¤n tr¶n cì sð cõa gi£i t½ch lçi, gi£i t½ch h m, v nhúng thuªt to¡n ¢ câ trong lþ thuy¸t tèi ÷u. Nëi dung cõa luªn v«n düa tr¶n mët sè thuªt to¡n ¢ câ v hai b i b¡o mîi ÷ñc cæng bè cõa Phung M. Duc, Le D. Muu A splitting algorithm for a class of bilevel equilibrium problems involving nonexpansive mappings, Optimization, Vol 65( 2016), pages 1855-1866 v b i b¡o cõa Phung M. Duc, Le D. Muu, Nguyen V. Quy: Solution-existence and algorithms with their convergence rate for strongly pseudomonotone equilibrium problems , Pacific Journal of Optimization, Vol 12 No.4, pages 833-845,2016. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Möc ½ch m · t i °t ra l t¼m i·u ki»n º b i to¡n câ nghi»m v nghi¶n cùu thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n ¡nh x¤ khæng gi¢n ( b i to¡n c¥n b¬ng c§p 2). 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu Vîi c¡c möc ½ch °t ra nh÷ tr¶n, trong luªn v«n n y chóng tæi x²t i·u ki»n õ º b i to¡n c¥n b¬ng câ nghi»m, giîi thi»u mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t v tr¼nh b y thuªt 2
to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert. X¥y düng thuªt to¡n t¼m nghi»m cõa b i to¡n. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Thu thªp t i li»u v· b i to¡n c¥n b¬ng ¢ cæng bè tr¶n c¡c t¤p ch½ v s¡ch gi¡o khoa, s¡ch chuy¶n kh£o, x¥y düng thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng düa tr¶n thuªt to¡n gi£i b i to¡n tèi ÷u li¶n quan. 5. Dü ki¸n k¸t qu£ nghi¶n cùu Luªn v«n l mët têng quan v· b i to¡n c¥n b¬ng v mët sè k¸t qu£ cõa thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng. · t i luªn v«n ÷ñc chia th nh 2 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. ÷a ra mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· khæng gian Hilbert v c¡c t½nh ch§t cõa tªp hñp con, c¡c h m sè, t½nh li¶n töc, t½nh ìn i»u cõa h m sè tr¶n khæng gian Hilbert. Ch÷ìng 2. Giîi thi»u b i to¡n c¥n b¬ng v ÷a ra mët sè i·u ki»n õ v· sü tçn t¤i nghi»m, giîi thi»u mët sè thuªt to¡n ¢ bi¸t º t¼m nghi»m , tr¼nh b y thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng. 3
CH×ÌNG I: KIN THÙC CHUN BÀ º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n c¥n b¬ng, ta ph£i nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa tªp C v h m f . Ta ph£i trang bà tr¶n khæng gian chùa C , hai c§u tróc tæpæ v ¤i sè, tø â t¼m ra c¡c t½nh ch§t cõa tªp C h m f º £m b£o b i to¡n câ nghi»m. Ta bt ¦u b¬ng ch÷ìng: Ki¸n thùc chu©n bà º nhc l¤i c¡c ki¸n thùc cì b£n cõa gi£i t½ch h m, gi£i t½ch lçi. C¡c k¸t qu£ cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong khæng gian Hilbert, m°c dò chóng v¨n cán óng trong c¡c khæng gian têng qu¡t hìn. Tr÷îc h¸t, ta nhc l¤i c¡c ki¸n thùc cì b£n v mët sè bê ·, ành lþ c¦n thi¸t ÷ñc sû döng trong chùng minh sü tçn t¤i nghi»m công nh÷ sü hëi tö cõa thuªt to¡n song song gi£i b i to¡n c¥n b¬ng tr¶n tªp iºm b§t ëng trong c¡c ch÷ìng sau. Mët sè kh¡i ni»m cì b£n trong ch÷ìng n y ÷ñc l§y tø t i li»u [1]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· tªp hñp trong khæng gian Hilbert 1.1.1 Tªp lçi Ta bi¸t r¬ng mët khæng gian Hilbert l mët khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n â ÷ñc x¡c ành mët h m song tuy¸n t½nh h., .i (÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng) thäa m¢n: hx, xi ≥ 0 vîi måi x ∈ H. 4
Cho H l mët khæng gian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng h., .i. Chu©n v kho£ng c¡ch li¶n k¸t vîi t½ch væ h÷îng â kþ hi»u l k.k v d (., .), ÷ñc x¡c ành : q ∀x, y ∈ H : kxk = hx, xi v d(x, y) = kx − y |. Ta th§y r¬ng tr¶n khæng gian Hilbert câ hai c§u tróc tæpæ v ¤i sè, ta câ thº sû döng hai c§u tróc n y º ÷a ra c¡c kh¡i ni»m mîi v· tªp hñp trong khæng gian Hilbert. Trong khæng gian Hilbert, ta câ kh¡i ni»m ÷íng th¯ng. Cho hai iºm a, b ∈ H. ÷íng th¯ng i qua hai iºm a v b câ d¤ng {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R} . Tªp [a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]} ÷ñc gåi l o¤n th¯ng nèi hai iºm a v b. Cho u ∈ H\ {0} v η ∈ R. Mët si¶u ph¯ng vîi v²c-tì ph¡p tuy¸n u trong H l tªp câ d¤ng {x ∈ H : hx, ui = η} . Méi si¶u ph¯ng chia khæng gian th nh hai nûa, c¡c tªp {x ∈ H : hx, ui ≤ η} v {x ∈ H : hx, ui < η} , l¦n l÷ñt ÷ñc gåi l nûa khæng gian âng v nûa khæng gian mð vîi v²c-tì ph¡p tuy¸n ngo i u. D÷îi ¥y câ c¡c kh¡i ni»m cõa gi£i t½ch lçi. Trong ph¦n n y ta ·u gi£ sû C l tªp con lçi, âng, kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H. ành ngh¾a 1.1.1. Mët tªp con C cõa H ÷ñc gåi l lçi n¸u vîi måi x, y ∈ C , [x, y] ⊂ C , tùc l λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] . 5
V½ dö: H¼nh trán, h¼nh tam gi¡c,... ành ngh¾a 1.1.2. Cho u ∈ H. Kho£ng c¡ch tø x ¸n C , kþ hi»u l dC (x), ÷ñc x¡c ành : dC (x) = inf {d(x, y) : y ∈ C} = inf {kx − yk : y ∈ C} . N¸u câ iºm p∈C sao cho kx − pk = dC (x) th¼ p ÷ñc gåi l mët h¼nh chi¸u cõa x tr¶n C . N¸u måi iºm trong H ·u câ duy nh§t mët h¼nh chi¸u tr¶n C , C ÷ñc gåi l tªp Chebyshev. Trong tr÷íng hñp n y, quy tc ùng vîi méi iºm trong H mët h¼nh chi¸u duy nh§t cõa nâ tr¶n C cho ta mët to¡n tû gåi l to¡n tû chi¸u tr¶n C , ÷ñc kþ hi»u l PC . Ta câ mët k¸t qu£ cì b£n cho h¼nh chi¸u cõa mët iºm tr¶n mët tªp lçi âng kh¡c réng sau ( xem chùng minh trong [1]). ành lþ 1.1.1. Tªp C l mët tªp Chebyshev v vîi måi x v p trong H, n¸u: v p = Pc (x) ⇔ p ∈ C (∀y ∈ C) hx − p, y − pi ≤ 0 . ành ngh¾a 1.1.3. Nân ph¡p tuy¸n cõa C t¤i x, kþ hi»u l NC x, ÷ñc x¡c ành bði {u ∈ H |hu, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C } , n¸u x ∈ C, NC x = ∅, n¸u x ∈ / C. 1.1.2 Tªp âng, tªp âng y¸u, tªp mð ành ngh¾a 1.1.4. Mët d¢y {xn } trong H ÷ñc gåi l (i) hëi tö m¤nh ¸n iºm x n¸u lim kxk − xk = 0, kþ hi»u l xn → x; k→∞ (ii) hëi tö y¸u ¸n iºm x n¸u vîi måi u ∈ H, hxn −x, ui → 0 khi n → ∞, kþ hi»u l xn * x. ành ngh¾a 1.1.5. Tªp A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp âng n¸u måi d¢y {xn } ⊆ A hëi tö ¸n x th¼ x ∈ A. 6
ành ngh¾a 1.1.6. Tªp A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp âng y¸u n¸u {xn }n≥0 hëi tö y¸u ¸n x th¼ x ∈ A. ành ngh¾a 1.1.7. Tªp A ⊆ H ÷ñc gåi l tªp compact n¸u måi d¢y {xn }n≥0 ⊆ A ·u câ d¢y con xnj j≥0 hëi tö tîi x ∈ A. ành ngh¾a 1.1.8. B ⊆ H Tªp H\B ÷ñc gåi l tªp mð n¸u l tªp âng. Bê · 1.1.1. Cho {xn}n≥0 v {un}n≥0 l c¡c d¢y trong H, x v u l c¡c iºm trong H. Gi£ sû xn * x, un → u khi n → ∞. Khi â hxn, uni → hx, ui khi n → ∞. Bê · 1.1.2. Cho {xn}n≥0 l mët d¢y bà ch°n trong H. Khi â câ mët d¢y con {xn}n≥0 hëi tö y¸u. 1.1.3 Tªp compact ành ngh¾a 1.1.9. Cho c¡c khæng gian metric (X, d) (i) Mët hå {Gi : i ∈ I} c¡c tªp con cõa X ÷ñc gåi l mët phõ mð cõa tªp A ⊂ X S n¸u A⊂ Gi i∈I N¸u I l tªp húu h¤n th¼ ta nâi phõ l húu h¤n. N¸u måi Gi l tªp mð th¼ ta nâi phõ l phõ mð. (ii) Tªp A⊂X ÷ìc gåi l tªp compact n¸u méi phõ mð cõa A ta luæn câ thº l§y ra ÷ñc mët phõ húu h¤n. (iii) Tªp A ÷ñc gåi l compact t÷ìng èi n¸u A l tªp compact. V½ dö: Tªp húu h¤n l mët tªp compact. ành ngh¾a 1.1.10. Cho A ÷ñc gåi l compact t÷ìng èi n¸u bao âng A l tªp compact. ành ngh¾a 1.1.11. Mët khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l ¸m ÷ñc n¸u X câ mët d¢y {xn } trò mªt trong X , tùc l bao âng cõa {xn } b¬ng X . 7
ành ngh¾a 1.1.12. Mët khæng gian tæpæ X ÷ñc gåi l compact àa ph÷ìng n¸u vîi måi x∈X câ mët l¥n cªn U cõa x thäa m¢n U l mët khæng gian con compact cõa X . Måi khæng gian compact àa ph÷ìng l khæng gian Tychonoff. ành lþ 1.1.2.(ành lþ Weierstrass) Trong khæng gian metric X , c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: (i) Tªp A ⊂ X l compact. (ii) Tø méi d¢y {xn} ⊂ A câ thº l§y ra mët d¢y con hëi tö v· ph¦n tû thuëc A. 1.2 Mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa h m sè trong khæng gian Hilbert Cho C l mët tªp con kh¡c réng cõa H v h m f : C → [−∞, +∞]. Mi·n húu hi»u (mi·n x¡c ành) cõa f l tªp domf = {x ∈ C|f (x) < +∞} , ç thà cõa f l tªp: graf = {(x, µ) ∈ C × R|f (x) = µ} , tr¶n ç thà cõa f l tªp epif = {(x, µ) ∈ C × R||f (x) ≤ µ} . Tªp mùc d÷îi cõa f t¤i ξ ∈ R l tªp lev≤µ f = {x ∈ C |f (x) ≤ µ} . H m f ÷ñc gåi l ch½nh th÷íng n¸u −∞ ∈ / f (C) v domf 6= φ. ành ngh¾a 1.2.1. Mët h m f : C → [−∞, +∞] ÷ñc gåi l lçi tr¶n C n¸u tr¶n ç thà cõa nâ l mët tªp lçi. 8
ành ngh¾a 1.2.2. Cho φ 6= C ⊆ Rn lçi. (i) H m f : Rn → R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l h m lçi ch°t tr¶n C n¸u f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1). (ii) H m f : Rn → R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l h m lçi m¤nh tr¶n C vîi h» sè η > 0, n¸u ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1) ta câ: 1 f [λx + (1 − λ)y] < λf (x) + (1 − λ)f (y) − ηλ(1 − λ)kx − yk2 . 2 (iii) H m f ÷ñc gåi l h m lãm tr¶n C n¸u −f l h m lçi tr¶n C. ành ngh¾a 1.2.3. Mët h m f gåi l âng, n¸u epif l mët tªp âng trong Rn+1 . ành ngh¾a 1.2.4. H m f : C → R ∪ {+∞} ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi ( nûa li¶n töc d÷îi y¸u ) t¤i iºm x∈C n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ C xn → x ⇒ f (x) ≤ limf (xn ). (xn * x ⇒ f (x) ≤ limf (xn )). H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi ( nûa li¶n töc d÷îi y¸u) ð tr¶n C n¸u nâ nûa li¶n töc d÷îi (nûa li¶n töc d÷îi y¸u) t¤i måi iºm trong C. H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) t¤i iºm x∈C n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ C , xn → x ⇒ f (x) ≥ limf (xn ). (xn * x ⇒ f (x) ≥ limf (xn )). H m f ÷ñc gåi l nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) ð tr¶n C n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u) t¤i måi iºm trong C. H m f ÷ñc gåi l li¶n töc ( li¶n töc y¸u ) t¤i iºm x n¸u nâ çng thíi nûa li¶n töc tr¶n ( nûa li¶n töc tr¶n y¸u ) v nûa li¶n töc d÷îi ( nûa li¶n töc d÷îi y¸u ) t¤i â. H m 9
f ÷ñc gåi l li¶n töc ( li¶n töc y¸u) ð tr¶n C n¸u nâ li¶n töc ( li¶n töc y¸u ) t¤i måi iºm trong C. H m f ÷ñc gåi l b¡n li¶n töc tr¶n ð tr¶n C n¸u vîi måi x, y ∈ C v α ∈ [0, 1], h m sè τ (α) = f [αx + (1 − α)y] l nûa li¶n töc tr¶n t¤i 0+ . 1.3 D÷îi vi ph¥n cõa h m sè N¸u h m f x¡c ành tr¶n C th¼ ta câ thº th¡c triºn l¶n to n khæng gian b¬ng c¡ch °t f (x), x ∈ C; F (x) = +∞, x ∈ / C. Do â, d÷îi ¥y ta câ thº x²t vîi h m x¡c ành tr¶n to n khæng gian. Ta nhc l¤i kh¡i ni»m ¤o h m theo h÷îng. ành ngh¾a 1.3.1. Cho f : H → R ∪ {+∞} l h m ch½nh th÷íng, x ∈ domf v y ∈ H. Ta gåi ¤o h m theo h÷îng cõa h m f t¤i x l ¤i l÷ñng f (x + αx) − f (x) f 0 (x; y) = lim . α↓0 α n¸u giîi h¤n n y tçn t¤i. N¸u h m f câ ¤o h m t¤i x theo måi h÷îng v f 0 (x; .) l mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n H th¼ f ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux t¤i x, v theo biºu di¹n Riesz-Fr²chet, tçn t¤i duy nh§t mët v²c-tì ∇f (x) ∈ H sao cho: (∀y ∈ H)f 0 (x; y) = hy, ∇f (x)i . N¸u câ f (x + y) − f (x) − hy, ∇(x)i lim = 0, 06=y→0 kyk ta nâi f l kh£ vi Fr²chet t¤i x, v ∇f (x) ÷ñc gåi l ¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x. Mët h m câ thº khæng kh£ vi t¤i mët iºm, ta câ thº ÷a ra kh¡i ni»m g¦n vîi kh¡i ni»m kh£ vi nh÷ sau: ành ngh¾a 1.3.2. Cho f : H → R ∪ {+∞} l h m ch½nh th÷íng. 10
(i) Mët v²c-tì p ∈ H ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x ∈ H n¸u f (x) + hp, y − xi ≤ f (y), ∀y ∈ H. Tªp t§t c£ c¡c d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x ÷ñc gåi l d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, kþ hi»u l ∂f (x). H m f ÷ñc gåi l kh£ d÷îi vi ph¥n t¤i x n¸u ∂f (x) 6= φ. (ii) Cho sè thüc d÷ìng , mët v²c-tì p ∈ H ÷ñc gåi l mët -d÷îi ¤o h m cõa f t¤i iºm x ∈ H n¸u f (x) + hp, y − xi − ≤ f (y), ∀y ∈ H Tªp t§t c£ c¡c - d÷îi ¤o h m cõa f t¤i x ÷ñc gåi l - d÷îi vi ph¥n cõa f t¤i x, kþ hi»u l ∂ f (x). H m ch¿ cõa tªp C , kþ hi»u l ιC , ÷ñc x¡c ành bði 0, n¸u x ∈ C, ιC (x) = +∞, n¸u x ∈ / C. N¸u C l mët tªp con lçi kh¡c réng cõa H, th¼ ta câ ∂ιC (x) = NC (x). D÷îi ¥y, ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· t½nh li¶n töc cõa ¡nh x¤ trong khæng gian Hilbert. ành ngh¾a 1.3.3. Cho C l mët tªp con kh¡c réng cõa H v ¡nh x¤ T : C → H. (i) T ÷ñc gåi l li¶n töc Lipschitz tr¶n C vîi h» sè L > 0, n¸u kT x − T yk ≤ L kx − yk , ∀x, y ∈ C. N¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n, v n¸u 0 < L < 1 th¼ T gåi l ¡nh x¤ co, (ii) T ÷ñc gåi l b¡n li¶n töc tr¶n C n¸u vîi x ∈ C , y ∈ H v x + tn y ∈ C , ð â {tn } l mët d¢y sè d÷ìng sao cho lim tn = 0, k²o theo T (x + tn y) * T (x). n→∞ 1.4 T½nh ìn i»u cõa h m sè trong khæng gian Hilbert ành ngh¾a 1.4.1. nh x¤ T : C → H ÷ñc gåi : 11
(i) ìn i»u m¤nh vîi h» sè γ > 0 tr¶n C , n¸u hT x − T y, x − yi ≥ γkx − yk2 ∀x, y ∈ C; (ii) ìn i»u tr¶n C , n¸u hT x − T y, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (iii) ìn i»u ch°t tr¶n C n¸u b§t ký x, y ∈ C, x 6= y sao cho T (x, y) + T (y, x) < 0 (iv) γ - gi£ ìn i»u m¤nh tr¶n C , n¸u vîi måi x, y ∈ C , hT y, x − yi ≥ 0 ⇒ hT x, x − yi ≥ γkx − yk2 ; (v) gi£ ìn i»u tr¶n C , n¸u vîi måi x, y ∈ C , hT y, x − yi ≥ 0 ⇒ hT x, x − yi ≥ 0; (vi) ìn i»u m¤nh ng÷ñc vîi h» sè γ > 0 tr¶n C , n¸u hT x − T y, x − yi ≥ γkT x − T yk2 , ∀x, y ∈ C. Ta nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· ¡nh x¤ a trà. Cho F : H → 2H l mët ¡nh x¤ a trà. Tªp x¡c ành cõa F , kþ hi»u l domF , ÷ñc x¡c ành bði domF = {x ∈ H : F (x) 6= φ} , ç thà cõa F l tªp graF = {(x, y) ∈ H × H : y ∈ F (x)} . Cho A v B l c¡c tªp con cõa H. Kho£ng c¡ch Hausdorff giúa A v B ÷ñc x¡c ành bði dH (A, B) := max {d(A, B), d(B, A)} , 12