Sự tồn tại nghiệm S-tuần hoàn tiệm cận cho một lớp hệ vi phân không địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sự tồn tại nghiệm S-tuần hoàn tiệm cận cho một lớp hệ vi phân không địa phương trình bày việc tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm nhẹ với tính chất S-tuần hoàn tiệm cận cho lớp phương trình vi phân không địa phương với ngoại lực phụ thuộc vào ẩn hàm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại nghiệm S-tuần hoàn tiệm cận cho một lớp hệ vi phân không địa phương

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM S-TUẦN HOÀN TIỆM CẬN CHO MỘT LỚP HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Lê Thị Minh Hải Trường Đại học Thuỷ lợi email: lethiminhhai@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU Volterra loại 2 với nhân hoàn toàn dương và Trong bài báo này, ta xét hệ nguyên lí ánh xạ co. d   k * ( u  u0 )  Au  f  t,u( t ) , t  0 (1) 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU  dt Phần đầu trình bày một số kiến thức cơ cở, u( 0 )  u0 (2) tiếp theo chúng tôi chứng minh tính chất của ẩn hàm u nhận giá trị trong không gian toán tử nghiệm (Bổ đề B). Dựa vào đó, chúng Hilbert khả li H , nhân k  L1loc   , A là  tôi tìm được điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm S-tuần hoàn tiệm cận cho hệ (1)-(2). toán tử tuyến tính không bị chặn, Cuối cùng là một ví dụ minh họa cho kết quả f :  0,    H  H là một hàm cho trước và lí thuyết. Ta ký hiệu J : [0, ) . * là kí hiệu tích chập Laplace Định nghĩa 1. ([2]) Một hàm f  BC  J ,H  t được gọi là S – tiệm cận tuần hoàn chu kỳ   k * v  ( t )   k( t  s )v( s )d s nếu tồn tại  > 0 sao cho 0 Hệ trên là mô hình tổng quát của một số lim f  t     f ( t )  0 t  lớp hệ vi phân đang thu hút sự quan tâm của Số  gọi là một tiệm cận chu kỳ của f. một số nhà toán học (xem [3]). Trong [3], các Từ đây, ta kí hiệu f ( t ) : f  t    . tác giả đã nghiên cứu về công thức nghiệm, tính chính qui và tính ổn định của nghiệm Tập SAP( H ) gồm các hàm S – tiệm cận nhẹ. Sự tồn tại nghiệm có tính S- tuần hoàn tuần hoàn chu kỳ  là một không gian Banach tiệm cận đã thu hút được sự quan tâm của con của BC  J , H  (xem [2]). nhiều tác giả (xem [1], [2] và các tài liệu liên Để đưa ra công thức nghiệm, chúng ta cần quan). Trong bài báo này, chúng tôi tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm nhẹ với   giả thiết (K): Hàm k  L1loc   không âm tính chất S-tuần hoàn tiệm cận cho lớp và không tăng, và tồn tại một hàm phương trình vi phân không địa phương với ngoại lực phụ thuộc vào ẩn hàm. Kết quả   l  L1loc   sao cho k * l  1 trên  0,  . nghiên cứu là một sự tiếp nối của một kết quả Gọi s và r là các nghiệm của phương trình chúng tôi đã công bố [1]. Chúng tôi dùng Volterra loại 2 Nguyên lí điểm bất động để thu được kết quả, s( t )   . l * s  ( t )  1, t0 cách tiếp cận này hoàn toàn khác so với [1] vì r( t )   . l * r  ( t )  l( t ), t  0 đặc điểm của số hạng phi tuyến. Mệnh đề 1. (xem [4]) Giả sử (K) được 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU   thỏa mãn. Khi đó s  ,   , r  ,    L1loc   Chúng tôi dùng các ước lượng nghiệm, sử với mỗi   0 . Thêm nữa, ta có các tính dụng các tính chất nghiệm của phương trình chất: 73
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 (a) Hàm s  ,   không âm và không tăng và t u (t )  S (t )u0   R(t   ) f  , u ( )  d   t  0 s  t ,   1    l   d   1, t  0 , vì thế nếu Từ công thức nghiệm, ta xét toán tử sau:   0  : SAP  H   BC  J ; H  l  L1     , thì lim s (t ,  )  0 . t  xác định bởi: (b) Hàm r  ,   là không âm và t t  ( u ) ( t )  S( t )u0   R( t   ) f  ,u(  )d , s  t,    1    r  ,   d  k * r  ,   t  , t  0. 0 0 với t  J . t Giả thiết sau về hàm phi tuyến: Nên  r  ,   d   1 , t  0 . (F) Hàm f liên tục theo biến thứ nhất và 0  (F1) tồn tại L  0 sao cho: v1 , v2  H Nếu l  L (  ) , thì  r  , d  1,  0 . 1  f  t , v1   f  t , v2   L v1  v2 , t  J , . 0 (F2) Tồn tại hai hàm h  C0  J ; J  thỏa mãn (c) Với mỗi t  0 , các hàm số   s  t,   f  t , v   f  t , v   h(t )  v  1 , t  J , v  H và   r  t,   không tăng. Ta sẽ chứng minh   SAP ( H )   SAP ( H ) . Sau đây là giả thiết về toán tử A. (A): Toán tử A là toán tử tuyến tính xác Bổ đề B. Giả sử (K), (A), (F) thỏa mãn và định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với l  L1     , thì   SAP ( H )   SAP ( H ) . giải thức compact. Chứng minh Khi đó, ta có thể xét cơ sở của H gồm các Lấy u  SAP ( H ) , với mọi   0 đều tồn tại hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 của A và số t0  0 sao cho: sup u (t )  u (t )   . (3)  t  t0 Av   n vn en , trong đó Aen  n en , n  0 Với t  t0 , ta có n 1 với 0  1  2    n   khi n   .  u  (t )   u  (t )   S (t )  S (t )  u0  t  t Định nghĩa các toán tử S (t) và R(t) như sau:   R (t   ) f  , u ( )  d   R (t   ) f  , u ( )  d . S (t)v   s (t, n )  v, en  en , t  0, v  H 0 0 n 1 Vì  t  t R (t)v   r (t, n )  v, en  en , t  0, v  H  R (t   ) f  , u ( )  d   R(t   ) f  , u ( )  d . n 1 0  4 dễ thấy S (t) và R(t) là các toán tử tuyến tính. Nên  u  (t   )   u  (t )   I n (t ) , với Mệnh đề 2 (xem [3]). n 1 i) Có S (.)v  C ([0, T ]; H ) , với v  H , T  0 . I1 (t )   S (t )  S (t )  u0 ; Hơn nữa S (t )v  s (t , 1 ) v , t   0, T  . 0 ii) g  C  0,T  ; H  thì R()v  C   0,T; H  và I 2 (t )    R(t   ) f  , u ( )  d ; R* g  C  0,T  ;H  . Ta có R(t)v  r( t,1 ) v , t I 3 (t )   R(t   )  f  , u ( )   f  , u ( )  d ; t   0, T  và 0 t t ( R * g )(t)   r (t   , 1 ) g ( ) d , t   0, T . I 4 (t )   R(t   )  f  , u ( )   f  , u ( )  d , 0 0 ta sẽ chứng minh lim I n (t )  0, n  1, 4 . Định nghĩa 2.([3]) Hàm u  C  0, T  ; H  t  Thật vậy, lim I1 (t )  0 vì có Mệnh đề 1 (a) và được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (1)-(2) t  trên  0,T  nếu: với t   0, T  , I1( t )   s ( t ,1 )  s( t,1 ) u0 74
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Với I 2 (t ) , ta có:  c 13 1 2 0  t D u (t , y )  c D 2 u ( t , y )  u (t , y )   t 2 y I 2 (t )  M u  r (t   ,  )d     sin u (t , y )  cos 2 t , t  J , y   0,   1   t   u (t ,0)  u (t ,  )  0, t  J  Mu  r ( ,  )d 1  t  u (0, y )  u0 ( y ), y   0,   M u : sup f ( , v)   . Mặt khác:     ,0; v  u BC với    . Đặt H  L2  0,   . Định nghĩa lim I 2 (t )  0 , vì d 2u t  toán tử A : D( A)  H  H bởi Au   , t  s (t   , 1 )  s (t , 1 ) dy 2  r ( ,  )d  1 1  0, t   .  du d 2u  t D ( A)  u  H , 2  H , u (0)  u( )  0  Xét I 3 (t ) , dựa vào (F2) thì ta được:  dy dy  t Khi đó, theo [5], thì A là toán tử sinh của C0 I 3 (t )  (|| u ||BC 1)  r (t   , 1 )h( )d  0 0 nửa nhóm S (t)t 0 compact trong H và A khi t   vì h  C0  J ; J  .  xác định bởi Au   n 2 u,en en , giả thiết Sử dụng (F1) và (3), khi t   thì n 1 t (A)được thỏa mãn với n  n 2 và I 4 (t )  L  r (t   , 1 ) u ( )  u ( ) d  0 . 2 0 en ( y )  sin ny . Hàm k (t )  g 2 (t )  g 1 (t ). Tóm lại, ta có lim  u  (t )   u  (t )  0 .  3 2 t  Tức là u  SAP ( H ) . □ Trong [3] đã chỉ ra rằng k thỏa mãn điều kiện tồn tại nhân l sao cho k  l  1 trên Định lí sau đây là nội dung chính. (0, ) và (1  l )(t )  g 4 (t ) khi t   . Do vậy Định lí Giả sử các giả thiết trong Bổ đề B 3 được thỏa mãn, và L  1 , thì hệ (1)-(2) có 1 nghiệm S – tiệm cận tuần hoàn chu kỳ  . s (t ,  )   0 khi t   , với mọi 1  1  l  (t ) Chứng minh   0 . Cuối cùng f (t , u )   sin u  cos 2 t Từ kết quả của Bổ đề B, ta xét ánh xạ  : SAP ( H )  SAP ( H ) thì ta có:   1 , L   và h(t )  0 . Theo và chứng minh nó là ánh xạ co. kết quả lí thuyết thì bài toán có nghiệm S- Thật vậy, với mọi u , v  SAP ( H ) ta có: tiệm cận tuần hoàn với   1 nếu   1.  u  (t )   v  (t ) 4. KẾT LUẬN t  L  r (t   , 1 ) || u ( )  v( ) || d Áp dụng nguyên lí ánh xạ co, chúng tôi chỉ 0 t ra rằng hệ (1)-(2) với một số điều kiện đủ áp  L || u  v ||BC  r (t   , 1 )d đặt nên toán tử A , hàm phi tuyến f thì có 0 nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn. L  || u  v ||BC , t  J . 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Suy ra: u  v BC   u  v BC [1] N.V. Dac, L.T.M. Hải (2020), Nghiệm S - L tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa với    1 . Phép chứng minh kết thúc. □ phương tuyến tính, Tuyển tập hội nghị khoa 1 học thường niên Đại học Thủy lợi, 51 - 53. Ví dụ minh họa. Xét hệ sau: 75