zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính trình bày về sự tồn tại nghiệm của hệ sau với phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI PHẦN PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG TRÊN TUYẾN TÍNH Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Bao hàm thức vi phân được phát sinh từ Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương nhiều bài toán khác nhau. Trong nhiều áp pháp điểm bất động của ánh xạ đa trị, sử dụng, trễ thời gian đóng giúp ta mô tả tốt hơn dụng các ước lượng độ đo không compact. những bài toán thực tế. Hơn nữa, trong một số bài toán điều khiển thì trễ là hạng tử tất 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU yếu vì nhân tố điều khiển cần lấy thông tin từ 3.1. Kiến thức chuẩn bị quá khứ của hệ. Vì thế các bao hàm thức vi phân có trễ là mô hình tổng quát và có nhiều Cho E là không gian Banach. Ta sử dụng áp dụng. Sự tồn tại nghiệm của các bao hàm các kí hiệu sau:  ( E ), b ( E ), c ( E ), Kv( E ) lần thức là điều kiện tiên quyết để ta có thể lượt là các tập con khác rỗng, các tập con bị nghiên cứu về dáng điệu nghiệm. Khi nghiên chặn, các tập con đóng và các tập con lồi và bị cứu dáng điệu nghiệm khi thời gian đủ lớn, ta chặn của không gian Banach. Các không gian cần điều kiện về độ tăng trưởng của phần phi hàm: C ([0; T ]; E ), L1 (0, T ; E ) lần lượt là không tuyến là dưới tuyến tính (xem [1], [2]). Tuy gian các hàm liên tục và khả tích Bochner. Để nhiên, với mục đích nghiên cứu dáng điệu chứng minh sự tồn tại nghiệm, chúng tôi sử nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn thì ta dụng phương pháp điểm bất động cho ánh xạ chỉ cần sự tồn tại nghiệm trong khoảng thời nén theo độ đo không compact, nên chúng tôi gian compact cho trước, đây là hướng nghiên cần các độ đo không compact sau đây: cứu còn ít kết quả. Thế nên, theo hiểu biết  Độ đo không compact Hausdorff trên E, của tác giả, chưa có công trình nào công bố kí hiệu là  () về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi  Độ đo không compact trên C([0,T]; E): phân với phần phi tuyến tăng trưởng trên T ( D)  sup e Lt  ( D(t )), tuyến tính. Trong bài báo này, tác giả trình t[0,T ] bày về sự tồn tại nghiệm của hệ sau với phần modT ( D)  lim sup max ‖x(t )  x ( s )‖  0 xD t , s[0,T ],|t  s| phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính và T ( D )  T ( D )  modT ( D ), u '(t )  Au(t )  F (t, ut ), t  [0, T ] (1.1)  trong đó độ đo cuối cùng là độ đo có tính u(t )  (t ), t  [  h,0] (1.2) chính qui. Tiếp theo ta cần một số ước lượng với u lấy giá trị trong không gian Banach X, về độ đo không compact. A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh Mệnh đề 1. (xem [2]): {S(t): t ≥ 0}, ut là hàm trễ u và Cho D  L1 (0, T ; E ) là một tập sao cho: D F (t, ut )  co{ f1 (t, ut ); f2 (t, ut ); ....; fn (t, ut )} bị chặn tích phân và  ( D (t ))  q (t ) với hầu với các hàm đơn trị fi (t, ut ), i  1,..., n xác định khắp t  [0, T ] , với q  L1 (0, T ) . trên [0, T ]  C ([-h,0]; X ) . Hàm  cho trước và là dữ kiện đầu. Khi đó    D(s)ds   4 q(s)ds. t 0 t 0 105
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 Ngoài ra, ta sử dụng đến kí hiệu chi-chuẩn: Ngoài ra, ta có F có giá trị lồi và compact. ‖ ‖ của toán tử tuyến tính bị chặn  . Bằng cách sử dụng tính chất của độ đo không Bổ đề 1 (xem [2]) Cho G : Y   ( E ) là một compact và lập luận tương tự như trong [1], ánh xạ đa trị đóng và tựa compact với giá trị ta chứng minh được hai mệnh đề sau. compact. Khi đó G là nửa liên tục trên. Mệnh đề 2. Giả sử (F)(1) - (F)(3) đúng. Bổ đề 2 (xem [1]) Cho E là không gian Khi đó (i)  ( F (t , B ))  k (t )  sup [  h ,0]  ( B ( )) Banach và  là một tập khác rỗng của không với mọi tập bị chặn B  h ; gian Banach khác. Giả sử rằng G :    ( E ) (ii) F (, x) :[0, T ]  X có hàm chọn đo được là một ánh xạ đa trị có giá trị lồi và compact mạnh và F (t , ) : h  X là nửa liên tục trên. yếu. Khi đó G là nửa liên tục trên yếu khi và chỉ khi {xn }   với xn  x0   và yn  G ( xn ) Mệnh đề 3. Giả sử (F)(1) - (F)(2) thỏa mãn. Khi đó, với mỗi v  C , tập thì suy ra có một dãy con yn  y 0 Î G (x 0 ) . k F (v) : { f  L1 ( J ; X ) : f (t )  F (t , v[ ]t ) , t  J } Nguyên lí điểm bất động dưới đây sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm. là khác rỗng và F : C   ( L1 ( J ; X )) nửa liên Định lí 1 (xem [2]) Cho  là tập lồi, tục trên yếu với giá trị lồi, compact yếu. đóng và bị chặn của không gian E và Sau đây là định nghĩa về nghiệm:  :   Kv () là ánh xạ đóng,  -nén. Khi Định nghĩa: Hàm liên tục u :[ h, T ]  X đó Fix ( ) : {x   ( x)} là tập khác rỗng. được gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1) - (1.2) nếu và chỉ nếu u (t )   (t ) với 3.2. Sự tồn tại nghiệm tích phân t  [  h, 0] và tồn tại hàm f  F (u |[0,T ] ) sao Đặt t J  [0, T ], h  C ([  h, 0]; X ), cho u (t )  S (t ) (0)  0 S (t  s ) f ( s)ds , t  [0, T ] . C  {v  C ( J ; X ) : v (0)   (0)},   h . Toán tử nghiệm  : C   (C ) được định Với v  C , hàm v[ ]  C ([ h, T ]; X ) xác nghĩa như sau  (u)(t )  {S (t ) (0)   S (t  s) f ( s)ds | f  F (u)}. t v(t ) if t  [0, T ], 0 định như sau v[ ](t )   t  (t ) if t  [h, 0]. Đặt:  ( f )(t )  0 S (t  s ) f ( s)ds, f  L1 ( J ; X ), Ta giả thiết: ta có:  (u )(t )  S (t ) (0)   o F (u )(t ). (A) Nửa nhóm S () sinh bởi A liên tục Ta thấy u  C là điểm bất động của  khi theo chuẩn và ‖S (t ) x‖ M‖x‖, x  X . và chỉ khi u [ ] là nghiệm của bài toán (1.1) - (F) Các ánh xạ fi : J  h  X , i  1, n, (1.2) trên [ h, T ] . thỏa mãn: Bổ đề 3. Với các giả thiết (A) và (F), toán (1) fi (, x ) đo được mạnh với mỗi x  h và tử nghiệm là toán tử đóng với giá trị lồi f i (t , ) liên tục với hầu khắp t  J ; Chứng minh. Thật vậy,  có giá trị lồi vì (2) tồn tại hàm m  L1 ( J ; ¡  ) và hàm thực F có giá trị lồi. Lấy {un }  C , un  u * và liên tục và không giam  sao cho: zn   (un ) với zn  z* . Ta có: ‖ f i (t , x )‖ m(t )  ‖ ( x‖h ), x  h ; zn (t )  S (t ) (0)   o F (un )(t ). (3) Nếu nửa nhóm S () không có tính Chọn f n  F (un ) compact thì tồn tại hàm k  L1 ( J ; ¡  ) sao cho và zn (t )  S (t ) (0)   ( f n )(t ).  ( f i (t , B ))  k (t ) sup  ( B ( ))  [  h ,0] Vì F có giá trị lồi và compact yếu; nửa với mọi tập bị chặn B  h . liên tục trên yếu nên theo Bổ đề 2, ta có Đặt F (t , x)  co{ f1 (t , x), f 2 (t , x),L , f n (t , x)} , thì fn  f * trong L1 ( J ; X ) và f *  F (u* ) . Hơn ta được ‖F (t , x) ‖ m(t ) (‖x ‖ ), x  h . h nữa đặt K (t )  F (t ,{un [ ]t }) thì { f n (t )}  K (t ) 106
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1 với hầu khắp t  J với K (t ) là comact trong Từ đó, ta được điều phải chứng minh. X vì F là nửa liên tục trên (F)(2), từ đó Sau đây, ta chọ số L sao cho t { ( f n )} là compact trong C ( J ; X ) theo định e ‖S (t  s ) ‖ k ( s )ds  1.  L (t  s ) 4 sup t[0,T ] 0 lí Azela-Ascoli. Chuyển qua giới hạn hai vế của zn (t )  S (t ) (0)   ( f n )(t ) , thu được Định lí 2. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn, hệ t (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu có R  0 z * (t )  S (t ) (0)   S (t  s ) f * ( s ) ds, f *  F (u* ) R 0 sao cho  M. từ đó suy ra z   (u ) . Đpcm. * * ‖ (0)‖‖m‖(‖‖h  R) Bổ đề 4. Giả sử (A) và (F) thỏa mãn. Chứng minh. Để áp dụng Định lí 1, ta còn Khi đó: phải chỉ ra  giữ bất biến BR với BR là hình  t  cầu đóng trong  có tâm là gốc tọa độ. Thật T ( ())   sup 4 e L (t  s ) ‖S (t  s) ‖ k (s)ds  T (),  t[0,T ] 0  vậy, với u  BR và z   (u ) , ta có: với mọi tập bị chặn   C . t Chứng minh. Lấy u  , ta có: ‖z ( t ) ‖ M ‖ (0) ‖ M  0 m ( s )  (‖u s ‖ h ) ds t  (u )(t )  S (t ) (0)   o F (u )(t ).  M ‖ (0) ‖ M  (‖ ‖ h  R )  m ( s ) ds 0 Vì  o F () là tập đồng liên tục trong C .  M ‖ (0) ‖ M  (‖ ‖ h  R ) ‖m ‖ Nên modT ( o F ())  0. Mặt khác:  R.  ( ()(t ))   ( o F ()(t )), t  0. Bất đẳng thức cuối chỉ ra rằng  (u )  BR Theo Mệnh đề 1, thì: với mọi u  BR . Kết hợp các Bổ để 3 và Bổ t  ( o F ()(t ))  4   ( S (t  s ) o F ()( s ))ds. đề 4, ta thu được điều phải chứng minh. 0 Nếu nửa nhóm S () compact thì hạng tử 4. KẾT LUẬN cuối bằng 0, trái lại ta có, theo (F)(3), ta được:  ( o F ()(t )) Sử dụng phương pháp điểm bất động cho t ánh xạ nén, chúng tôi thu được sự tồn tại  4  ‖S (t  s)‖ k ( s ) sup  ([ ]( s   )) ds nghiệm của bao hàm thức vi phân nửa tuyến 0  [  h ,0] t tính dạng đa diện với phân phi tuyến có thể  4  ‖S (t  s )‖ k ( s ) sup  ((r ))ds. tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả thu được 0 r[0, s ] giúp ta có thể nghiên cứu tiếp theo về dáng Nên điệu nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn. e  Lt  (  ( )(t )) t  4  e  L ( t  s )‖S (t  s )‖ k ( s ) ds sup e  Lr  ( ( r )) 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO 0 r[0,T ] t [1] D. Bother (1998) Multivalued Perturbations  T ( )4  e  L ( t  s )‖S (t  s )‖ k ( s ) ds. of m-Accretive Differential Inclusions, 0 Israel J.Math, Vol 108, 109-138. Điều này suy ra: [2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P. Zecca sup e  Lt  ( ()(t )) (2001), Condensing Multivalued Maps and t[0,T ] t Semilinear Differential Inclusions in Banach  T () sup 4  e  L ( t  s )‖S (t  s )‖ k ( s ) ds. spaces, Walter de Gruyter, Berlin. t[0,T ] 0 107

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.