Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính nghiên cứu sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp bao hàm thức vi phân dạng đa diện mà phần tuyến tính của nó sinh ra một nửa nhóm tích phân có tính chất hyperbolic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiệm đối tuần hoàn của bao hàm thức vi phân nửa tuyến tính

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH Đỗ Lân, Nguyễn Thị Lý Bộ môn Toán học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG trong đó, u nhận giá trị trong X, A là toán tử Các hệ vi phân với nghiệm đối tuần hoàn đóng thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida có là bài toán được phát sinh từ các quá trình vật miền xác định không trù mật, f là hàm phi lí (xem trong [1]). Hướng nghiên cứu về tuyến mà các điều kiện ta sẽ nêu rõ ở dưới. nghiệm đối tuần hoàn cho các lớp phương 2.2. Các điều kiện của bài toán trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính đã được nghiên cứu một cách khá đầy đủ và hệ Ta kí hiệu BC( ¡ ;X) là không gian thống, bắt nguồn từ nghiên cứu của Okochi Banach các hàm liên tục bị chặn với chuẩn năm 1988 (xem [2]). Năm 2011, bằng cách u BC( ¡ ;X)  sup{|| u(t) ||: t  ¡ }. tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm, Liu (xem và: [3]) chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu L1 ( ¡ ; X)  {f  L1 ( ¡ ; X) : f(t  T)   u(t)}. TA loc đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm có tính Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài chất hyperbolic. Từ đó, một loạt các kết quả toán (3.1)-(3.2), ta giả thiết hàm f và toán tử về nghiệm đối tuần hoàn cho các phương A thỏa mãn các điều kiện sau: trình tiến hóa theo cách tiếp cận của lí thuyết (A) Toán tử A thỏa mãn điều kiện Hille- nửa nhóm đã được các nhà toán học quan Yosida, hơn nữa, nửa nhóm {S'(t)}t 0 sinh tâm nghiên cứu. bởi A trên D(A) là nửa nhóm hyperbolic Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu compact với các hệ số P, Q,  . sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp (F) Hàm f : ¡  D(A)  X thỏa mãn: bao hàm thức vi phân dạng đa diện mà phần tuyến tính của nó sinh ra một nửa nhóm tích 1) f (, x) đo được mạnh với  x  D(A); phân có tính chất hyperbolic. Sử dụng các f (t, ) liên tục với hầu khắp t  ¡ . tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm và áp dụng 2) || f (t, x) || m(t)(|| x || 1), x  D(A), với các định lí điểm bất động, chúng tôi chứng m  L1loc ( ¡ ; ¡  ) . minh được sự tồn tại của nghiệm đối tuần hoàn cho bài toán dạng tổng quát này. 3) f (t  T, x )  f (t, x),x  D(A). 2. NỘI DUNG CHÍNH 3. KHÁI NIỆM NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN 2.1. Đặt bài toán Định nghĩa 1: Một nghiệm tích phân của bài toán (3.1)-(3.2) là một hàm Cho  X, .  là một không gian Banach, u  PTA  ¡ ;X  thỏa mãn: trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài t toán sau: u(t)  S(t  u)u(s)  lim  S(t  s)R f (s)ds,  u '( t)  Au(t)  f (t, u(t)), t  ¡ , (3.1) a  1 u(t  T)   u(t ), t ¡ , (3.2) trong đó R    (I  A) , với mọi t  s. 175
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Sử dụng tính hyperbolic của S'(t) , ta có Ta có: nhận xét. t ‖z(t)‖‖  lim S(t  s)R  Pf (s)ds‖   Nhận xét 1: Cho g  L1TA (R; X) , ta định  ‖ lim S(t  s)R Qf (s)ds‖  t nghĩa: t (g)(t ) : lim S(t  )PR g( )d  2N    T  ‖f (s)‖ds  1  e T 0 lim S(t  )QR g( )d, 2N T  t  m(s)(‖v n (s)‖1)ds với t  ¡ . Khi đó (g)(t ) được xác định với 1  e T 0 mỗi t  ¡ và g thuộc vào PTA ( ¡ ; X) . 2N(n  1) T  1  e T 0  m(s)ds. Như vậy, bài toán sự tồn tại nghiệm của Do đó: bài toán (3.1) - (3.2) được quy về bài toán 2 N (n  1) T điểm bất động cho ánh xạ n ‖z‖PTA ( ¡ ;X)  m(s)ds. 1  e T 0 F : PTA ( ¡ ; X)  PTA (¡ ; X) Cho n   , ta có trong đó: 2N T t 1 0 m(s)ds, F (v)(t)  lim  S(t  )PR  f ( )d  1  e T    Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như lim  vậy, tồn tại hình cầu đóng BR  PTA ( ¡ ; X) S(t  )QR  f ( )d.   t thỏa mãn F (BR )  BR . 4. KẾT QUẢ CHÍNH Bước 2: Tiếp theo, ta sẽ xây dựng một tập Định lý 1: Giả sử rằng các giả thiết (A) và D compact khác rỗng, lồi trong PTA ( ¡ ; X) (F) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (3.1)-(3.2) có thỏa mãn F (D)  D . ít nhất một nghiệm tích phân với điều kiện Đặt M 0  BR . Rõ ràng M 0 là một tập con 2N T đóng của PTA ( ¡ ; X) và F ( M 0 )  M 0 . Đặt: 1  e T 0 m(s)ds  1. M k 1  coF ( M k ), k  0,1,2,... Chứng minh: ở đây co là bao lồi đóng của một tập trong Bước 1: Đầu tiên, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại PTA ( ¡ ; X) . Ta thấy M k là lồi, đóng và một hình cầu đóng BR tâm 0 bán kính R M k 1  M k với mọi k  ¥ . trong PTA ( ¡ ; X) thỏa mãn F (BR )  BR .  Đặt M  I M k , thì M là một tập con Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại dãy k 0 {vn }  PTA ( ¡ ; X) sao cho ‖v n ‖PTA ( ¡ ;X)  n lồi, đóng trong PTA ( ¡ ; X) và F ( M )  M . nhưng z  F (vn ) mà‖z‖PTA ( ¡ ;X)  n . Ta ký Hơn nữa, từ giả thiết (F)(2) ta có với mỗi hiệu k  0, PFTA (M k ) là bị chặn tích phân. Do đó, t  W1 (g)(t )  lim S(t  )PR g( )d,    M  I M k cũng là bị chặn tích phân. k 0  W2 (g)(t)  lim  S(t  )QR g( )d, Ta sẽ chứng minh M (t) là compact với  t mỗi t , tức là  k (t)   (M k (t))  0 khi như vậy, (g)(t ) : W1 (g)(t)  W2 (g)(t ) . k   với mỗi t . Do: Thật vậy, do {S(t)} compact thì ta có z(t)  W1 (f )(t)  W2 (f )(t), t  ¡ ,f  PFTA (v n ) ,  k 1 (t)  ( M k 1 (t)) 176
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3  lim     t  S(t  s)PR P F (M k )(s)ds  Xét f : ¡  C0 ()  C( ) , với i  1, 2 , xác định bởi fi (t, v)(x)  % fi (t, x, v(x)), lim    S(t  s)QR P (M )(s)ds    F k trong đó, các hàm % fi : ¡   ¡  ¡ thỏa  t t mãn:  4 lim    S (t  s)PR P F (M k )(s) ds   [(H1)] % fi (, x, z) là đo được với mọi x   ,    z ¡ ; % fi (t, , z) liên tục với mỗi t, z ¡ , và 4 lim    S(t  s)QR  PF (M k )(s)  ds %  t fi (t, x, ) liên tục với mọi t  ¡ và x   ;  0. [(H2)] | f%i (t, x,z) | m(t)(| z | 1) , với mọi Áp dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ 1  compact, ta có F có điểm bất động duy nhất. t, z  ¡ , x   , trong đó m  Lloc ( ¡ ; ¡ ) ; Tức là bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm duy nhất. [(H3)] % fi (t  T, x, z)  % f i (t, x, z) , với mọi t, z  ¡ , x   . 5. VÍ DỤ ÁP DỤNG Khi đó, từ (H2), ta có: Xét  là một tập mở bị chặn trong ¡ n ‖f i (t,v)‖ sup | % fi (t, x,v(x)) | sup m(t)(| v(x) | 1) x x với biên  trơn. Xét bài toán  m(t)(sup | v(x) | 1) u  t (t, x)   x u (t,x )  u(t, x)  f (t, x), x   m(t)(‖v‖1).  t  ¡ , x  , Do đó, F(2) thỏa mãn. Từ (H3), ta thấy  u(t  T, x)   u(t, x), t  ¡ , x  , rằng giả thiết (F)(3) thỏa mãn. Hơn nữa, giả   u(t, x)  0,t  ¡ , x  , thiết (F)(1) được thỏa mãn do (H1). với  x là toán tử Laplace theo biến x ,   0 . Do đó, bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm T  đối tuần hoàn với điều kiện Xét: 2 T X  C( ), 0 m(s)ds  1. 1  e T X 0  C0 ( )  {v  C( ) : v  0 trên }, với chuẩn ‖v‖ sup | v(x) | và định nghĩa 6. TÀI LIỆU THAM KHẢO x [1] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J. A1v  v, O’Rourke, C.M. Yung (1995), Exact v  D(A1 )  {v  C0 ()  H10 ( ) : v  C0 ( )}. solution and interfacial tension of the six- Đặt A  A1   I . Ta thấy rằng A sinh ra vertex model with anti-periodic boundary conditions , J. Phys. A 28 2759–2770. một nửa nhóm compact và giải tích {e tA }t  0 [2] H. Okochi, (1988) On the existence of trên X 0 mà ‖etA‖L ( X)  et , t  0. periodic solutions to nonlinear abstract parabolic equations, J. Math. Soc. Japan 40 Do vậy, (A) và (F)(3) thỏa mãn. 541-553. [3] Q. Liu, (2011), Existence of anti-peroidic mild solution for semilinear evolution equation, J. Math. Anal. Appl. 377 (1), 110-120. 177