Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
175
NGHIỆM ĐỐI TUẦN HOÀN CỦA
BAO HÀM THỨC VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH
Đỗ Lân, Nguyễn Thị Lý
Bộ môn Toán học - Khoa CNTT, Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Các hệ vi phân với nghiệm đối tuần hoàn
là bài toán được phát sinh từ các quá trình vật
lí (xem trong [1]). Hướng nghiên cứu về
nghiệm đối tuần hoàn cho các lớp phương
trình tiến hóa tuyến tính và nửa tuyến tính đã
được nghiên cứu một cách khá đầy đủ và hệ
thống, bắt nguồn từ nghiên cứu của Okochi
năm 1988 (xem [2]). Năm 2011, bằng cách
tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm, Liu (xem
[3]) chứng minh được sự tồn tại nghiệm yếu
đối tuần hoàn cho lớp phương trình tiến hóa
mà phần tuyến tính sinh ra nửa nhóm có tính
chất hyperbolic. Từ đó, một loạt các kết quả
về nghiệm đối tuần hoàn cho các phương
trình tiến hóa theo cách tiếp cận của lí thuyết
nửa nhóm đã được các nhà toán học quan
tâm nghiên cứu.
Trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm đối tuần hoàn cho một lớp
bao hàm thức vi phân dạng đa diện mà phần
tuyến tính của nó sinh ra một nửa nhóm tích
phân có tính chất hyperbolic. Sử dụng các
tiếp cận của lí thuyết nửa nhóm và áp dụng
các định lí điểm bất động, chúng tôi chứng
minh được sự tồn tại của nghiệm đối tuần
hoàn cho bài toán dạng tổng quát này.
2. NỘI DUNG CHÍNH
2.1. Đặt bài toán
Cho
X, .
là một không gian Banach,
trong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu bài
toán sau:
u '(t) Au(t) f (t, u(t)), t , (3.1)
u(t T) u(t), t , (3.2)
¡
¡
trong đó, u nhận giá trị trong X, A là toán tử
đóng thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida có
miền xác định không trù mật, f là hàm phi
tuyến mà các điều kiện ta sẽ nêu rõ ở dưới.
2.2. Các điều kiện của bài toán
Ta kí hiệu
BC( ;X)
¡ là không gian
Banach các hàm liên tục bị chặn với chuẩn
BC( ;X)
u sup{|| u(t) ||: t }.
¡
¡
và:
1 1
TA loc
L ( ;X) {f L ( ;X) :f(t T) u(t)}.
¡ ¡
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài
toán (3.1)-(3.2), ta giả thiết hàm
f
và toán tử
A thỏa mãn các điều kiện sau:
(A) Toán tử A thỏa mãn điều kiện Hille-
Yosida, hơn nữa, nửa nhóm
sinh
bởi A trên
D(A)
là nửa nhóm hyperbolic
compact với các hệ số
P,Q,
.
(F) Hàm
f : D(A) X
¡ thỏa mãn:
1)
f( ,x)
đo được mạnh với
x D(A);
f(t, )
liên tục với hầu khắp
t¡
.
2)
|| f (t, x) || m(t)(|| x || 1), x D(A),
với
1
loc
m L ( ; )
¡ ¡
.
3)
f(t T, x) f (t, x), x D(A).
3. KHÁI NIỆM NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN
Định nghĩa 1: Một nghiệm tích phân của
bài toán (3.1)-(3.2) là một hàm
TA
u P ;X
¡ thỏa mãn:
t
a
u(t) S(t u)u(s) lim S (t s)R f(s)ds,

trong đó
1
R ( I A)
, với mọi
t s.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
176
Sử dụng tính hyperbolic của
S'(t)
, ta có
nhận xét.
Nhận xét 1: Cho
1
TA
g L (R;X)
, ta định
nghĩa:
t
t
( g)(t): lim S(t )PR g( )d
lim S (t )QR g( )d ,




với
t¡
. Khi đó
( g)(t)
được xác định với
mỗi
t¡
và
g
thuộc vào TA
P ( ;X)
¡.
Như vậy, bài toán sự tồn tại nghiệm của
bài toán (3.1) - (3.2) được quy về bài toán
điểm bất động cho ánh xạ
TA TA
: P ( ;X) P ( ;X)
¡ ¡F
trong đó:
t
t
(v)(t) lim S (t )PR f( )d
lim S(t )QR f( )d .




F
4. KẾT QUẢ CHÍNH
Định lý 1: Giả sử rằng các giả thiết
(A)
và
(F)
thỏa mãn. Khi đó, bài toán (3.1)-(3.2) có
ít nhất một nghiệm tích phân với điều kiện
T
T0
2N
m(s)ds 1.
1 e
Chứng minh:
Bước 1: Đầu tiên, ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại
một hình cầu đóng
R
B
tâm 0 bán kính
R
trong TA
P ( ;X)
¡ thỏa mãn
R R
(B ) B
F.
Thật vậy, giả sử ngược lại, tồn tại dãy
n TA
{v } P ( ;X)
¡ sao cho n P ( ;X)
TA
v n
¡
‖ ‖
nhưng
n
z (v )
F mà P ( ;X)
TA
z n
¡
‖ ‖
. Ta ký
hiệu
t
1
(g)(t) lim S(t )PR g( )d ,


W
2t
(g)(t) lim S (t )QR g( )d ,


W
như vậy, 1 2
( g)(t): (g)(t) (g)(t)
W W .
Do:
TA
1 2 F n
z(t) (f)(t) (f)(t),t ,f (v )
¡W W P ,
Ta có:
t
t
T
T0
T
n
T0
T
T0
z(t) lim S (t s)R Pf (s)ds
lim S (t s)R Qf(s)ds
2N f (s) ds
1 e
2N
m(s)( v (s) 1)ds
1 e
2N(n 1) m(s)ds.
1 e





‖ ‖‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
Do đó:
T
P ( ;X) T
TA 0
2N (n 1)
n z m(s)ds.
1 e
¡
‖ ‖
Cho
n
, ta có
T
T0
2N
1 m(s)ds,
1 e
Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Như
vậy, tồn tại hình cầu đóng R TA
B P ( ;X)
¡
thỏa mãn
R R
(B ) B
F.
Bước 2: Tiếp theo, ta sẽ xây dựng một tập
D
compact khác rỗng, lồi trong TA
P ( ;X)
¡
thỏa mãn
(D) D
F.
Đặt
0 R
B
M. Rõ ràng
0
M
là một tập con
đóng của TA
P ( ;X)
¡ và
0 0
( )
F M M
. Đặt:
k 1 k
co ( ),k 0,1,2,...
M F M
ở đây
co
là bao lồi đóng của một tập trong
TA
P ( ;X)
¡. Ta thấy
k
M
là lồi, đóng và
k 1 k
M M
với mọi
k¥
.
Đặt
k
k 0
I
M M
, thì
M
là một tập con
lồi, đóng trong TA
P ( ;X)
¡ và ( )
F M M
.
Hơn nữa, từ giả thiết (F)(2) ta có với mỗi
TA
F k
k 0, ( )
P M là bị chặn tích phân. Do đó,
k
k 0
I
M M
cũng là bị chặn tích phân.
Ta sẽ chứng minh
(t)
M là compact với
mỗi
t
, tức là k k
(t) ( (t)) 0
M khi
k
với mỗi
t
.
Thật vậy, do
{S (t)}
compact thì ta có
k 1 k 1
(t) ( (t))
M
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
177
t
F k
F k
t
t
F k
F k
t
lim S(t s)PR ( )(s)ds
lim S(t s)QR ( )(s)ds
4 lim S(t s)PR ( )(s) ds
4 lim S (t s)QR ( )(s) ds
0.








P M
P M
P M
P M
Áp dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ
compact, ta có
F
có điểm bất động duy nhất.
Tức là bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm duy nhất.
5. VÍ DỤ ÁP DỤNG
Xét
là một tập mở bị chặn trong
n
¡
với biên

trơn. Xét bài toán
x
u
(t, x) u(t,x) u(t, x) f(t, x),
t
t ,x ,
u(t T, x) u(t, x), t , x ,
u(t, x) 0,t ,x ,

¡
¡
¡
với
x
là toán tử Laplace theo biến
x
,
0
.
Xét:
0 0
X C( ),
X C ( ) {v C( ) : v 0 trên },
với chuẩn
x
v sup | v(x) |

‖ ‖
và định nghĩa
1
1
1 0 0 0
A v v,
v D(A ) {v C ( ) H ( ): v C ( )}.
Đặt 1
A A I
. Ta thấy rằng
A
sinh ra
một nửa nhóm compact và giải tích
tA t 0
{e }
trên
0
X
mà
tA t
(X)
e e , t 0.

L
‖ ‖
Do vậy,
(A)
và
(F)(3)
thỏa mãn.
Xét 0
f : C ( ) C( )
¡, với
i 1,2
, xác
định bởi i i
f (t, v)(x) f (t, x, v(x)),
%
trong đó, các hàm i
f :
%¡ ¡ ¡
thỏa
mãn:
[(H1)] i
f ( ,x,z)
%
là đo được với mọi
x
,
z¡
; i
f (t, ,z)
%
liên tục với mỗi
t, z¡
, và
i
f (t, x, )
%
liên tục với mọi
t¡
và
x
;
[(H2)] i
| f (t, x,z) | m(t)(| z | 1)
%
, với mọi
t, z ,x ¡
, trong đó
1
loc
m L ( ; )
¡ ¡
;
[(H3)] i i
f (t T, x, z) f (t, x, z)
% %
, với mọi
t, z ,x ¡
.
Khi đó, từ (H2), ta có:
i i
x x
x
f (t,v) sup| f (t, x,v(x)) | supm(t)(| v(x) | 1)
m(t)(sup | v(x)| 1)
m(t)( v 1).

%
‖ ‖
‖ ‖
Do đó, F(2) thỏa mãn. Từ (H3), ta thấy
rằng giả thiết (F)(3) thỏa mãn. Hơn nữa, giả
thiết (F)(1) được thỏa mãn do (H1).
Do đó, bài toán (3.1)-(3.2) có nghiệm
T
đối tuần hoàn với điều kiện
T
T0
2
m(s)ds 1.
1 e
6. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.T. Batchelor, R.J. Baxter, M.J.
O’Rourke, C.M. Yung (1995), Exact
solution and interfacial tension of the six-
vertex model with anti-periodic boundary
conditions, J. Phys. A 28 2759–2770.
[2] H. Okochi, (1988) On the existence of
periodic solutions to nonlinear abstract
parabolic equations, J. Math. Soc. Japan 40
541-553.
[3] Q. Liu, (2011), Existence of anti-peroidic mild
solution for semilinear evolution equation, J.
Math. Anal. Appl. 377 (1), 110-120.