Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
VỀ PHƯƠNG TRÌNH MOBILE-IMMOBILE PHÂN THỨ VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
Nguyễn Văn Đắc, Lê Thị Minh Hải Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kiến thức chuẩn bị
(1)
Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau: u (0)
t
t
t u ( , u ) f u u (
(2)
nghiệm của
1
l
a) Toán tử nghiệm và giả thiết: Gọi l là ) và xét:
trên [0,
u s ( )
u g 1 0
l
s t ( )
t
0
h u s ( )( ) s s ( ), ,0] q
t ( )
r
l
r t ( )
l t ( ),
t
0.
l g 1 * ( ) 1, t s
với u t x ( , ) chặn có biên trơn trong
(3) [ là miền bị , t T x d d , tích chập ,
t
( ,
( ,
)
s
), r
hiểu như sau
và:
k
t ( )
k t (
s
) ( )
s ds
,
0
u t ( ) , 0 1
0,1
{ }n ne
1
0 , , . , g 1 t (1 )
thỏa
1
1
n
Các phương trình này có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu các nghiệm là . Mệnh đề 2.2 trong [3] đã trình bày các tính chất quan trọng của các nghiệm này. Ta xét 2L với cơ sở gồm các hàm riêng trực của với điều kiện biên giao Dirichlet thuần nhất và dãy giá trị riêng { }n n . Khai triển theo hệ cơ sở trên, ta được công thức nghiệm dựa theo hai toán tử:
t ( )
u t
u t ( )
t ( ,
)
0,
,
2 v L
n
v e t , n n
S t v ( )
s
n
1
)
0,
.
2 v L
n
v e t , n n
R t v ( )
r t ( ,
Năm 2003, R. Chumer đã giới thiệu hệ phương trình dạng trên trong tạp chí về tài nguyên nước và gọi là hệ Mobile-Immobile, xem thêm trong [3]. Dạng đơn giản hơn đã được nghiên cứu trong [3], sự xuất hiện của trễ và điều kiện đầu phụ thuộc vào phép đo bổ sung đem lại phạm vi áp dụng rộng rãi nên thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm (xem [1,2]), một ví dụ cho hàm h như sau:
m
0 2 ,lim n
2 q T L ];
, [ ( u C
1 n Định nghĩa 1. Hàm
i
1
h u s x ( )( )( ) q ,0], [0, T ] [ c u s ( i s x s , ), i s i
is i ,
,
t ( ), t [
và
) được gọi là một nghiệm của bài toán (1)-(3) nếu: u t ( ) u t
t
ở đó ci, m là các hằng số, các giá trị đo bổ sung được thực hiện tại các m {1, 2,..., } và giá trị của nó phụ thuộc vào lịch sử của trạng thái. Do đó chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán.
I t ( )
( )
)
f
[0,
T
].
với
, ( d t u R t ( ,
0
( )(0) I t ( ), h u (0) 0, T t q ,0] h u t ( )( ) S t ( )
2 L
cho
Kí hiệu
qC
, và
Dùng ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí
2
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU C [ q ( )
;
chuẩn trong
điểm bất động cho ánh xạ nén.
( ) C J L với J là một đoạn. ,0];
60
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
Đặt
,
Ta cần giả thiết sau đây cho tính giải được.
0,
T
t
sup ) * ( , c h 1
Vì
,
( ) a t 1 1
(F) Hàm liên tục
2 ( L t
thỏa
2 L ) ) ( 2 v L ) ( 0, ,
loc
Với u
0 r 1 nên chọn được f a t v ( ) t v ( , ) f v o r : a t ( ( ) 0 t v ( , ) .v r ( ), ( ) 0 thỏa ), ( a L là hàm tăng trưởng
.
trong đó trên tuyến tính thỏa mãn ( ) r
t ( )
với t
cho ta sự tồn tại của r v khi ) , f thì: và 0, T
2 q T L ];
(H) Hàm liên tục
o r r ( ), 0 [ ) C h C : , (
thỏa (0) h
h v ( 2
t ( ,
)
(0)
(0)
u t nên ta có: u t ( )
h u
1
s
) ) q và 0 v 2 c v h 1
2 q T L ];
với mọi
t
hc . 0
1
0
Từ công thức nghiệm, ta xây dựng toán tử 2 q T L ]; ,
) [ , ( v v C 2, 1 và h v ( 1 ) a t ( ) ( ) u d , r t (
trên không gian
h u
1
C ( [ ) như sau: ) ( , t s
t
h u t
d
( ) u t
0
,0 , .
) 1
c h
( ) khi ( ) t t q ) a t ( ) u , 1 r t ( sup q , 0, khi ( ) I t T t t ( , s
d .
Toán tử này Nghiệm của bài toán là điểm bất động của nó nên được gọi là toán tử nghiệm.
t 0
t
) a t ( ) , 1 r t (
u t ( )
b) Độ đo không compact (xem [4]): Độ đo MNC Hausdorff được xác định bởi có một -lưới hữu ( hạn}, là độ đo không suy biến và đơn điệu.
, d ) r t ( inf{ 0 : D D ) 1
Áp dụng Mệnh đề 2.2 trong [3], ta có: 0 1
.
Chọn
: D
D
với 0
do cách chọn , ta có
( ) u t
1 nghĩa là
Định lí 0. [4] Cho là một MNC không suy biến và đơn điệu trên X . Tập D X , là một tập lồi đóng và khác rỗng sao cho là một ánh xạ nén theo . Khi đó có điểm bất động.
B
2 q T L ];
khi . B
Kí hiệu
T là MNC Hausdorff trên . ) (
[ , C
nghiệm. Giả sử
( ) , D C
3.2. Kết quả chính
Ta chứng minh tính nén của ánh xạ là một [
2 q T L ];
2
tập bị chặn, ta được ở đó:
D D D 1
( ) 1, sup ) * thì tồn tại ( )( ), ( ) t h u t t
Định lí 1. Giả sử (F) và (H) thỏa mãn. Nếu a t
0,
T
t
( ) u t
1 0 và (1)-(3) có nghiệm khi
t
,0 q ( )(0) ,
và:
c h ( , r 1 . (0) 0, h u T ( ) S t
Chứng minh: Vì hàm f và
t
u t ( )
2
Ta tìm
tục nên là liên tục trên
[ C B
f
T
( )
)
0,
.
d t u R t ( , ( ,
0
q ,0 t 0,
cầu đóng với bán kính là và tâm là gốc.
0 sao cho ,S R liên 2 . q T L ) ( ]; , - là hình B
61
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
( ) ||
u s ( ) 1
u s 2
.
2
Do tính cộng tính của MNC, ta có: D T 1
Vế phải là hàm không giảm theo t nên: sup || [0, ] t
t
u
L r ( )
( )
d ( ) .
, 1
2
u 1
r t (
thì tồn tại
Ta ước lượng hạng tử thứ nhất bên vế ,u u D 1 2
)sup [0, ]
0
2 i
phải. Với ,z z 1 sao cho (với
D 1 ): {1, 2}
D D T T
Áp dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall ta ( ) || 0,
.
được
t ( ) )( ), ( q ,0 [0, T ] t h u t i u s ( ) 1 u s 2 . sup || t [0, ] z t ( ) i (0) t 0, T t )(0) , h u ( i S t ( ) 4. KẾT LUẬN ( ) || Do đó: z t ( ) || 1 z t 2
.
2
t q h u ( t )( ) ( )( ) ||, h u t 1
, t
2
) || ) T ,0 ) || ||
Ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ vi phân mobile-immobile khi phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả đóng góp một phần nhỏ cho lí thuyết hệ vi phân phân thứ và làm tiền đề cho nghiên cứu tiếp theo.
.
2
2
2
( , t s 1 Sử dụng (G) và h u z (
( ( 0, h u h u 1 t , ta được: ) 1 ( , s 1 ) u ) 1 .
D D z 1 Từ đó suy ra c u h ( h u 1 1 T 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
2
,0] D q . 0
[1] Anh, N.T.V; Yen, B.T.H. (2022). On the time delayed anomalous diffusion equations with nonlocal initial conditions. Commun. Pure Appl. Anal. 21, no. 11, 3701-3719.
nên . Theo giả thiết T nén. Theo Định lí
[2] Chuong, N.M; Ke,
T.D.
(2012). Generalized Cauchy problems involving nonlocal and impulsive condition. J. Evol. Equ. 12, no. 2, 367-392.
r đều tồn tại ( ) || )
D D 0, t T c h c T h Vì toán tử Q là compact và: [ D t ( ) T 2 Vậy 1 T hc nên là toán tử 0, bài toán (1)-(3) có nghiệm toàn cục.
L r ) f f
Định lí 2. Giả sử các giả thiết của Định lí 1 L r ( ) 0 0 t 0, ||,
thỏa mãn. Với mỗi thỏa t v t v ( , ( , 1 2
v 2 v 1
2 L
và và || v ,|| 1 thì bài toán (1)-(3) có duy nhất nghiệm.
[3] Dac, N.V; Tuan, H.T; Tuan, T.V. (2022). Regularity and large-time behavior of solutions for fractional semilinear mobile- immobile equations. Math. Methods Appl. Sci., 1-27.
Inclusions
,|| r r || g , 0 v v , 1 2 v 2
Chứng minh: Sự tồn tại đã được chứng minh ở Định lí 1. Ta chứng minh tính duy nhất. Thật vậy: Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của
[4] Kamenskii, M; Obukhovskii, V; Zecca, P. (2001). Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin.
||
(1)-(3) và u t ( ) 1
t
L r ( )
u
( )
( ) d .
, 1
2
u 1
r t (
g . Sử dụng giả thiết, ta được: 0 u t ( ) || 2
)sup [0, ]
0
62
