Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
60
VỀ PHƯƠNG TRÌNH MOBILE-IMMOBILE PHÂN THỨ
VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
Nguyễn Văn Đắc, Lê Thị Minh Hải
Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau:
1((0) (,)
tt
uguu uftu


 (1)
0u (2)
() ()() (), [ ,0]us hu s s s q
 (3)
với () (, )ut utx, 0,tTx là miền bị
chặn có biên trơn trong ,1
dd, tích chập
hiểu như sau
0
() ( )() ,
t
kt ktssds

và:

1,0,1
(1 )
t
g

 , ,0
.
Năm 2003, R. Chumer đã giới thiệu hệ
phương trình dạng trên trong tạp chí về tài
nguyên nước và gọi là hệ Mobile-Immobile,
xem thêm trong [3]. Dạng đơn giản hơn đã
được nghiên cứu trong [3], sự xuất hiện của
trễ

() ()ut ut t
 và điều kiện đầu phụ
thuộc vào phép đo bổ sung đem lại phạm vi
áp dụng rộng rãi nên thu hút được nhiều nhà
toán học quan tâm (xem [1,2]), một ví dụ cho
hàm h như sau:
1
()()() ( ,), [ ,0], [0, ]
m
ii i
i
hu s x cus s x s q s T

ở đó ci, m là các hằng số, các giá trị đo bổ
sung được thực hiện tại các , {1,2,..., }
i
s
im
và giá trị của nó phụ thuộc vào lịch sử của
trạng thái. Do đó chúng tôi đặt vấn đề nghiên
cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Dùng ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí
điểm bất động cho ánh xạ nén.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kiến thức chuẩn bị
a) Toán tử nghiệm và giả thiết: Gọi l là
nghiệm của 1*1lg l
trên [0, ) và xét:

() () 1, 0
() () (), 0.
st l s t t
rt l r t lt t


Các phương trình này có nghiệm duy nhất,
ta kí hiệu các nghiệm là (, ), (, )sr


.
Mệnh đề 2.2 trong [3] đã trình bày các tính
chất quan trọng của các nghiệm này. Ta xét
2
L
với cơ sở gồm các hàm riêng trực
giao 1
{}
nn
e
của
với điều kiện biên
Dirichlet thuần nhất và dãy giá trị riêng
1
{}
nn
thỏa 12
0,lim
n
n


 . Khai
triển theo hệ cơ sở trên, ta được công thức
nghiệm dựa theo hai toán tử:


2
1
2
1
() (, ) , 0, ,
() (, ) , 0, .
nnn
n
nnn
n
Stv st vet v L
Rtv rt vet v L






Định nghĩa 1. Hàm

2
[,];()uC qTL

được gọi là một nghiệm của bài toán (1)-(3)
nếu:
() ( )() (), [ ,0]ut hu t t t q
,
và
() (0) ( )(0) (), 0,ut S t hu It t T

với

0
() ( ) , ( ( ) , [0, ].
t
I
tRtfu dtT

Kí hiệu
2
[,0];()
q
CC q L
, và
cho
chuẩn trong
2
;()CJL
với
J
là một đoạn.
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
61
Ta cần giả thiết sau đây cho tính giải được.
(F) Hàm liên tục 22
:()()fL L

thỏa
2
(, ) () , 0, ( )ftv at v v t v L
trong đó (),
loc
aL
 là hàm tăng trưởng
trên tuyến tính thỏa mãn () (), 0rorr
.
(H) Hàm liên tục

2
:[ ,];() q
hC qT L C
thỏa (0) 0h và 12 12
() () h
hv hv c v v


với mọi

2
12
,[,];()vv C qT L và 0
h
c. 
Từ công thức nghiệm, ta xây dựng toán tử
trên không gian
2
[,];()CqTL như sau:


() ()khi ,0,
() () khi 0, .
thut t q
ut It t T


Toán tử này Nghiệm của bài toán là điểm
bất động của nó nên được gọi là toán tử
nghiệm.
b) Độ đo không compact (xem [4]): Độ đo
MNC Hausdorff được xác định bởi
() inf{ 0:
D
D
 có một
-lưới hữu
hạn}, là độ đo không suy biến và đơn điệu.
Định lí 0. [4] Cho
là một MNC không
suy biến và đơn điệu trên
X
. Tập
D
X, là
một tập lồi đóng và khác rỗng sao cho
:
D
Dlà một ánh xạ nén theo
. Khi đó
có điểm bất động.
Kí hiệu T
là MNC Hausdorff trên

2
[,];()CqTL.
3.2. Kết quả chính
Định lí 1. Giả sử (F) và (H) thỏa mãn. Nếu

1
0,
sup ( , )* ( ) 1,
htT
crat

 thì tồn tại
0
và (1)-(3) có nghiệm khi
.
Chứng minh: Vì hàm
f
và ,SR
liên
tục nên là liên tục trên

2
[,];()CqTL.
Ta tìm 0
sao cho
BB

- là hình
cầu đóng với bán kính là
và tâm là gốc.
Đặt

1
0,
sup ( , )* ( )
htT
crat

 ,
Vì 1
nên chọn được
1
01

 ,
() (), 0
rorr cho ta sự tồn tại của
0
thỏa (, ) ( () ) ,
f
tv at v khi .
v
Với u
và
thì:
()ut t
với
0,tT
nên ta có:

1
() (, ) (0) (0)ut st hu



1
0
(,)() ()
t
rt at u d


1
(, )st hu





1,
0
(,)() sup
t
q
rt at u d





1
1
0
(, )
(,)() .
h
t
st c
rt at d




Áp dụng Mệnh đề 2.2 trong [3], ta có:

1
0
1
() ( , )
.
t
ut rt d









Chọn
với
1
0
 

do cách chọn
, ta có
()ut
nghĩa là
BB

 khi
.
Ta chứng minh tính nén của ánh xạ
nghiệm. Giả sử
2
[,];()DC qTL là một
tập bị chặn, ta được
12
D
DD

ở đó:



1
() ( )(), ,0
() () (0) ( )(0) , 0,
thutt q
ut St hu t T



và:



2
0
0, ,0
() (),( (),0,.



t
tq
ut
R
tfu dtT

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8
62
Do tính cộng tính của MNC, ta có:


12TT T
D
DD

 .
Ta ước lượng hạng tử thứ nhất bên vế
phải. Với
12 1
,zz D thì tồn tại 12
,uu D
sao cho (với {1, 2}i):


() ( )(), ,0
() .
() (0) ( )(0), 0,
i
i
i
thut t q
zt St hu t T


Do đó:


12
21
12 1
|| ( ) ( ) ||
|| ( )( ) ( )( ) ||, ,0
(, )|| ( ) ( )|| , 0,
zt zt
hu t hu t t q
s
thuhutT



.
Sử dụng (G) và 1
(, ) 1st
, ta được:
21 2 1 21
() () h
z z hu hu c u u

 .
Từ đó suy ra
1ThT
D
cD

 .
Vì toán tử Q
là compact và:
2() 0, [ ,0]
D
ttq nên

20
TD
.
Vậy

ThT
D
cD

 . Theo giả thiết
1
h
c nên là toán tử T
nén. Theo Định lí
0, bài toán (1)-(3) có nghiệm toàn cục.
Định lí 2. Giả sử các giả thiết của Định lí 1
thỏa mãn. Với mỗi 0r đều tồn tại () 0Lr
thỏa 12 12
( , ) ( , ) ( ) || ||, 0,ftv ftv Lr v v t
và
2
12 1 2
,,||||,||||vv L v r v r và 0
g
,
thì bài toán (1)-(3) có duy nhất nghiệm.
Chứng minh: Sự tồn tại đã được chứng
minh ở Định lí 1. Ta chứng minh tính duy nhất.
Thật vậy: Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của
(1)-(3) và 0
g
. Sử dụng giả thiết, ta được:
12
121
[0, ]
0
|| ( ) ( ) ||
() ( , )sup () () .
t
ut ut
Lr r t u u d


Vế phải là hàm không giảm theo t nên:
12
[0, ]
121
[0, ]
0
sup || ( ) ( ) ||
() ( , )sup () () .
t
t
us us
L
rrt u u d


Áp dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall ta
được 12
[0, ]
sup || ( ) ( ) || 0, [0, ]
t
us us t T
 .
4. KẾT LUẬN
Ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất
nghiệm cho hệ vi phân mobile-immobile khi
phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến
tính. Kết quả đóng góp một phần nhỏ cho lí
thuyết hệ vi phân phân thứ và làm tiền đề cho
nghiên cứu tiếp theo.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Anh, N.T.V; Yen, B.T.H. (2022). On the
time delayed anomalous diffusion equations
with nonlocal initial conditions. Commun.
Pure Appl. Anal. 21, no. 11, 3701-3719.
[2] Chuong, N.M; Ke, T.D. (2012).
Generalized Cauchy problems involving
nonlocal and impulsive condition. J. Evol.
Equ. 12, no. 2, 367-392.
[3] Dac, N.V; Tuan, H.T; Tuan, T.V. (2022).
Regularity and large-time behavior of
solutions for fractional semilinear mobile-
immobile equations. Math. Methods Appl.
Sci., 1-27.
[4] Kamenskii, M; Obukhovskii, V; Zecca, P.
(2001). Condensing Multivalued Maps and
Semilinear Differential Inclusions in
Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin.