344
VỀ MỘT TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM
CẤP KHÔNG NGUYÊN
Nguyễn Minh Điện1
1. Khoa Sư phạm, trường Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Trong báo cáo này chúng tôi đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi
phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo. Kết quả của chúng tôi khác với những kết quả trước đó
là có thể áp dụng cho lớp các phương trình vi phân cấp không nguyên với hàm nguồn có chứa điểm
kỳ dị.
Từ khoá: Đạo hàm Caputo, phương trình vi phân cấp không nguyên, tiêu chí duy nhất nghiệm.
1. GIỚI THIỆU
Nagumo (Nagumo, 1926) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân
cấp 1. Tiếp nối công trình trên, có rất nhiều tiêu chí duy nhất nghiệm cho các phương trình vi phân
thường được đề xuất, chẳng hạn như (Constantin, 2010; Ferreira, 2012; Gard 1978). Rất gần đây
Constantin (Constantin, 2023) đã đề xuất một tiêu chí duy nhất nghiệm rất thú vị cho phương trình vi
phân cấp 1.
Các tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũng
được quan tâm nghiên cứu khá nhiều, chẳng hạn như (Diethelm, 2012; Ferreira, 2013; Ferreira, 2024).
Tuy nhiên, trong các nghiên cứu vừa đề cập, các tiêu chí duy nhất nghiệm được đưa ra không áp dụng
được cho trường hợp phương trình vi phân có hàm nguồn có điểm kỳ dị. Tiêu chí duy nhất nghiệm
cho phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên cũng đã được nghiên cứu nhưng không
nhiều (Dien, 2021).
Trong báo cáo này, chúng tôi giới thiệu một tiêu chí duy nhất nghiệm mới cho phương trình vi
phân với đạo hàm cấp không nguyên Caputo sau:
( ) ( , ( )), (0 , 1)
C
t
D u t f t u t t
=
(1)
với điều kiện đầu
(0) 0.u=
Chúng tôi nhấn mạnh là tiêu chí duy nhất nghiệm được đề xuất ở đây vẫn
khả dụng khi hàm nguồn có điểm kỳ dị.
2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về tích phân và đạo hàm cấp không nguyên.
Chúng tôi cũng giới thiệu một số kết quả cần thiết sẽ được sử dụng cho các phần tiếp theo trong báo
cáo.
Định nghĩa 2.1. (Podlubny, 1999). Cho
,1n n n
−
và
[0, ].
n
u C T
Tích phân phân
số với bậc α được định nghĩa
1
0
1
( ) ( ) ( )
()
t
I u t t s u s ds

−
=−
và đạo hàm Caputo cấp
được định nghĩa bởi
345
1 ( )
0
()
1( ) ( ) 1 ,
()
()
()
tnn
C
t
n
t s u s ds khi n n
n
D u t
u t khi n
−−
− −
−
=
=
với Γ(.) là hàm Gamma.
Tiếp tục, chúng tôi giới thiệu một sự liên hệ giữa đạo hàm và tích phân cấp không nguyên
(Podlubny, 1999):
Bổ đề 2.2. (Podlubny, 1999). Cho
,1n n n
−
và
[0, ].
n
u C T
Khi đó, ta có
Bổ đề 2.3. Cho
1[0,1]uC
và thỏa mãn điều kiện
(0) 0,u=
khi đó tồn tại một hằng số
0M
sao cho
| ( ) | .u t Mt
Chứng minh. Vì
1[0,1],uC
ta có
01
sup | '( ) | .
t
M u t

=
Do đó, ta có
00
( ) '( ) '( ) .
tt
u t u s ds u s ds Mt=

3. TIÊU CHÍ DUY NHẤT NGHIỆM
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu tiêu chí duy nhất nghiệm cho phương trình (1). Cụ thể
hơn, ta có định lý sau:
Định lý 3.1. Giả sử tồn tại các hằng số
,0KN
và
01

sao cho
| ( , ) | | |, (0 1)f t u Kt u t
−
và
0
lim ( , ) 0
tf t Mt
→=
đều với mọi
0.M
Nếu
(1 ) 1,K
−
khi đó, phương trình (1) có duy nhất nghiệm tầm thường
trong
1[0,1]C
.
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2 và điều kiện
(0) 0,u=
ta có thể đưa phương trình (1) về phương
trình tích phân sau:
1
0
1
( ) ( ) ( , ( )) .
()
t
u t t s f s u s ds
−
=−
Giả sử bài toán (1) có nghiệm không tầm thường
1[0,1].uC
Bổ đề 2.3, với mọi
0
, tồn tại
0t
đủ nhỏ, sao cho
| ( , ( )) | .f t u t
Khi đó, ta có
1
0
( ) ( ) .
( ) ( 1)
t
u t t s ds t



−
− =
+
346
Từ bất đẳng thức vừa nhận được suy ra
0
()
lim 0.
t
ut
t

−
→=
Do đó hàm số
() 0,
()
00
ut khi t
wt t
khi t

−
=
=
là hàm liên tục trên
[0,1].
Với
00t
, ta đặt
0
00
max ( ).
tt
M w t

=
Mặt khác, với
0
0tt
, ta lại có
1
0
0
0
( ) ( ) (1 ) .
()
t
KM
u t t s t ds KM t
− − −
− = −
Bất đẳng thức trên dẫn tới
00
() (1 ) .
ut K M M
t

− −
Điều này trái với định nghĩa
0
M
. Điều này chứng tỏ bài toán chỉ có nghiệm tầm thường.
4. ỨNG DỤNG
Chúng tôi sẽ giới thiệu một số ví dụ về việc áp dụng tiêu chí vừa tìm được vào một số phương
trình vi phân có đạo hàm cấp không nguyên và có hàm nguồn chứa điểm kỳ dị.
Ví dụ 4.1. Xét phương trình vi phân sau:
0.9 0.8
( ) 0.2 sin ( ), (0 1)
C
t
D u t t u t t
−
=
với điều kiện đầu
(0) 0.u=
Trong ví dụ này, ta có
0.8
( , ( )) 0.2 sin ( )f t u t t u t
−
=
và
0.9.
=
Dễ thấy
0.8
( , ) 0.2 | |f t u t u
−
với
0.2, 0.8 0.9.K

= = =
Hơn nữa, ta có
0.8
00
lim ( , ) lim0.2 sin 0.
tt
f t Mt t Mt
−
→→
==
Mặt khác, ta có
(1 ) (0.2) 4.59
− =
nên
(1 ) 0.918 1.K
−
Điều nay chứng tỏ các giả
thiết trong Định lý 3.1 đều được thỏa mãn. Do đó, ta kết luận bài toán có nghiệm duy nhất là nghiệm
tầm thường.
Ví dụ 4.2. Xét phương trình vi phân sau:
347
0.8 0.75
1 | ( ) |
( ) , (0 1)
4 1 | ( ) |
C
t
ut
D u t t t
ut
−
=
+
với điều kiện đầu
(0) 0.u=
Ta có
0.75
1 | ( ) |
( , ( )) 4 1 | ( ) |
ut
f t u t t ut
−
=+
và
0.8.
=
Ta cũng có
0.75
1
( , ) | |
4
f t u t u
−
với
1, 0.75 0.8.
4
K

= = =
Kiểm tra trực tiếp, ta có
0.25
00
1
lim ( , ) lim 0.
41
tt
M
f t Mt t Mt
→→
==
+
Do
(1 ) (0.25) 3.63
− =
nên
3.63
(1 ) 1.
4
K
−
Điều nay chứng tỏ các giả thiết trong
Định lý 3.1 đều được thỏa mãn, nghĩa là bài toán đang xét có duy nhất nghiệm là nghiệm tầm thường.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Constantin (2010). On Nagumo’s theorem. Proc. Jpn. Acad. Ser. A Math. Sci., 86(2), 41-44.
a. Constantin (2023). A uniqueness criterion for ordinary differential equations. J. Differ. Equ., 342,
179-192.
2. K. Diethelm (2012). The mean value theorems and a Nagumo-type uniqueness theorem for Caputo’s
fractional calculus. Fract. Calc. Appl. Anal., 15(2), 304-313.
3. N. M. Dien (2021). Existence and continuity results for a nonlinear fractional Langevin equation with a
weakly singular source. J. Integral Equ. Appl., 33(3), 349-369.
4. R. A. C. Ferreira (2012). A uniqueness result for a fractional differential equation. Fract. Calc. Appl. Anal.,
15(4), 611-615.
5. R. A. C. Ferreira (2013). A Nagumo-type uniqueness result for an $n$th order differential equation. Bull.
London Math. Soc., 45, 930-934.
6. R. A. C. Ferreira (2024). A Nagumo-Type Uniqueness Criterion for a Differential Equation with
Convolution. Differ Equ Dyn Syst. https://doi.org/10.1007/s12591-023-00670-x
7. M. Nagumo (1926). Eine hinreichende Bedingung fur die Unit at der Loosung von Differentialgleichungen
erster Ordnung. Jpn. J. Math., 3, 107-112.
8. T.C. Gard (1978). A generalization of the Nagumo uniqueness theorem. Proc. Am. Math. Soc., 70, 167-
172.
9. Podlubny (1999). Fractional differential equations. New York: Academic Press.