266
HÀM GREEN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LYAPUNOV CHO
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN
Nguyễn Đình Dương1, Nguyễn Minh Điện2*
1. Lớp D21TOAN01, Trường Đại học Thủ Dầu Một
2. Khoa Sư phạm, Trường Đại học Thủ Dầu Một
*Liên hệ email: diennm@tdmu.edu.vn
TÓM TẮT
Trong báo cáo này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về hàm Green và bất đẳng thức
kiểu Lyapunov cho phương trình vi phân có đạo hàm cấp không nguyên Riemann-Liouville. Đây là
kết quả mở rộng của kết quả đã được công bố gần đây trong công trình của Dhar và Neugebauer (S.
Dhar and J.T. Neugebauer,2022).
Từ khóa: Bất đẳng thức Lyapunov; đạo hàm Riemann-Liouville; hàm Green
1. GIỚI THIỆU
Bất đẳng thức kiểu Lyapunov là bất đẳng thức quan trọng trong toán học. Trong báo cáo này,
chúng tôi mở rộng một số các kết quả đã được công bố gần đây trong những công trình của Dhar và
Neugebauer (S.Dhar and J.T.Neugebauer, 2022). Cụ thể hơn, cho n≥2,𝑛−1<α≤n và n−2≤
γ≤α −1. Cho α–n+𝑘≤𝛾𝑘<𝛼−𝑛+𝑘+1 với 𝑘=1,2,..,𝑛−2. Ta xét bài toán phương
trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên Riemann-Liouville
{ D𝑎+
𝛼
𝑅𝐿 𝑢(𝑡)+𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))=0
𝑢(𝑎)=D𝑎+
𝛾1
𝑅𝐿 𝑢(𝑎)=..= D𝑎+
𝛾𝑛−2
𝑅𝐿 𝑢(𝑎)= D𝑎+
𝛾
𝑅𝐿 𝑢(𝑏)=0 (1.1)
Chúng tôi sẽ xây dựng hàm Green cho bài toán (1.1), tìm một đánh giá cận trên cho hàm Green
và thiết lập bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho bài toán.
2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ bản về tích phân cấp không nguyên, đạo
hàm cấp không nguyên Riemann-Liouville. Chúng tôi cũng giới thiệu một bổ đề cơ bản sẽ được sử
dụng trong các phần tiếp theo trong báo cáo.
Định nghĩa 2.1. (S.Dhar and J.T.Neugebauer, 2022). Cho 𝑎,𝑏∈ℝ,𝑎<𝑏,𝑛∈ℕ,𝛼∈
(𝑛−1,𝑛]. Tích phân cấp không nguyên bậc 𝛼 của hàm 𝑢 trên [𝑎,𝑏] được định nghĩa bởi
𝐼𝑎+
𝛼
𝑢(𝑡)=1
Γ(𝛼)∫(𝑡−𝜏)𝛼−1𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
và đạo hàm cấp không nguyên bậc 𝛼 của hàm 𝑢 trên [𝑎,𝑏] được định nghĩa bởi
D
𝑅𝐿 𝑎+
𝛼𝑢(𝑡)=1
Γ(𝑛−𝛼)𝑑
𝑑𝑡∫(𝑡−𝜏)𝑛−𝛼−1𝑢(𝜏)𝑑𝜏.
𝑡
𝑎
với Γ(.) là hàm Gamma.
267
Bổ đề 2.2. (S.Dhar and J.T.Neugebauer, 2022). Cho 𝑛∈ℕ,𝛼∈(𝑛−1,𝑛] và 𝑢∈𝐶𝑚[𝑎,𝑏],
khi đó tồn tại các số thực 𝑐𝑘 sao cho
𝐼𝑎+
𝛼D
𝑅𝐿 𝑡
𝛼𝑢(𝑡)=𝑢(𝑡)+∑𝑐𝑘(𝑡−𝑎)𝛼−𝑛−𝑘
𝑛−1
𝑘=0 . (2.1)
3. HÀM GREEN
Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu hàm Green của bài toán (1.1). Ngoài ra, chúng tôi cũng
đưa ra một đánh giá chặn trên cho giá trị lớn nhất của hàm Green
Mệnh đề 3.1. Nếu u là nghiệm của bài toán (1.1); khi đó u là nghiệm của phương trình tích phân
𝑢(𝑡)=1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1G(𝑡,𝜏)𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))𝑑𝜏
𝑏
𝑎 , (3.1)
trong đó
G(t,τ)=1
Γ(α)
{
(t−a)α−1
(b−a)α−γ−1−(t−τ)α−1
(b−τ)α−γ−1,a≤τ≤t≤b
(t−a)α−1
(b−a)α−γ−1 , a≤t≤τ≤b
Định nghĩa 3.2. Hàm G trong Mệnh đề 3.1 được gọi là hàm Green của bài toán (1.1)
Chứng minh. Sử dụng Bổ đề 2.2, ta có
𝑢(𝑡)=−𝐼𝑎+
𝛼𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))+∑𝑐𝑘(𝑡− 𝑎)𝛼−𝑛+𝑘
𝑛−1
𝑘=0 (3.2)
Thay 𝑡=𝑎 vào phương trình vừa trên, ta được 𝑐0=0. Vì 𝑐0=0, từ (3.2), ta có
D𝑎+
𝛾𝑝
𝑅𝐿 𝑢(𝑡)=−𝐼𝑎+
𝛼−𝛾𝑝𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))+∑𝑐𝑘Γ(𝛼−𝑛+𝑘+1)
Γ(𝛼−𝑛+𝑘+1−𝛾𝑝)(𝑡− 𝑎)𝛼−𝑛+𝑘−𝛾𝑝
𝑛−1
𝑘=𝑝 .
Cho 𝑝=1,2,..,𝑛−2 và sử dụng điều kiện D𝑎+
𝛾𝑝
𝑅𝐿 𝑢(𝑡)=0, ta thu được 𝑐𝑝=0 với mọi
𝑝=1,2,..,𝑛−2. Ngoài ra, ta có
D𝑎+
𝛾
𝑅𝐿 𝑢(𝑡)=−𝐼𝑎+
𝛼−𝛾𝑓(𝑡,𝑢(𝑡))+𝑐𝑛−1 Γ(𝛼)
Γ(𝛼−𝛾)(𝑡− 𝑎)𝛼−𝛾−1
Sử dụng điều kiện D𝑎+
𝛾
𝑅𝐿 𝑢(𝑏)=0, ta thu được
𝑐𝑛−1 =Γ(𝛼−𝛾)
Γ(𝛼)(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1𝐼𝑎+
𝛼−𝛾𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)|
𝑡=𝑏
= 1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏
𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)𝑑𝜏.
𝑏
𝑎
Thay thế các hệ số 𝑐𝑘(𝑘=1,2,..,𝑛−1) vào (3.2), ta được
𝑢(𝑡)=− 1
Γ(𝛼)∫(𝑡−𝜏)𝛼−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏))𝑑𝜏
𝑡
𝑎
+1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏
𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1(𝑡−𝑎)𝛼−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑏
𝑎
268
=− 1
Γ(𝛼)∫(𝑡−𝜏)𝛼−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
+1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏
𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1(𝑡−𝑎)𝛼−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑡
𝑎
+1
Γ(α)∫(𝑏−𝜏
𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1(𝑡−𝑎)𝛼−1𝑓(𝜏,𝑢(𝜏)𝑑𝜏
𝑏
𝑡
= 1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1G(𝑡,𝜏)𝑓(𝜏,𝑢(𝜏))𝑑𝜏
𝑏
𝑎
Trong đó
G(𝑡,𝜏)= 1
Γ(𝛼)
{
(𝑡−𝑎)𝛼−1
(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1−(𝑡−𝜏)𝛼−1
(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1,𝑎≤𝜏≤𝑡≤𝑏
(𝑡−𝑎)𝛼−1
(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1 , 𝑎≤𝑡≤𝜏≤𝑏
Mệnh đề 3.3. Cho 𝐺 là hàm Green của bài toán (1.1) được định nghĩa trong Mệnh đề 3.1. Khi
đó ta có các tính chất sau:
(i). G𝜏(𝑡,𝜏)≥0(𝑎≤𝜏≤𝑡≤𝑏)
(ii). G(𝑡,𝜏)≥0
Hệ quả là
max
𝑎≤𝑡,𝜏≤𝑏G(𝑡,𝜏)=max
𝑎≤𝑡≤𝑏 (𝑡−𝑎)𝛼−1
(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1 =(𝑏−𝑎)𝛾. (3.3)
Chứng minh. (i). Với 𝑎≤𝜏≤𝑡≤𝑏, tính toán trực tiếp, ta có
G𝜏(𝑡,𝜏)=(𝑡−𝜏)𝛼−2(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−2[(𝛼−1)(𝑏−𝑡)+𝛾(𝑡−𝜏)]
(𝑏−𝜏)2(𝛼−𝛾−1)≥0.
Vì 𝛼≥1. Do đó (i) được chứng minh.
(ii). Hiển nhiên rằng G(𝑡,𝜏)≥0 với mọi 𝛼≤𝑡≤𝜏≤𝑏. Với 𝑎≤𝜏≤𝑡≤𝑏, sử dụng (i). Ta
được
G(𝑡,𝜏)≥G(𝑡,𝑎)=0
Vậy (ii) được chứng minh xong.
Cuối cùng, ta chứng minh được bất đẳng thức (3.3). Từ tính đơn điệu tăng của hàm G(𝑡,𝜏)
trong miền 𝑎≤𝜏≤𝑡≤𝑏 và định nghĩa hàm G, ta có
G(𝑡,𝜏)≤G(𝑡,𝑡)=(𝑡−𝑎)𝛼−1
(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1
Từ đó suy ra max
𝑎≤𝑡,𝜏≤𝑏G(𝑡,𝜏)=max
𝑎≤𝑡≤𝑏 (𝑡−𝑎)𝛼−1
(𝑏−𝑎)𝛼−𝛾−1 =(𝑏−𝑎)𝛾.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
4. BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU LYAPUNOV
Trong phần này chúng tôi giới thiệu một bất đẳng thức kiểu Lyapunov cho phương trình (1.1).
Để đơn giản trong trình bày, chúng tôi ký hiệu ℝ+={𝑥∈ℝ:𝑥≥0}
269
Định lý 4.1. Giả sử tồn tại hàm 𝑞:[𝑎,𝑏]→ℝ+ sao cho
|𝑓(𝑡,𝑢)|≤𝑞(𝑡)|𝑢|
với mọi 𝑡∈(𝑎,𝑏]. Đặt 𝑝(𝑡)=(𝑏−𝑡)𝛼−𝛾−1𝑞(𝑡). Nếu 𝑝(.)∈L1(𝑎,𝑏) và bài toán (1.1) có
nghiệm không tầm thường, khi đó ta có
∫(𝑏−𝑡)𝛼−𝛾−1𝑞(𝑠)𝑑𝑠≤ Γ(𝛼)
(𝑏−𝑎)𝛾
𝑏
𝑎 .
Chứng minh. Nếu bài toán (1.1) có nghiệm không tầm thường, từ (3.1), ta có
𝑢(𝑡)≤1
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1|G(𝑡,𝜏)||𝑓(𝜏,𝑢(𝜏))|𝑑𝜏
𝑏
𝑎
≤(𝑏−𝑎)𝛾
Γ(𝛼)∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1𝑞(𝜏)|𝑢(𝜏)|𝑑𝜏
𝑏
𝑎
≤(𝑏−𝑎)𝛾
Γ(𝛼)‖𝑢‖∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1𝑞(𝜏)𝑑𝜏
𝑏
𝑎
Bất đẳng thức vừa nhận được suy ra
‖𝑢‖≤(𝑏−𝑎)𝛾
Γ(𝛼)‖𝑢‖∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1𝑞(𝜏)𝑑𝜏
𝑏
𝑎.
Từ đó, ta nhận được ∫(𝑏−𝜏)𝛼−𝛾−1𝑞(𝜏)𝑑𝜏
𝑏
𝑎≥Γ(𝛼)
(𝑏−𝑎)𝛾
Vậy Định lý 4.1 được chứng minh xong.
LỜI CẢM ƠN
Nghiên cứu này được tài trợ bởi Đại học Thủ Dầu Một, tỉnh Bình Dương, Việt Nam với mã số
đề tài DTSV.23.1-013.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. S. Dhar and J.T.Neugebauer (2022). Lyapunov- Type Inequalities for a Fractional Boundary Value
Problem with a Fractional Boundary Condition. Nonlinear Dynamics and Systems Theory, 22(2), 133-
143.