Luận văn Thạc sĩ: Bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu

Luận văn này trình bày tổng quan về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp trong không gian Banach phản xạ, trong đó toán tử biến phân không có tính chất đơn điệu hoặc đơn điệu mạnh. Đặc biệt, luận văn tập trung vào việc nghiên cứu sự ổn định của lời giải cho các bài toán dạng này, vốn thường là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed), có nghĩa là nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Để khắc phục vấn đề này, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được sử dụng, nhằm tìm nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm chính xác của bài toán gốc.

Luận văn Thạc sĩ ngành Toán Ứng dụng này hướng tới đối tượng là các nhà nghiên cứu, giảng viên, và sinh viên sau đại học trong lĩnh vực toán học ứng dụng, giải tích phi tuyến, lý thuyết tối ưu và các ngành khoa học có liên quan, những người quan tâm đến phương pháp giải các bài toán bất đẳng thức biến phân phức tạp.

Luận văn nghiên cứu sâu về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, đặc biệt khi toán tử biến phân bị nhiễu và không còn đơn điệu. Bài toán này là một chủ đề quan trọng trong giải tích toán học do tính ứng dụng rộng rãi và thách thức về mặt lý thuyết khi đối mặt với các bài toán đặt không chỉnh.

Chương 1 của luận văn giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả liên quan trong giải tích hàm phi tuyến, bao gồm không gian Banach phản xạ, toán tử đơn điệu và phiếm hàm lồi. Chương này định nghĩa bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp và nêu ra tính chất không chỉnh của nó khi toán tử không đơn điệu. Một số trường hợp đặc biệt và ví dụ thực tế của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, như bài toán cân bằng mạng giao thông và bài toán kinh tế bán độc quyền, cũng được trình bày để minh họa tính ứng dụng của lý thuyết.

Chương 2 là phần trọng tâm của luận văn, đi sâu vào phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu. Luận văn trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov để giải quyết bài toán đặt không chỉnh, tập trung vào việc xây dựng nghiệm hiệu chỉnh và nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất của nghiệm đó. Các điều kiện cho sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh đến nghiệm chính xác của bài toán gốc được phân tích chi tiết. Đặc biệt, luận văn thảo luận về cách chọn tham số hiệu chỉnh dựa trên nguyên lý độ lệch suy rộng và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ. Các kết quả này được xây dựng dựa trên những nghiên cứu trước đó, đặc biệt là công trình của Nguyễn Thị Thu Thủy (2011).

Kết luận của luận văn tổng hợp các đóng góp chính, bao gồm việc làm rõ phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân hỗn hợp với toán tử nhiễu không đơn điệu, nghiên cứu bài toán chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm và đánh giá tốc độ hội tụ. Luận văn cũng gợi mở hướng nghiên cứu tiếp theo về việc tìm nghiệm chung cho hệ nhiều bất đẳng thức biến phân hỗn hợp.