BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————
ĐỖ THU PHƯƠNG
TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ TÍCH PHÂN CÓ TRỄ
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9.46.01.03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2025
Luận án được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Lê Văn Hiện
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Phản biện 1: GS.TSKH. Đoàn Thái Sơn
Viện Toán học, Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam
Phản biện 2: GS.TSKH. Vũ Hoàng Linh
Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Phản biện 3: GS.TS. Cung Thế Anh
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
Vào hồi ... giờ ... ngày .... tháng .... năm 2025
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một lĩnh vực trọng yếu trong nghiên cứu hệ động lực và điều khiển,
đóng vai trò nền tảng trong việc phân tích tính chất động học của hệ thống. Từ công trình
tiên phong năm 1892 của nhà Toán học người Nga, A. M. Lyapunov, lĩnh vực này đã từng
bước hình thành và phát triển thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh, với phạm vi ứng
dụng rộng khắp trong nhiều lĩnh vực khác nhau như cơ học, điện - điện tử, sinh học, tài
chính và kinh tế. Các nhánh nghiên cứu tiêu biểu gồm ổn định tiệm cận, ổn định mũ và
ổn định Lyapunov. Việc phát triển và ứng dụng các công cụ hiện đại như lý thuyết hàm
Lyapunov–Krasovskii và phương pháp bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs), đã tạo điều
kiện thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống phức tạp với độ tin cậy cao. Cho
đến nay, trải qua hơn một thế kỷ, lý thuyết ổn định Lyapunov ngày càng phát triển mạnh
mẽ và trở thành một bộ phận không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng.
Thực tế cho thấy rằng, độ trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong nhiều hệ thống
động lực như trong hệ thống lưới điện, hệ thống hóa học, hệ thống sinh học v.v... Nhiều mô
hình ứng dụng trong khoa học đời sống, kinh tế, môi trường hay trong các mô hình sinh
thái học, vật lí, hóa học, cơ học, điều khiển tự động, được mô tả bởi các hệ phương trình vi
phân có trễ. Độ trễ xuất hiện một cách phổ biến do quá trình xử lí và truyền dữ liệu trong
hệ thống. Sự tồn tại của trễ có thể dẫn đến sự nhiễu loạn, giảm hiệu suất và thậm chí làm
mất tính ổn định của hệ. Hơn nữa, việc nghiên cứu tính ổn định, đặc biệt là đánh giá tốc
độ hội tụ mũ, của các hệ có trễ là một hướng tiếp cận có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc và có
giá trị ứng dụng thực tiễn. Tính ổn định mũ không những đảm bảo nghiệm hội tụ về trạng
thái cân bằng mà còn cung cấp thông tin định lượng về tốc độ hội tụ, một yếu tố rất quan
trọng trong thiết kế và đánh giá hiệu năng của các hệ thống điều khiển. Vì vậy, bài toán
nghiên cứu tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong
các mô hình điều khiển đã và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong
và ngoài nước trong vài thập kỉ gần đây.
Trong khuôn khổ của lý thuyết điều khiển hiện đại, song song với việc phân tích đặc tính
ổn định tự nhiên của các hệ thống động học, một bài toán có ý nghĩa thực tiễn quan trọng
là ổn định hóa hệ điều khiển bằng lược đồ điều khiển phản hồi. Đối tượng nghiên cứu của
bài toán này là xây dựng một chiến lược điều khiển sao cho hệ đóng thu được (closed-loop
system) đạt được trạng thái ổn định theo nghĩa mong muốn, đặc biệt là ổn định mũ.
Trong quá trình vận hành hệ thống điện hiện đại, đặc biệt là các hệ thống quy mô lớn có
cấu trúc liên vùng, việc duy trì ổn định tần số và cân bằng công suất giữa các khu vực đóng
vai trò thiết yếu. Mô hình hệ thống điện nhiều khu vực đã trở thành một công cụ then chốt
1
trong nghiên cứu điều khiển tần số tải, phản ánh cấu trúc phân mảnh tự nhiên của lưới điện
và tính chất tương tác giữa các khu vực thông qua các liên kết truyền tải. Trong quá trình
vận hành của hệ thống điện diện rộng có tích hợp các xe điện (EVs), việc tổng hợp EVs
thường được thực hiện thông qua bộ phận trung gian như bộ tổng hợp (aggregator), nhằm
thu thập và cập nhật thông tin dữ liệu EVs theo thời gian thực giữa trung tâm điều khiển
và EVs. Trong cấu trúc truyền dữ liệu như vậy, trễ thời gian có thể phát sinh do tắc nghẽn
bất ngờ của các kênh truyền tải gây mất dữ liệu hoặc sai lệch gói dữ liệu. Với sự hiện diện
của trễ, phản ứng của hệ thống thường khác biệt đáng kể so với hệ thống không có trễ tương
ứng. Do đó, vấn đề phân tích ổn định và điều khiển các hệ có trễ nói chung, cũng như các
hệ thống điện có trễ trong kênh điều khiển nói riêng, là vô cùng quan trọng và đã thu hút
được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong thập kỷ qua.
Trong lý thuyết ổn định hệ phương trình vi phân có trễ, phương pháp hàm Lyapunov–
Krasovskii với các hàm toàn phương dựa trên ma trận trọng số đối xứng được sử dụng rộng
rãi trong hầu hết các kết quả đã công bố. Tuy nhiên, một điểm hạn chế đáng chú ý của
phương pháp LKF không đối xứng là mức độ bảo thủ thường khá cao bởi hầu hết các ma
trận liên quan trong LMI đều phải đối xứng hoặc xác định dương. Để khắc phục các điều
kiện dạng này, một số nghiên cứu gần đây đã hướng đến việc phát triển phương pháp LKF
không đối xứng, qua đó xây dựng các tiêu chuẩn linh hoạt hơn và có thể áp dụng hiệu quả
hơn với hệ có trễ trong thực tiễn kĩ thuật. Một số nhà nghiên cứu đã áp dụng phương pháp
hàm LKF không đối xứng như một cách tiếp cận thay thế cho phương pháp hàm LKF thông
thường để thiết lập các điều kiện ổn định, phân tích hiệu suất và thiết kế bộ điều khiển cho
các hệ thống trễ. Ưu điểm của phương pháp này nằm ở tính linh hoạt của nó, vì nhiều ma
trận trong điều kiện LMIs không cần phải đối xứng hoặc xác định dương. Điều này giúp
thiết lập các điều kiện ổn định ít bảo thủ hơn và có thể mở rộng phạm vi áp dụng cho nhiều
hệ động lực phức tạp hơn. Các trễ thời gian hỗn hợp, bao gồm cả trễ rời rạc và phân phối
với các tốc độ biến đổi khác nhau, rất phổ biến trong các hệ thống kỹ thuật thực tế như
điều khiển mạng và hệ thống sinh học. Sự hiện diện của những trễ này làm tăng đáng kể độ
phức tạp của bài toán phân tích sự ổn định. Do đó, việc mở rộng phương pháp KLF không
đối xứng để xử lý các hệ thống có trễ thời gian hỗn hợp sẽ là một hướng nghiên cứu quan
trọng trong tương lai.
Bên cạnh các mô hình động lực biểu diễn bởi hệ phương trình vi phân với trễ điểm (rời
rạc), các trạng thái trễ trong nhiều mô hình kĩ thuật phân phối trong một khoảng thời gian
nhất định. Những mô hình như thế thường phải mô tả thông qua các phương trình tích phân
có trễ. Nhiều nghiên cứu đã và đang diễn ra đối với hệ phương trình tích phân có trễ. Hàm
Lyapunov-Krasovskii có dạng quy định tùy thuộc vào các tham số ma trận cung cấp các
điều kiện đủ hữu hiệu ở dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Cho đến nay, các kết quả
nghiên cứu về tính ổn định nói chung, tính ổn định mũ nói riêng, với các hệ phương trình
tích phân có trễ và ứng dụng trong điều khiển mô hình có trễ đầu vào vẫn còn rất khiêm
tốn. Việc thiết lập các điều kiện hữu hiệu cho tính ổn định lớp phương trình tích phân có
2
trễ đòi hỏi những kĩ thuật đặc thù và khác biệt số với hệ vi phân. Vì vậy, vấn đề phát triển
các công cụ phân tích mới với lớp hệ này cũng đặt ra vấn đề nghiên cứu cấp thiết.
Mặc dù rất nhiều kết quả nghiên cứu, cả lý thuyết và ứng dụng, về tính ổn định nói chung
và tính ổn định mũ nói riêng đối với các hệ phương trình vi phân và tích phân có trễ, đây
vẫn là chủ đề có nhiều triển vọng phát triển và cần thiết tiến hành nghiên cứu. Nhiều vấn
đề nghiên cứu theo hướng này vẫn còn bỏ ngỏ khả năng cải thiện và phát triển, thậm chí có
những vấn đề vẫn còn rất nhiều thách thức. Nói riêng, việc phát triển các công cụ và phương
pháp tiếp cận mới để thiết lập các điều kiện hữu hiệu cho tính ổn định mũ các hệ phương
trình vi phân có trễ tổng quát là chủ đề cần những nghiên cứu sâu. Đây cũng là lí do và
là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định mũ của các hệ phương
trình vi phân và tích phân có trễ.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu tính ổn định mũ của một số lớp phương trình vi phân
và tích phân có trễ dựa trên cách tiếp cận bằng phương pháp LKF và các bất đẳng thức ma
trận tuyến tính. Cụ thể hơn, chúng tôi xây dựng LKFs đối xứng và LKFs không đối xứng;
phát triển một số kỹ thuật đánh giá mới, sử dụng các bất đẳng thức một cách hợp lý và
hiệu quả để thiết lập các điều kiện cải tiến cho tính ổn định mũ của một số lớp hệ phương
trình vi phân tuyến tính có trễ; thiết lập các điều kiện ổn định và ổn định hóa mũ cho một
số lớp phương trình tích phân có trễ dựa trên các bất đẳng thức tích phân phù hợp.
3. Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng
Luận án sử dụng kết hợp các công cụ của giải tích, phương trình vi phân thường, giải tích
ma trận, nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân và tích phân và một số công cụ
nghiên cứu trong lý thuyết điều khiển toán học. Đặc biệt, trong luận án chúng tôi sử dụng
một số kĩ thuật đánh giá đặc thù để thiết lập các điều kiện ổn định mũ cho hệ có trễ hỗn
hợp biến thiên.
4. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Các nội dung chính sau đây sẽ được nghiên cứu và trình bày trong luận án.
4.1.Ổn định hóa dạng mũ đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính đa trễ: Ứng
dụng trong điều khiển hệ thống truyền tải điện đa trễ tín hiệu
Xét một mô hình điều khiển hệ thống truyền tải điện gồm Nkhu vực sử dụng được kết
nối qua trạm điều khiển trung tâm (centralized N-area interconnected power system). Do độ
trễ xuất hiện trên kênh điều khiển (trễ tín hiệu viễn thông), mô hình điều khiển được cho
3
