Luận án Tiến sĩ: Tích chập suy rộng rời rạc liên quan đến phép biến đổi h-Laplace trên thang thời gian

Nghiên cứu về các phép biến đổi tích phân và các toán tử chập liên quan là nền tảng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Trong bối cảnh các hệ thống rời rạc ngày càng phức tạp, việc phát triển các khuôn khổ lý thuyết tiên tiến, đặc biệt trên các thang thời gian, trở nên thiết yếu. Luận án này hướng đến việc giải quyết khoảng trống đáng kể trong tài liệu nghiên cứu bằng cách tập trung vào việc xây dựng và phân tích các tích chập suy rộng rời rạc. Cụ thể, nghiên cứu này khám phá các tích chập liên quan đến phép biến đổi h-Laplace, h-Fourier cosine và h-Fourier sine trên các thang thời gian rời rạc, nhằm thiết lập sự tồn tại, các tính chất cơ bản và các định lý nhân tử hóa của chúng. Mục tiêu là cung cấp các công cụ toán học mới mẻ để giải quyết các bài toán phức tạp trong phân tích rời rạc.

Các nhà nghiên cứu và nghiên cứu sinh trong lĩnh vực toán học thuần túy và ứng dụng, đặc biệt những người chuyên về các phép biến đổi tích phân, toán học rời rạc, lý thuyết thang thời gian, giải tích hàm và vật lý toán học.

Luận án tiến sĩ này trình bày một nghiên cứu chuyên sâu về lý thuyết và ứng dụng của các tích chập suy rộng rời rạc, đặc biệt là những tích chập liên quan đến các phép biến đổi h-Laplace, h-Fourier cosine và h-Fourier sine được định nghĩa trên các thang thời gian rời rạc. Phương pháp nghiên cứu bao gồm việc định nghĩa một cách chặt chẽ các loại tích chập suy rộng rời rạc mới, bao gồm cả những loại có hàm trọng, và chứng minh các điều kiện tồn tại cùng các tính chất đại số cơ bản của chúng. Một đóng góp cốt lõi của luận án là việc phát triển các định lý nhân tử hóa mới, rất quan trọng để làm sáng tỏ mối quan hệ nhân tính giữa các phép biến đổi h-Fourier và h-Laplace dưới tác động của phép chập. Ngoài ra, luận án còn mở rộng và điều chỉnh các bất đẳng thức phân tích quan trọng như bất đẳng thức Young và các bất đẳng thức kiểu Saitoh (trực tiếp và ngược) để áp dụng vào bối cảnh của các toán tử chập rời rạc mới được định nghĩa này. Giá trị ứng dụng của công trình được thể hiện qua việc sử dụng các kết quả này để xây dựng và giải các lớp bài toán toán học rời rạc, bao gồm các phương trình kiểu Toeplitz-Hankel và các hệ phương trình kiểu tích chập, cung cấp các dạng nghiệm giải tích tường minh. Nghiên cứu này không chỉ lấp đầy một khoảng trống trong tài liệu hiện có bằng cách kết hợp ba phép biến đổi h-transform trong một khuôn khổ tích chập suy rộng rời rạc duy nhất mà còn cung cấp một nền tảng lý thuyết vững chắc và các kỹ thuật phân tích thực tiễn cho nghiên cứu tiên tiến trong toán học rời rạc, xử lý tín hiệu và mô hình hóa các hệ thống động lực trên các thang thời gian.