BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
HOÀNG HẢI HÀ
VỀ CÁC BÀI TOÁN PHA KÉP VỚI
TĂNG TRƯỞNG TỚI HẠN
Ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 9460102
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ
TP. HỒ CHÍ MINH - 2025
Công trình này được hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Thành
phố Hồ Chí Minh.
Người hướng dẫn khoa học:
1) TS. HỒ NGỌC KỲ
2) TS. BÙI THẾ QUÂN
Phản biện 1: PGS.TS. BÙI LÊ TRỌNG THANH
Trường ĐH Khoa học tự nhiên - ĐHQG TP.HCM
Phản biện 2: PGS.TS. LÊ PHƯƠNG
Trường ĐH Kinh tế - Luật - ĐHQG TP.HCM
Phản biện 3: PGS.TS. LÊ XUÂN TRƯỜNG
ĐH Kinh tế TP.HCM
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại: ..................................................
vào .......... giờ .......... ngày .......... tháng .......... năm ..........
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
•Thư viện Quốc gia Việt Nam
•Thư viện Đại học Sư phạm TP.HCM
•Thư viện Khoa học Tổng hợp TP.HCM
TP. HỒ CHÍ MINH - 2025
MỤC LỤC
TỔNG QUAN 2
1 CÁC KHÔNG GIAN
MUSIELAK-ORLICZ-SOBOLEV LIÊN KẾT TOÁN TỬ PHA KÉP
SỐ MŨ BIẾN 7
1.1 Cáckhônggianhàm ...................... 7
1.2 Các phép nhúng Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Trường hợp miền bị chặn có biên Lipschitz . . . . . 8
1.2.2 Trường hợp miền mở có tính chất nón trong RN. . 9
1.3 Các không gian W1,H
V(RN)và XV............... 10
2 CÁC NGUYÊN LÝ COMPACT TẬP TRUNG 12
2.1 Nguyên lý compact tập trung cho các không gian Musielak-
Orlicz-Sobolev trên miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Nguyên lý compact tập trung cho các không gian Musielak-
Orlicz-Sobolev trên RN..................... 13
3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN PHA KÉP VỚI
PHI TUYẾN TỚI HẠN TỔNG QUÁT 16
3.1 Bài toán tồn tại nhiều nghiệm trên miền bị chặn . . . . . . 16
3.1.1 Trường hợp phi tuyến có dạng lõm lồi . . . . . . . . 17
3.1.2 Trường hợp phi tuyến có dạng trên tuyến tính . . . 18
1
3.2 Bài toán tồn tại và tập trung nghiệm trong RN....... 19
4 TÍNH BỊ CHẶN CỦA NGHIỆM CHO CÁC BÀI TOÁN PHA
KÉP VỚI PHI TUYẾN TỚI HẠN TỔNG QUÁT 21
KẾT LUẬN 22
DANH MỤC CÔNG TRÌNH 23
TỔNG QUAN
Luận án nghiên cứu các bài toán phương trình đạo hàm riêng (Partial
differential equation, gọi tắt là PDE), chứa toán tử pha kép số mũ biến
dạng
div A(x,∇u):=div |∇u|p(x)−2∇u+a(x)|∇u|q(x)−2∇u,(0.0.1)
trong đó u:Ω→Rvới Ω⊆RN(N≥2), 1<p(·)<q(·)<Nvà
0≤a(·)∈L∞(Ω). Điểm khác biệt trong nghiên cứu của chúng tôi so với
các công trình trước đó là sự có mặt của phi tuyến tới hạn tổng quát dạng:
G∗(x,t):=tp∗(x)+a(x)
q∗(x)
q(x)tq∗(x),(x,t)∈Ω×[0, ∞).(0.0.2)
Các bài toán liên quan toán tử pha kép được khơi nguồn từ các nghiên
cứu của Zhikov vào năm 1987 [15] (xem thêm [16]) trong Lý thuyết đàn
hồi và sau đó đã nhận được nhiều sự quan tâm. Đặc trưng của toán tử
(0.0.1) là sự thay đổi tính chất elliptic theo vị trí điểm trong không gian.
Vì vậy các phiếm hàm năng lượng tương ứng phù hợp để mô tả các bài
toán liên quan đến các loại vật chất mà ở đó vật liệu mang tính dị hướng
mạnh (strong anisotropic materials), chẳng hạn như các vật liệu được tạo
ra từ những hợp chất có chỉ số cứng hóa (hardening power) khác biệt
nhau, được đặc trưng bởi pvà q. Vì vậy, việc nghiên cứu các bài toán
2
chứa toán tử pha kép có nhiều ý nghĩa trong nhiều lĩnh vực khoa học
thực tiễn, chẳng hạn như Lý thuyết đàn hồi, Cơ học chất lỏng, v.v... Từ
sau công trình của Zhikov, một số hướng nghiên cứu chính đã được thực
hiện, chẳng hạn như
•Tính chính quy của cực tiểu phiếm hàm năng lượng.
•Về sự tồn tại và các tính chất của nghiệm cho các bài toán PDE chứa
toán tử pha kép.
Đối với hướng nghiên cứu tồn tại nghiệm, các công bố trước đó chủ yếu
nghiên cứu cho các phương trình chứa phi tuyến dưới ngưỡng tới hạn
p∗(trường hợp toán tử pha kép số mũ hằng), hay p∗(·)(trường hợp toán
tử pha kép số mũ biến). Chúng tôi nhận thấy rằng các phi tuyến dạng tp∗
(tương ứng, tp∗(·)), là các dạng tới hạn của các không gian W1,p(Ω)(tương
ứng, W1,p(·)(Ω)), chưa phù hợp để mô tả dạng tới hạn của các không gian
hàm liên kết toán tử pha kép. Phi tuyến dạng (0.0.2) được đưa ra trong
công trình của Ho-Winkert năm 2023 [11] mô tả tốt hơn dạng tới hạn của
các không gian Musielak-Orlicz-Sobolev liên kết toán tử pha kép. Phát
triển ý tưởng của Lions năm 1985 trong [12, 13], chúng tôi xây dựng các
nguyên lý compact tập trung cho các không gian dạng Musielak-Orlicz-
Sobolev nhằm giải quyết các bài toán PDE chứa toán tử pha kép số mũ
biến và phi tuyến tới hạn tổng quát (0.0.2). Điều này là khác biệt nổi bật
trong nghiên cứu của chúng tôi so với các công bố trước đó.
Sau hướng nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm cho các bài toán PDE pha
kép, chủ đề về các tính chất định tính nghiệm hiện tại cũng đang thu hút
nhiều sự quan tâm chú ý. Theo hiểu biết của chúng tôi, cho đến thời điểm
hiện tại thì các kết quả về chủ đề này còn khá hạn chế, ngay cả trong
trường hợp p(·),q(·)≡const.. Trong bài báo gần đây được xuất bản năm
2023, Ho-Winkert [11] đã thu được tính bị chặn của nghiệm cho các lớp
3