LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng luận án tiến sĩ với đề tài “Tính bị chặn của các toán tử dạng
tích phân kỳ dị trên các không gian hàm” là công trình nghiên cứu khoa học do chính
tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Nguyên Anh và TS. Trần Trí Dũng.
Những kết quả được viết chung với các cộng sự đều đã có sự đồng ý của các đồng tác
giả trước khi đưa vào luận án. Toàn bộ các kết quả trình bày trong luận án là mới và
chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào trước đây.
Tác giả
Lê Trung Nghĩa
DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
•supp( f): giá của hàm f.
•1A: Hàm đặc trưng của tập A.
•Lp(X): không gian các hàm khả tích bậc ptrên X.
•Lp
loc(X): không gian các hàm khả tích địa phương bậc ptrên X.
•L∞
c(X): không gian các hàm bị chặn với giá compact.
•C∞
c(X): không gian các hàm khả vi vô hạn lần, có giá compact trong X.
•q′: phần tử liên hợp của qthoả mãn 1
q+1
q′=1với q∈[1,∞].
•A≲B: nếu tồn tại một hằng số C>0sao cho A≤CB.
•A≈B: nếu A≲Bvà B≲A.
•X′: không gian đối ngẫu của không gian X.
•d(x,y): khoảng cách giữa hai điểm x,y∈X.
•l1: tập tất cả các vec tơ x=(x1, ..., xn, ...)sao cho |x1|+... +|xn|+... < ∞.
•
Γ(
z
): Hàm Gamma của số phức
z
có phần thực dương được xác định bởi Γ(
z
)=
R∞
0tz−1e−tdt.
Mục lục
LỜI CAM ĐOAN i
DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ii
MỞ ĐẦU 1
1
GIAO HOÁN TỬ CALDERÓN–ZYGMUND TRÊN KHÔNG GIAN MORREY-
LORENTZ TỔNG QUÁT VÀ CÁC KHÔNG GIAN KHỐI TỔNG QUÁT
4
1.1 Một số định nghĩa cơ bản và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Không gian Morrey-Lorentz tổng quát là đối ngẫu của không gian khối 12
1.3
Tính bị chặn của hàm cực đại, hàm cực đại chặt và toán tử Calderón–
Zygmund ................................ 18
1.4 Chứng minh phân tích Hardy trong không gian Morrey-Lorentz . . . . 21
1.5 Đặc trưng compact của giao hoán tử [b,T]trong Mp,r
φ(X)....... 27
2
GIAO HOÁN TỬ CALDERÓN–ZYGMUND CỦA LOẠI
θ
TRÊN KHÔNG
GIAN MORREY-LORENTZ TỔNG QUÁT 41
2.1 Một số định nghĩa cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2
Tính bị chặn của toán tử Calderón-Zygmund loại
θ
và giao hoán tử
tương ứng trong không gian Morrey-Lorentz tổng quát . . . . . . . . 44
2.2.1 Ước lượng điểm cho các toán tử cực đại chặt . . . . . . . . . . 44
2.2.2 Kếtquảchính.......................... 50
3
TOÁN TỬ HARDY VÀ GIAO HOÁN TỬ TƯƠNG ỨNG TRÊN CÁC
KHÔNG GIAN HÀM TRUNG TÂM TỔNG QUÁT 52
3.1 Giới thiệu và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 Giớithiệu............................ 52
3.1.2 Cáckếtquảchính........................ 56
3.2 HAp′,r′
φ(Rn)là không gian tiền đối ngẫu của ˙
CMOp,r
φ(Rn)....... 58
3.3
Tính bị chặn của các toán tử loại Hardy trong các không gian hàm
trungtâmtổngquát........................... 63
iii
3.3.1 Toán tử Hardy trong các không gian trung tâm tổng quát . . . 63
3.3.2
Các giao hoán tử của toán tử Hardy trong các không gian trung
tâmtổngquát.......................... 64
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 72
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO 75
MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh và động cơ nghiên cứu
Trong hơn nửa thế kỷ qua, lý thuyết toán tử tuyến tính và phi tuyến trên các không
gian hàm đã trở thành một nhánh trung tâm của giải tích điều hoà và giải tích phi
tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu tiêu biểu là khảo sát tính bị chặn và tính
compact của các toán tử trên những không gian hàm tổng quát, từ đó phát triển các
công cụ ứng dụng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng (PTĐHR), giải tích điều
hoà và hình học giải tích.
Sự hình thành và phát triển của các lớp không gian hàm mới đã đặt nền móng cho
giải tích điều hoà hiện đại. Các không gian này không chỉ cung cấp công cụ để nghiên
cứu tính trơn và tính ổn định của nghiệm PTĐHR, mà còn đóng vai trò trung tâm trong
việc phát triển lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị và các công cụ giải tích khác.
2. Tổng quan các kết quả đã có
Năm 1938, C. Morrey giới thiệu không gian Morrey
Mq
p
, một công cụ thiết yếu
trong nghiên cứu tính chính quy của nghiệm PTĐHR. Đến năm 1950, G. Lorentz đề
xuất không gian Lorentz
Lp,r
như một sự mở rộng tự nhiên của không gian Lebesgue
Lp
, mang lại công cụ tinh tế hơn trong việc khảo sát tính bị chặn của toán tử. Sự kết
hợp của hai ý tưởng này đã dẫn đến sự ra đời của không gian Morrey–Lorentz, một
không gian tổng quát hơn, cho phép nghiên cứu sâu sắc hơn tính trơn và tính ổn định
của nghiệm. Đồng thời, các không gian khối, vốn là đối ngẫu của không gian Morrey,
cũng được nhiều tác giả quan tâm (xem [71,76,83]).
Trong một hướng phát triển khác, Calderón và Zygmund vào thập niên 1950 đã xây
dựng lý thuyết toán tử kỳ dị, ngày nay được gọi là toán tử Calderón–Zygmund. Đây là
một lớp toán tử tích phân có nhân suy biến nhưng vẫn duy trì nhiều tính chất cơ bản
của toán tử tích phân chuẩn tắc, qua đó mở đường cho việc giải quyết hàng loạt bài
toán khó trong PTĐHR. Những thập niên gần đây, lý thuyết này tiếp tục được mở rộng
sang các toán tử Calderón–Zygmund loại
θ
, nhằm thích ứng với sự phức tạp ngày càng
lớn của không gian Morrey–Lorentz và các không gian hàm tổng quát khác.
Đặc biệt, trong thập niên 1970 và 1980, C. Fefferman và E. M. Stein đã xây dựng
lý thuyết không gian Hardy
Hp
, mở rộng khái niệm
Lp
sang trường hợp
p≤
1. Một
kết quả kinh điển của họ là (
H1
)
′
=
BMO
, trong đó không gian
BMO
giữ vai trò trung
tâm trong giải tích điều hoà hiện đại. Cùng với đó, các toán tử Hardy, toán tử cực đại
1