Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tính chính quy và ổn định nghiệm của một lớp phương trình vi phân không địa phương trên không gian Banach

Nghiên cứu về phương trình vi phân không địa phương (nonlocal differential equations) đang ngày càng trở nên quan trọng trong toán học hiện đại, đặc biệt là do khả năng mô tả các hiện tượng vật lý phức tạp như quá trình khuếch tán dị thường. Khác biệt cơ bản so với phương trình vi phân địa phương truyền thống, chúng sử dụng các đạo hàm "có nhớ" (memory-dependent derivatives), thể hiện sự phụ thuộc toàn cục vào lịch sử của hệ thống. Mặc dù đã có nhiều tiến bộ, việc phân tích sâu rộng về tính chất của nghiệm, đặc biệt là trong các không gian Banach tổng quát, vẫn còn nhiều thách thức. Cụ thể, các ước lượng cho toán tử nghiệm và sự thay thế các hàm đặc biệt như Mittag-Leffler vẫn cần được khảo sát kỹ lưỡng. Luận án này nhằm mục tiêu đóng góp vào việc hoàn thiện lý thuyết này, tập trung vào việc nghiên cứu tính chính quy và ổn định nghiệm.

Các nhà toán học, nghiên cứu sinh và giảng viên chuyên ngành giải tích hàm, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, và lý thuyết điều khiển, đặc biệt quan tâm đến phương trình vi phân phân thứ và hệ thống động lực có nhớ.

Luận án này tập trung nghiên cứu sâu rộng về các tính chất định tính của nghiệm đối với một lớp phương trình vi phân không địa phương, đặc biệt là các phương trình dưới khuếch tán dạng C D_0^{{k}} u(t) + Au = f(t, u), trong đó A là toán tử tuyến tính đóng và sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh. Nghiên cứu bao gồm tính đặt đúng (sự tồn tại và duy nhất nghiệm), tính ổn định của nghiệm đối với dữ kiện địa phương, và tính chính quy của nghiệm trên các không gian Banach tổng quát. Để đạt được các mục tiêu này, luận án áp dụng các công cụ mạnh mẽ từ giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, lý thuyết giải thức và lý thuyết hàm đặc biệt. Các đóng góp chính được phân chia thành bốn chương. Chương đầu tiên hệ thống hóa lý thuyết phương trình không địa phương và trình bày biểu diễn các toán tử giải thức trong không gian Banach, cùng với việc xây dựng các ước lượng quan trọng dựa trên nguyên lý phụ thuộc và lý thuyết hàm Bernstein. Chương thứ hai đi sâu vào tính ổn định Mittag-Leffler suy rộng cho một lớp phương trình không địa phương chứa trễ. Chương thứ ba khảo sát tính ổn định cấu trúc của phương trình tiến hóa không địa phương nửa tuyến tính, thu được các kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính phụ thuộc liên tục Lipschitz. Cuối cùng, Chương bốn tập trung vào tính chính quy của nghiệm cho các phương trình tiến hóa không địa phương chứa toán tử quạt, thiết lập điều kiện để nghiệm nhẹ trở thành nghiệm mạnh và tính chính quy Hölder theo biến thời gian. Những kết quả này không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân không địa phương mà còn có ý nghĩa quan trọng trong việc mô hình hóa và phân tích các hiện tượng vật lý có tính chất nhớ và khuếch tán dị thường.