Luận án Tiến sĩ: Tính chính quy và ổn định nghiệm của một lớp phương trình vi phân không địa phương trên không gian Banach

Nghiên cứu về phương trình vi phân, đặc biệt là phương trình vi phân không địa phương, đóng vai trò ngày càng quan trọng trong mô tả các hiện tượng vật lý, sinh học và kỹ thuật phức tạp mà các mô hình địa phương truyền thống không thể giải quyết triệt để. Khác với phương trình vi phân cấp nguyên, các phương trình không địa phương thể hiện tính "có nhớ" thông qua các đạo hàm tích phân, phản ánh các quá trình như khuếch tán dị thường. Luận án này tập trung khảo sát tính chính quy và ổn định nghiệm của một lớp phương trình vi phân không địa phương trên không gian Banach. Mục tiêu là phát triển các công cụ giải tích mới để làm sáng tỏ cấu trúc nghiệm, tính ổn định Mittag-Leffler suy rộng, và tính chính quy của các nghiệm, qua đó đóng góp vào sự hoàn thiện lý thuyết nền tảng cho lĩnh vực này.

Các nhà nghiên cứu, giảng viên, và sinh viên sau đại học trong các lĩnh vực toán học, toán học ứng dụng, vật lý toán và kỹ thuật, đặc biệt là những người quan tâm đến phương trình vi phân, giải tích hàm, lý thuyết ổn định và tính toán phân thứ.

Luận án này tập trung sâu vào việc phân tích tính chính quy và ổn định nghiệm của một lớp phương trình vi phân không địa phương trên không gian Banach, một chủ đề quan trọng trong toán học hiện đại. Nghiên cứu được cấu trúc thành bốn chương chính, mỗi chương giải quyết một khía cạnh cụ thể. Chương 1 đặt nền tảng bằng cách hệ thống hóa các kiến thức quan trọng và xây dựng biểu diễn toán tử giải thức trong không gian Banach tổng quát, cung cấp các ước lượng cần thiết. Đây là công cụ cơ bản được sử dụng xuyên suốt toàn bộ luận án. Chương 2 mở rộng bằng cách thiết lập tính ổn định Mittag-Leffler suy rộng cho một lớp phương trình dưới khuếch tán không địa phương có chứa trễ và các số hạng phi tuyến Lipschitz, dựa trên biểu diễn toán tử giải thức. Chương 3 đi sâu vào tính ổn định cấu trúc của phương trình tiến hóa không địa phương nửa tuyến tính, đặc biệt là các phương trình tích phân Volterra tổng quát. Các kết quả quan trọng về sự tồn tại nghiệm và sự phụ thuộc liên tục Lipschitz theo dữ kiện được thiết lập trên không gian Banach, với những hạn chế nhất định khi làm việc trong không gian Hilbert. Cuối cùng, Chương 4 nghiên cứu tính chính quy của nghiệm cho lớp phương trình tiến hóa không địa phương chứa toán tử quạt, đạt được các điều kiện về tính giải được và tính chính quy liên tục Hölder của nghiệm, từ đó xác định khi nào nghiệm yếu trở thành nghiệm mạnh. Các phương pháp tiếp cận chủ yếu dựa trên giải tích hàm phi tuyến, lý thuyết giải thức và hàm đặc biệt. Kết quả của luận án không chỉ làm phong phú thêm lý thuyết phương trình vi phân không địa phương mà còn có tiềm năng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật.