Chương 1
NỘI DUNG
1.1 MỞ ĐẦU
Trong hơn nửa thế kỷ qua, lý thuyết toán tử tuyến tính và phi tuyến trên
các không gian hàm đã trở thành một nhánh trung tâm của giải tích điều hoà
và giải tích phi tuyến. Một trong những hướng nghiên cứu tiêu biểu là khảo
sát tính bị chặn và tính compact của các toán tử trên những không gian hàm
tổng quát, từ đó phát triển các công cụ ứng dụng trong lý thuyết phương
trình đạo hàm riêng (PTĐHR), giải tích điều hoà và hình học giải tích.
Sự hình thành và phát triển của các lớp không gian hàm mới đã đặt nền
móng cho giải tích điều hoà hiện đại. Năm 1938, C. Morrey giới thiệu không
gian Morrey
Mq
p
, một công cụ thiết yếu trong nghiên cứu tính chính quy của
nghiệm PTĐHR. Đến năm 1950, G. Lorentz đề xuất không gian Lorentz
Lp,r
như một sự mở rộng tự nhiên của không gian Lebesgue
Lp
, mang lại công cụ
tinh tế hơn trong việc khảo sát tính bị chặn của toán tử. Sự kết hợp của hai ý
tưởng này đã dẫn đến sự ra đời của không gian Morrey–Lorentz, một không
gian tổng quát hơn, cho phép nghiên cứu sâu sắc hơn tính trơn và tính ổn
định của nghiệm. Song song đó, các không gian khối, vốn là đối ngẫu của
không gian Morrey, cũng được nhiều tác giả quan tâm (xem [41, 45,49]).
Trong một hướng phát triển khác, Calderón và Zygmund vào thập niên
1950 đã xây dựng lý thuyết toán tử kỳ dị, ngày nay được gọi là toán tử
Calderón–Zygmund. Đây là một lớp toán tử tích phân có nhân suy biến
nhưng vẫn duy trì nhiều tính chất cơ bản của toán tử tích phân chuẩn tắc,
1
qua đó mở đường cho việc giải quyết hàng loạt bài toán khó trong PTĐHR.
Những thập niên gần đây, lý thuyết này tiếp tục được mở rộng sang các toán
tử Calderón–Zygmund loại
θ
, nhằm thích ứng với sự phức tạp ngày càng lớn
của không gian Morrey–Lorentz và các không gian hàm tổng quát khác.
Đáng chú ý, trong thập niên 1970 và 1980, C. Fefferman và E. M. Stein đã
xây dựng lý thuyết không gian Hardy
Hp
, mở rộng khái niệm
Lp
sang trường
hợp
p≤
1. Một kết quả kinh điển của họ là (
H1
)
′
=
BMO
, trong đó không
gian
BMO
giữ vai trò trung tâm trong giải tích điều hoà hiện đại. Cùng với
đó, các toán tử Hardy, toán tử cực đại Hardy–Littlewood và toán tử cực đại
chặt đã sớm khẳng định vị trí quan trọng trong việc mô tả cấu trúc không
gian hàm và khảo sát tính bị chặn của nhiều lớp toán tử. Đặc biệt, toán tử
Hardy thường được nghiên cứu song song với toán tử Calderón–Zygmund
và các giao hoán tử liên quan, qua đó hình thành nên một hệ thống lý thuyết
thống nhất để phân tích các tính chất đối ngẫu và các ước lượng chuẩn trên
các không gian hàm tổng quát.
Tất cả những kết quả kinh điển nói trên cho thấy sự gắn kết chặt chẽ giữa
sự phát triển của các lớp không gian hàm và lý thuyết toán tử trong giải tích
hiện đại. Việc tiếp tục nghiên cứu tính bị chặn, tính compact cũng như tác
động của các toán tử Calderón–Zygmund và các giao hoán tử của chúng trên
những không gian này không chỉ có giá trị lý thuyết, mà còn mở ra nhiều
ứng dụng trong PTĐHR, giải tích phi tuyến và hình học giải tích. Do đó,
việc mở rộng và đào sâu các kết quả trong bối cảnh các không gian hàm
tổng quát như Morrey–Lorentz, không gian khối và các biến thể của chúng
vẫn là một hướng nghiên cứu mang tính thời sự và cần thiết. Như đã thấy, lý
thuyết Calderón–Zygmund, không gian Hardy, Lorentz, Morrey, Campanato
và các không gian khối đã phát triển mạnh mẽ trong hơn nửa thế kỷ qua.
Tuy nhiên, vẫn còn nhiều câu hỏi mở cho việc nghiên cứu tính bị chặn và
tính compact của toán tử và giao hoán tử có dạng Calderón–Zygmund trên
các không gian hàm này. Cụ thể:
•
Tính bị chặn của các toán tử Calderón–Zygmund loại
θ
trên các không
gian Morrey–Lorentz tổng quát Mp,r
φ(Rn)chưa được khảo sát đầy đủ.
•
Vai trò của các giao hoán tử [
b,T
]với
T
là toán tử Calderón–Zygmund
trên các lớp không gian hàm trung tâm như
HAp,r
φ
(
Rn
),
˙
Mp,r
φ
(
Rn
), và
2
˙
CMOp,r
φ(Rn)vẫn cần được làm sáng tỏ.
•
Mối liên hệ giữa tính bị chặn của toán tử Hardy, toán tử cực đại, và các
giao hoán tử với cấu trúc hình học của các không gian hàm nêu trên còn
nhiều khía cạnh mở.
Động lực nghiên cứu của luận án này đến từ nhu cầu mở rộng và hệ thống
hóa các kết quả đã biết, đồng thời phát triển công cụ để giải quyết các bài
toán ứng dụng trong PTĐHR. Dưới đây chúng tôi mô tả sơ lược về luận án
được tổ chức thành ba chương chính như sau:
•
Chương 1. Giao hoán tử Calderón–Zygmund trên các không gian
Morrey-Lorentz tổng quát và các không gian khối tổng quát.
•
Chương 2. Giao hoán tử Calderón–Zygmund của loại
θ
trên không gian
Morrey–Lorentz tổng quát Mp,r
φ(Rn).
•
Chương 3. Toán tử Hardy và giao hoán tử tương ứng trên các không
gian hàm trung tâm HAp,r
φ(Rn),˙
Mp,r
φ(Rn), và ˙
CMOp,r
φ(Rn).
Các kết quả thu được trong luận án đã đóng góp một phần vào sự phát
triển của giải tích điều hoà và lý thuyết không gian hàm. Cụ thể, luận án
góp phần làm phong phú thêm lý thuyết toán tử Hardy, thế vị Riesz, phương
trình đạo hàm riêng và các nghiên cứu liên quan đến cấu trúc không gian
hàm.
Ngoài giá trị học thuật, quá trình nghiên cứu còn có thể gợi mở những
công cụ và phương pháp mới, tiềm năng ứng dụng trong các hướng nghiên
cứu khác. Các vấn đề nảy sinh từ đề tài cũng có thể trở thành nền tảng để
các học viên cao học và nghiên cứu sinh tiếp tục phát triển, mở rộng và đào
sâu hơn các bài toán liên quan.
Trong toàn bộ mục này, ta giả sử
µ
(
X
)=
∞
và
µ
(
{x0}
)=0với mọi
x0∈X
.
Hơn nữa, ta cũng giả sử hàm
φ
(
t
) : (0
,∞
)
→
(0
,∞
)thoả mãn các điều kiện
sau:
i)φ(t)không tăng,
ii)µ(B(x,t))φp(t)không giảm, với bất kì quả cầu B(x,t)⊂X,
iii)φ(2t)≤Dφ(t),∀t>0,
(1.1.1)
3
với hằng số 0<D<1.
1.1.1
Giao hoán tử Calderón–Zygmund trên các không gian Morrey-Lorentz tổng
quát và các không gian khối tổng quát
Lý thuyết các toán tử Calderón–Zygmund là một phần trung tâm của giải
tích điều hoà hiện đại. Nhiều ứng dụng đối với các phương trình đạo hàm
riêng là một trong những động lực để nghiên cứu các toán tử Calderón–
Zygmund trên những không gian vượt ra ngoài các không gian Lebesgue
Lp
của không gian Euclid. Hướng nghiên cứu này đã được khảo sát rộng
rãi và dẫn đến một lý thuyết thành công về các không gian hàm, bao gồm
không gian Hardy, không gian BMO, không gian Campanato, và không gian
Morrey–Lorentz trên không gian Euclid
Rn
, hoặc tổng quát hơn, trên không
gian dạng thuần nhất X(xem [10]) trong khoảng năm mươi năm gần đây.
Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu một số khía cạnh của các toán tử
loại Calderón–Zygmund trên nhiều không gian hàm khác nhau. Mục tiêu
của chương này gồm ba phần chính:
(i)
Trước hết, chúng tôi nghiên cứu không gian khối tổng quát B
p,r
φ
(
X
)trên
không gian dạng thuần nhất, trong đó giả sử
p∈
(1
,∞
),
r∈
[1
,∞
], và
hàm
φ
(
t
)thoả mãn
(1.1.1)
. Khi đó, chúng tôi chứng minh rằng B
p′,r′
φ
(
X
)
là tiền đối ngẫu của không gian Morrey–Lorentz tổng quát Mp,r
φ(X).
(ii)
Tiếp theo, chúng tôi khảo sát tính bị chặn M
p,r
φ
(tương ứng, tính bị chặn
B
p′,r′
φ
) của các toán tử loại Calderón–Zygmund, và chứng minh một
phân tích yếu kiểu Hardy theo giao hoán tử của các toán tử Calderón–
Zygmund trong B
p′,r′
φ
(
X
)và M
p,r
φ
(
X
). Hệ quả là, chúng tôi thu được
một đặc trưng của các hàm thuộc
BMO
(
X
)thông qua tính bị chặn trên
M
p,r
φ
(
X
)(tương ứng, B
p′,r′
φ
(
X
)) của các giao hoán tử loại Calderón–
Zygmund.
(iii)
Cuối cùng, chúng tôi chứng minh một đặc trưng về tính compact của
các giao hoán tử loại Calderón–Zygmund trong Mp,r
φ(X).
Các kết quả trong mục này của luận án đã được công bố trong [49].
4
1.1.2
Giao hoán tử Calderón–Zygmund của loại
θ
trên không gian Morrey–Lorentz
tổng quát Mp,r
φ(Rn)
Trong mục này, chúng tôi xem xét các giao hoán tử Calderón-Zygmund
[
b,T
]loại
θ
trên các không gian Morrey-Lorentz tổng quát
Mp,r
φ
(
Rn
). Trong
bối cảnh này, chúng tôi đầu tiên thiết lập các ước lượng điểm cho toán tử
cực đại Hardy-Littlewood và toán tử cực đại chặt tác động lên các toán tử
Calderón-Zygmund loại
θ
và các giao hoán tử tương ứng bằng cách sử dụng
bất đẳng thức Kolmogorov, bất đẳng thức H
¨
older, các điều kiện của nhân
chuẩn trong định nghĩa các toán tử Calderón-Zygmund loại
θ
và hệ quả nổi
tiếng của bất đẳng thức John-Nirenberg. Nhờ các ước lượng điểm quan trọng
này, chúng tôi sau đó chứng minh rằng các toán tử Calderón-Zygmund loại
θ
bị chặn trên các không gian Morrey-Lorentz tổng quát
Mp,r
φ
(
Rn
)(xem Định
lý
(1.9)
) bằng cách điều chỉnh các ý tưởng và kỹ thuật liên quan đến các toán
tử cực đại từ các công trình của Thai và các cộng sự trong [48], Carro và các
cộng sự trong [6], và Liu và các cộng sự trong [35]. Hơn nữa, nhờ vào ước
lượng điểm cho toán tử cực đại chặt tác động lên các giao hoán tử [
b,T
]loại
θ
và tính bị chặn của
T
trên
Mp,r
φ
(
Rn
), chúng tôi suy ra rằng các giao hoán
tử [b,T]loại θcũng bị chặn trên các không gian này.
Vào năm 1985, Yabuta trong [53] là người đầu tiên giới thiệu các toán
tử Calderón–Zygmund loại
θ
và thu được tính bị chặn của chúng trên các
không gian Lebesgue. Sau đó, Liu và các cộng sự trong [35] đã chỉ ra rằng
nếu
b∈BMO
và
T
là một toán tử Calderón–Zygmund loại
θ
, thì giao hoán
tử [
b,T
]bị chặn từ
H1
(
Rn
)vào
L1
(
Rn
)yếu với 1
<p<∞
. Gần đây hơn,
Thái và các cộng sự trong [48] đã chứng minh tính bị chặn của các toán tử
Calderón–Zygmund loại
θ
và các giao hoán tử của chúng trên các không
gian Lorentz có trọng tổng quát
Lp,q
w
(
Rn
). Lấy cảm hứng từ các công trình
trên, trong mục này chúng tôi hướng tới nghiên cứu tính bị chặn của các toán
tử Calderón–Zygmund loại
θ
và các giao hoán tử của chúng trên không gian
Morrey–Lorentz tổng quát
Mp,r
φ
(
Rn
). Các kết quả trong mục này của luận
án đã được công bố trong [42].
5