Luận án Tiến sĩ: Sự tồn tại và một số tính chất của nghiệm đối với bài toán elliptic suy biến

Phương trình đạo hàm riêng (PDE) đóng vai trò nền tảng trong toán học hiện đại, được ứng dụng rộng rãi để mô hình hóa các hiện tượng vật lý, hóa học và sinh học. Trong số đó, phương trình elliptic đặc biệt quan trọng, mô tả các trạng thái cân bằng và quá trình không phụ thuộc thời gian. Tuy nhiên, các bài toán elliptic suy biến đặt ra những thách thức đáng kể, đòi hỏi các công cụ giải tích chuyên sâu. Nghiên cứu này nhằm mở rộng hiểu biết về các lớp phương trình này, đặc biệt là việc tìm hiểu sự tồn tại, không tồn tại và tính đa nghiệm yếu của chúng. Luận án này tập trung vào việc làm rõ các tính chất của nghiệm đối với cả phương trình elliptic suy biến đơn và hệ phương trình trong các miền khác nhau, góp phần hoàn thiện lý thuyết hiện có.

Các nhà nghiên cứu, giảng viên và sinh viên sau đại học chuyên ngành Giải tích toán học, Phương trình đạo hàm riêng và Giải tích hàm phi tuyến.

Luận án tiến sĩ này tập trung nghiên cứu chuyên sâu về các bài toán elliptic suy biến, bao gồm cả phương trình đơn và hệ phương trình, trong các miền bị chặn và toàn không gian. Nội dung chính bao quát việc xác định sự tồn tại nghiệm yếu, điều kiện không tồn tại nghiệm yếu không tầm thường, và tính đa nghiệm của các nghiệm này, cùng với việc khảo sát các tính chất của nghiệm đối với các lớp phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính và hệ phương trình tương ứng. Về phương pháp luận, nghiên cứu vận dụng các công cụ mạnh mẽ từ giải tích hàm phi tuyến và lý thuyết không gian Sobolev có trọng. Cụ thể, các định lý điểm tới hạn như Định lý qua núi và Định lý biến dạng, cùng với các định lý nhúng kiểu Sobolev, là nền tảng để thiết lập sự tồn tại và tính đa nghiệm. Đối với việc chứng minh sự không tồn tại nghiệm, luận án phát triển và sử dụng các đồng nhất thức kiểu Pohozaev, khai thác cấu trúc hình học của miền nghiên cứu để đưa ra các kết luận cụ thể. Các kết quả đạt được có ý nghĩa khoa học sâu sắc, góp phần hoàn thiện lý thuyết về lớp phương trình đạo hàm riêng quan trọng này. Những hiểu biết mới về hành vi của các nghiệm yếu trong bối cảnh suy biến này rất quan trọng cho các ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật, nơi các mô hình thường gặp phải tính chất suy biến. Nghiên cứu không chỉ mở rộng kiến thức lý thuyết về toán tử Grushin và các toán tử tương tự mà còn đặt nền móng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo trong lĩnh vực giải tích toán học.