BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————–o0o———————
NGUYỄN NGỌC VIÊN
NGHIỆM TUẦN HOÀN TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN TIẾN HÓA
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 9.46.01.03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI-2025
Luận án được hoàn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Tập thể hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng
Trường Đại học Giáo Dục - Đại học Quốc Gia Hà Nội
Phản biện 1: ...
Trường Đại học...
Phản biện 2: ...
Trường Đại học...
Phản biện 3:...
Trường Đại học...
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội
Vào hồi ... giờ ... ngày .... tháng .... năm 2025
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU
A. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính
có hệ số hằng số, phần thực của các số riêng (trị riêng) của ma trận hệ số đặc trưng cho độ
tăng của nghiệm khi thời gian ra vô hạn. Mặt khác lý thuyết phổ của hàm số cho biết phần
ảo của các trị riêng của ma trận hằng số liên quan trực tiếp đến các tần số của các nghiệm
giới nội, từ đó xác định được khi nào nghiệm giới nội là tuần hoàn và các tần số của nó.
Tiếp tục phương hướng này trong Giải Tích Điều Hòa có một hướng nghiên cứu lý thuyết
phổ của hàm số bị chặn và liên hệ của chúng với tính hầu tuần hoàn của hàm số. Các nghiên
cứu càng trở nên phức tạp khi hệ phương trình xác định trong không gian vô hạn chiều và
toán tử hệ số không còn giới nội. Các kết quả đạt được trong lĩnh vực này đã được trình
bày trong các chuyên khảo của các tác giả W. Arendt, C.J.K Batty; Y. Hino, T. Naito, N.V.
Minh.
Những kết quả gần đây theo hướng này liên quan đến các phương trình phức tạp hơn về
mặt phương trình vi phân. Chẳng hạn khi hệ số phụ thuộc vào thời gian thì việc áp dụng các
phép biến đổi tích phân thông thường để xác định phổ của nghiệm không còn tác dụng nữa,
hoặc trở nên rất phức tạp. Từ đó, để ứng dụng lý thuyết phổ hàm số cho nghiên cứu một số
tính chất định tính của phương trình tiến hoá, một số tác giả Nguyễn Văn Minh, Vũ Trọng
Lưỡng và các cộng sự đã phát triển một số công cụ mới như các biến đổi của các hàm bị
chặn trên nửa trục số để ứng dụng cho trường hợp phương trình ô-tô-nôm. Trong trường hợp
không ô-tô-nôm (cụ thể trường hợp tuần hoàn), Nguyễn Văn Minh, Gaston N’Guerekata,
Stefan Siegmund đạt được một số kết quả quan trọng về tính hầu tuần hoàn.
Rất gần đây, Minh và Lưỡng cùng các cộng sự đã phát triển mở rộng dạng tương tự
với Định lý Massera cho nghiệm tiệm cận tuần hoàn cho phương trình tiến hóa x′(t) =
A(t)x(t) + f(t), t ≥0 (∗∗),trong đó họ các toán tử tuyến tính A(t)sinh ra quá trình tiến
hóa 1 chu kỳ (U(t, s))t≥s≥0trong các không gian Bannach Xvà ftiệm cận chu kỳ 1 theo
nghĩa là lim
t→∞ ,(f(t+ 1) −f(t)) = 0.Đặc biệt, nếu 1là một điểm cô lập của σ(U(1,0)) trên
đường tròn đơn vị Γ,thì (**) có nghiệm tiệm cận 1 chu kỳ nếu và chỉ nếu nó có một nghiệm
tiệm cận bị chặn liên tục đều với giá compact tương đối. Các kết quả của tác giả dựa trên lý
thuyết phổ của các hàm số trên các nửa đường thẳng thực và lý thuyết nửa nhóm liên kết
với phương trình. Các kết quả này là mới ngay cả trong trường hợp có chiều hữu hạn, có
nhiều ứng dụng cho các mô hình khác, vì vậy chúng tôi sẽ phát triển các kết quả của Minh
và các cộng sự cho lớp phương trình Volterra, cả phương trình vi phân, tích phân và phân
số. Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm của ba lớp
phương trình tiến hóa cụ thể.
Nghiên cứu tính tuần hoàn của các nghiệm là một trong những vấn đề lớn đối với lý thuyết
1
định tính về các phương trình tiến hóa. Sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm tuần
hoàn đã được chứng minh cho một số lớp quan trọng của các phương trình tiến hóa được
xác định trù mật bằng cách sử dụng các phương pháp tiếp cận cổ điển như phương pháp
điểm cố định, việc sử dụng tính bị chặn của nghiệm và tính compact của ánh xạ Poincaré,
lý thuyết phổ của các hàm số, cách tiếp cận ergodic. Đôi khi chúng ta cần xử lý các toán tử
xác định không trù mật. Ví dụ, khi chúng ta xem xét phương trình truyền nhiệt một chiều
với các điều kiện Dirichlet trên [0, π]và có A=∂2
∂x2không trù mật trong C([0, π],R), với
chuẩn sup bởi
D(A) = u∈C2([0, π],R) : u(0) = u(π)=0
Nhiều kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất của các nghiệm tuần hoàn của các phương
trình tiến hóa xác định không trù mật đã thu được bởi các tác giả như Guhring, Cuevas,
Prato. Đặc biệt, K. Ezzinbi and M. Jazar đã đưa ra một tiêu chuẩn mới liên quan đến cách
tiếp cận của Massera, tổng quát hơn so với phép nhị phân mũ đã biết đối với sự tồn tại của
các nghiệm tuần hoàn và hầu tuần hoàn cho một số phương trình tiến hóa trong không gian
Banach có dạng
d
dtx(t)=(A+B(t))x(t) + f(t),for t≥0
x(0) = x0
(1)
ở đó A:D(A)⊂X→Xxác định không trù mật trong không gian Banach Xmà thỏa mãn
điều kiện Hille - Yosida:
(M1): tồn tại M0≥1and ω0∈Rsao cho (ω0,+∞)⊂ρ(A)và
|R(ξ, A)n| ≤ M0
(ξ−ω0)n,với n∈Nvà ξ > ω0,
với ρ(A)là tập giải của Avà R(ξ, A)=(ξ−A)−1; hàm f:R+→Xbị chặn, liên tục, tuần
hoàn chu kỳ 11hoặc hầu tuần hoàn (fkhông đồng nhất không); với mọi t≥0, B(t)là một
họ toán tử tuyến tính bị chặn và đo được trong L(D(A),X).
Gần đây, Lưỡng và cộng sự đã nghiên cứu trường hợp xác định trù mật của phương trình
(1) khi A(t) := A+B(t)sinh ra một quá trình tiến hóa liên tục mạnh chu kỳ 1 (U(t, s))t≥s≥0
xác định trên cả không gian Xvà flà tiệm cận tuần hoàn chu kỳ 1 theo nghĩa fbị chặn,
liên tục và lim
t→∞(f(t+ 1) −f(t)) = 0.
Chúng tôi nhắc lại một hàm x(·)là một nghiệm tiệm cận của phương trình (1) nếu có
một hàm ϵ(·)sao cho lim
t→∞ ϵ(t)=0và
x′(t) = (A+B(t))x(t) + f(t) + ϵ(t),∀t≥0.
Bằng cách sử dụng lý thuyết phổ của các hàm số trên nửa đường thẳng và các nửa nhóm
tiến hóa trong các không gian hàm phổ khác nhau. Lưỡng và cộng sự đã giới thiệu điều kiện
mới cho sự tồn tại duy nhất nghiệm bị chặn là tiệm cận tuần hoàn chu kỳ 1 trên nửa đường
thẳng. Chính xác hơn, họ đã chỉ ra rằng một hàm bị chặn và liên tục g:R→Xlà tiệm cận
2
tuần hoàn chu kỳ 1 nếu và chỉ nếu phổ tròn của nó σ(g)(đã được giới thiệu bởi Minh, năm
2009) thỏa mãn σ(g)⊂ {1}. Do đó, sự tồn tại nghiệm tiệm cận tuần hoàn chu kỳ 1 rút gọn là
nghiệm x(·)sao cho σ(x(·)) ⊂ {1}. Nghiên cứu nghiệm tiệm cận x(·)với σ(x(·)) ⊂ {1}được
giải quyết bởi bằng cách sử dụng nửa nhóm tiến hóa liên kết với các phương trình thuần
nhất x′(t) = A(t)x(t)trong các không gian hàm thích hợp. Trong trường hợp toán tử Axác
định không trù mật, phần tuyến tính A+B(t)không sinh ra một quá trình tiến hóa liên
tục mạnh trên toàn bộ không gian X, vì thế các kết quả đã có của Minh và Lưỡng không áp
dụng ngay được. Hơn nữa, phần không thuần nhất f(·)nhận giá trị trong cả không gian X
trong khi các giá trị của nghiệm nhẹ x(·)chính xác trong X0=D(A). Để vượt qua những
khó khăn này, trong mô hình bài toán này, trước tiên chúng tôi sử dụng lý thuyết không gian
ngoại suy để biểu diến nghiệm nhẹ của phương trình (1) theo thuật ngữ của một quá trình
tiến hóa (UB(t, s))t≥s≥0xác định trên không gian con đóng X0. Sao đó, bằng cách sử dụng
tính tuần hoàn và tính bị chặn của (UB(t, s)) kết hợp với phổ tròn của các hàm số, chúng
tôi thiết lập các điều kiện về phổ tròn của quá trình tiến hóa và ngoại lực để nghiệm bị chặn
của (1) là tuần hoàn tiệm cận phù hợp với trường hợp phần tuyến tính, không ô-tô-nôm,
xác định trù mật. Kết quả chính của bài toán này này liên quan đến tính tuần hoàn tiệm
cận của các nghiệm đối với các phương trình tiến hóa không ôtônôm, xác định không trù
mật của phương trình (1).
Trong mô hình thứ hai, chúng tôi quan tâm đến dáng điệu tiệm cận của các nghiệm cho
phương trình vi phân phân số tuyến tính có dạng
Dα
Cu(t) = Au(t) + f(t), u(0) = x, 0< α ≤1,(2)
ở đó Dα
Cu(t)là đạo hàm của hàm utheo nghia Caputo, Alà một toán tử tuyến tính trong
không gian Banach Xmà không bị chăn sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh (T(t))t≥0trên
không gian Banach Xvà fbị chặn, tuần hoàn tiệm cận chu kỳ 1.
Dáng điệu tiệm cận của các nghiệm phương trình vi phân là một chủ đề trung tâm trong
lý thuyết định tính về phương trình vi phân và hệ thống động lực, một chủ đề phong phú
về kết quả và ý tưởng. Dáng điệu đầu tiên của các nghiệm mà các nhà toán học quan tâm
vì tính ứng dụng của nó là tính tuần hoàn của các nghiệm. Có nhiều kết quả kinh điển theo
hướng này là mô hình cho các nghiên cứu sau này. Trong số nhiều công trình như vậy, chúng
tôi giới thiệu cho người đọc các kết quả rất nổi tiếng của Massera và Katznelson-Tsafriri do
các kỹ thuật nghiên cứu rất khác nhau của họ. Những kết quả này gần đây đã được mở rộng
sang các lớp phương trình rộng hơn bởi Minh, Lưỡng và các cộng sự. Thật tự nhiên khi đặt
câu hỏi liệu các khái niệm và kết quả trong các tác phẩm gần đây này có thể được mở rộng
cho một lớp lớn hơn của Eq.(2) hay không. Trong chương 3, chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết
câu hỏi này.
Mục đích của chúng tôi là trình bày các điều kiện mà theo đó một số (hoặc tất cả) nghiệm
xcủa phương trình (2) bị chặn theo đa thức và tiệm cận tuần hoàn chu kỳ 1, nghĩa là chúng
tôi sẽ chứng minh một phép tương tự của Định lý Katznelson-Tzafiri và Định lý Massera cho
loại nghiệm này của phương trình (2). Phương pháp của chúng tôi là sử dụng lý thuyết phổ
3
