BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Hoàng Tùng
TÍCH CHẬP SUY RỘNG RỜI RẠC
LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP BIẾN ĐỔI h-LAPLACE
TRÊN THANG THỜI GIAN
Ngành: Toán học
Mã số: 9460101
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2025
Công trình được hoàn thành tại:
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo
Phản biện 1:
Phản biện 2:
Phản biện 3:
Luận án được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến
sĩ cấp Đại học Bách Khoa Hà Nội họp tại Đại học Bách
khoa Hà Nội
Vào hồi ………..giờ, ngày ..…. tháng ..…. năm …………
Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:
1. Thư viện Tạ Quang Bửu - Đại học Bách khoa Hà Nội
2. Thư viện Quốc gia Việt Nam
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do
chọn đề tài
Phép biến đổi tích phân
Phép biến đổi Fourier cho lớp hàm khả tích trên Rcó dạng
(F f)(x) = F[f](x) = 1
√2π
∞
Z
−∞
e−ixyf(y)dy, x ∈R, f ∈L1(R).(1)
Trong trường hợp f∈L1(R)là hàm chẵn hoặc hàm lẻ, ta nhận được phép
biến đổi Fourier cosine và Fourier sine có dạng
(Fcf)(y) = Fc[f](y) = r2
π
∞
Z
0
f(x) cos(xy)dx, y ∈R+, f ∈L1(R+),(2)
(Fsf)(y) = Fs[f](y) = r2
π
∞
Z
0
f(x) sin(xy)dx, y ∈R+, f ∈L1(R+).(3)
Giả sử flà một hàm số xác định trên [0,∞), phép biến đổi Laplace của hàm
fđược xác định như sau
(Lf)(x) =
∞
Z
0
e−xyf(y)dy, (4)
tại những giá trị phức xsao cho tích phân bên phải của (4) hội tụ.
Xét thang thời gian T0
h=hN0.
Với một hàm số x:T0
h→C,phép biến đổi h-Laplace của xlà một hàm
số được cho bởi
L{x}(u) = h
1 + hu
∞
X
n=0
x(nh)
(1 + hu)n, u ∈Cvà u=−1
h,(5)
1
tại các giá trị phức u=−1
hsao cho chuỗi ∞
P
n=0
x(nh)
(1 + hu)nhội tụ.
Với hàm số x∈ℓ1(T0
h), phép biến đổi h-Fourier cosine của xlà một hàm số
xác định trên Rđược cho bởi
Fc{x}(u) = hx(0) + 2h∞
X
n=1
x(nh) cos(unh), u ∈R.(6)
Với hàm số y∈ℓ0
1(T0
h), phép biến đổi h-Fourier sine của ylà một hàm số
xác định trên Rđược cho bởi
Fs{y}(u) = 2h∞
X
n=1
y(nh) sin(unh), u ∈R.(7)
Tích chập và tích chập suy rộng
Giả sử fvà glà hai hàm xác định trên [0,∞).Tích chập của hai hàm f
và gđối với phép biến đổi Laplace có dạng
f∗
Lg(x) =
x
Z
0
f(x−y)g(y)dy, (8)
tại những điểm x∈[0,∞)mà tích phân bên phải của (8) hội tụ.
Năm 1951, I.N. Sneddon đã đưa ra tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier
cosine trong đó đẳng thức nhân tử hóa liên quan đến cả hai phép biến đổi
Fourier sine và Fourier cosine. Tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine
có dạng như sau
(f∗
FsFc
g)(x) = 1
√2π
∞
Z
0
f(u)hg|x−u|−g(x+u)idu, x > 0.(9)
Giả sử f, g ∈L1(R+). Khi đó f∗
FsFc
g∈L1(R+)và ta có đẳng thức nhân
tử hóa sau
Fsf∗
FsFc
g(y)=(Fsf)(y)(Fcg)(y), y > 0.(10)
Năm 1998, V.A. Kakichev và N.X. Thảo đã đưa ra khái niệm tích chập
suy rộng với hàm trọng ξđối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ K1, K2, K3
2
sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn
K1fξ
∗g(t) = ξ(t)(K2f)(t)(K3g)(t),(11)
đồng thời các tác giả đã cho điều kiện cần để xác định tích chập suy rộng với
hàm trọng ξđối với ba phép biến đổi tích phân bất kỳ K1, K2, K3khi ta biết
một số điều kiện cụ thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng.
Bất đẳng thức tích chập, tích chập suy rộng
Định lý Young có dạng sau
ZRnu∗
Fv(x)w(x)dx≤ ∥u∥p∥v∥q∥w∥r,(12)
với mọi u∈Lp(Rn), v ∈Lq(Rn), w ∈Lr(Rn), p > 1, q > 1, r > 1, p−1+
q−1+r−1= 2.
Giả sử p > 1, q > 1, s > 1thỏa mãn p−1+q−1= 1 + s−1.Từ định lý
Young ta có hệ quả là bất đẳng thức Young như sau:
Nếu u∈Lp(Rn), v ∈Lq(Rn)thì u∗
Fv∈Ls(Rn)và
u∗
Fv
s≤ ∥u∥p∥v∥q.(13)
Ta không thể sử dụng bất đẳng thức Young để đánh giá cho trường hợp
khi p=q=s > 1.Để khắc phục hạn chế này, vào năm 2000, S. Saitoh đã
xây dựng bất đẳng thức Saitoh như sau:
Định lý 1. Giả sử p > 1và các hàm ρ1, ρ2∈L1(R)liên tục và ρj(x)=
0,∀x∈R, j = 1,2.Khi đó ta có bất đẳng thức đối với tích chập Fourier sau
đây đúng với mọi Fj∈Lp(R,|ρj|), j = 1,2,
(F1ρ1)∗
F(F2ρ2)|ρ1| ∗
F|ρ2|1
p−1
p≤ ∥F1∥Lp(R,|ρ1|)∥F2∥Lp(R,|ρ2|).(14)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc F1≡0, hoặc F2≡0hoặc tồn tại
c1, c2∈R\ {0}, α ∈Rsao cho
Fj(x) = cjeαx,∀x∈R, eαx ∈Lp(R,|ρj|), j = 1,2.
Ở đây
∥F∥Lp(R,ϕ)=Z∞
−∞ |F(x)|pϕ(x)dx1
p
.
3