Luận án Tiến sĩ: Đa thức độc lập của đồ thị và một số vấn đề liên quan

Lý thuyết đồ thị đóng vai trò quan trọng trong toán học và khoa học máy tính, với nhiều bài toán cốt lõi thuộc lớp NP-khó, điển hình là việc xác định tập độc lập lớn nhất. Trong bối cảnh đó, nghiên cứu về đa thức độc lập của đồ thị mang ý nghĩa sâu sắc, không chỉ vì mối liên hệ với các đa thức đồ thị khác mà còn bởi khả năng đặc trưng hóa nhiều tính chất tổ hợp quan trọng. Luận án này tập trung nghiên cứu tính yếu vị của đa thức độc lập, một vấn đề trung tâm trong lý thuyết đồ thị tổ hợp. Mục tiêu chính là khảo sát tính chất này trên các lớp đồ thị đặc biệt như đồ thị phủ tốt và đồ thị corona, góp phần giải quyết các bài toán còn bỏ ngỏ và mở rộng hiểu biết về cấu trúc đại số của đồ thị.

Các nhà nghiên cứu, học giả và sinh viên sau đại học trong lĩnh vực lý thuyết đồ thị, toán học tổ hợp và đại số giao hoán.

Luận án trình bày một nghiên cứu toàn diện về đa thức độc lập của đồ thị và các vấn đề liên quan trong lĩnh vực đại số giao hoán tổ hợp. Chương 1 giới thiệu các bất biến tổ hợp cơ bản của đồ thị corona, bao gồm số độc lập, số ghép cặp và số ghép cặp cảm sinh, làm nền tảng cho các phân tích tiếp theo. Chương 2 đi sâu vào tính yếu vị của đa thức độc lập, tập trung vào các lớp đồ thị phủ tốt Wp và đồ thị clique corona G o Kp. Luận án đã thiết lập các điều kiện về chiều tăng và giảm của dãy hệ số, đồng thời mở rộng một số kết quả về tính yếu vị cho đồ thị G o 2K1 và giả thuyết về cây. Chương 3 khám phá mối liên hệ giữa đa thức độc lập và h-đa thức của phức độc lập của đồ thị corona, đặc biệt là G o H, và nghiên cứu các bất biến đại số quan trọng như tính Cohen-Macaulay, chỉ số chính quy và độ sâu của vành thương R/I(G). Phương pháp nghiên cứu chủ yếu dựa trên chứng minh toán học và lập luận lý thuyết, có sự hỗ trợ của phần mềm Macaulay2 cho các tính toán phức tạp. Các kết quả của luận án đóng góp vào việc giải quyết các bài toán cơ bản về đặc trưng hóa đa thức độc lập và các bất biến đại số của iđêan cạnh, có ý nghĩa quan trọng cho các nhà nghiên cứu trong lý thuyết đồ thị và đại số giao hoán.