2
Khi đó, ta có lớp phương trình dưới khuếch tán tổng quát
∂t,ku−∆u=f, (3)
trong đó
∂t,ku=d
dt Zt
0
k(t−τ)[u(τ)−u(0)]dτ,
gọi là đạo hàm không địa phương kiểu Caputo, hay đạo hàm có nhớ. J.
Pr¨uss đã hệ thống hóa lý thuyết các phương trình tiến hóa tích chập và
phát triển khung lý thuyết toán tử cho các phương trình vi phân với đạo
hàm tích chập tổng quát.
Trong vài thập kỉ gần đây, lớp phương trình (3) là chủ đề nghiên
cứu có tính thời sự, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan
tâm nghiên cứu, tiêu biểu là Đặng Đức Trọng, Trần Đình Kế, Nguyễn
Huy Tuấn, M.Yamamoto, V.Vergara, R.Zacher, Y.Liu, F.Yang,... Các
tính chất nghiệm thu được từ bài toán thuận được xem xét kĩ lưỡng ở
cả trường hợp phương trình thuần nhất, phương trình nửa tuyến tính và
phương trình chứa trễ bao gồm sự tồn tại duy nhất, tính ổn định, tính
chính quy, tính chất phân rã của nghiệm. Khác với bài toán thuận, bài
toán ngược thường là bài toán không đặt chỉnh khi dữ kiện không đủ
chính quy, tạo ra không ít khó khăn trong việc nghiên cứu. Hiện nay, các
phương pháp tiếp cận bài toán ngược cho phương trình dưới khuếch tán
có thể kể đến: phương pháp số và chính quy hoá; phương pháp sử dụng
nguyên lý cực đại và bất đẳng thức Carleman; phương pháp sử dụng lý
thuyết toán tử.
Bài toán xác định các tham số nguồn trong phương trình thu hút sự
quan tâm của các nhà toán học do các ứng dụng thực tế của nó. Nhiều
công trình lý thuyết đã được công bố đối với các phương trình đạo hàm
riêng cổ điển bởi Prilepko, Orlovsky và Vasin, Choulli và Yamamoto,
Tikhonov và Eidelman. Đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ,
bài toán xác định tham số nguồn đã được nghiên cứu cho cả phương
trình tuyến tính và nửa tuyến tính. Trong (3), giả sử ngoại lực fcó một
