BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
------ ------
BÙI THỊ HẢI YẾN
BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ NGUỒN
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
DƯỚI KHUẾCH TÁN NỬA TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành : Phương trình vi phân và tích phân
Mã số : 9.46.01.03
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2025
Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Đình Kế
PGS.TS. Nguyễn Thị Vân Anh
Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí
Viện Toán học, Viện Hàn lâm khoa học và công nghệ Việt Nam
Phản biện 2: PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn
Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội
Phản biện 3: PGS.TS. Lê Văn Hiện
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường
họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội,
hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Lớp phương trình khuếch tán cổ điển
∂tu−∆u=f(1)
được sử dụng để mô tả quá trình truyền nhiệt trong môi trường đồng
nhất và mô hình hoá nhiều bài toán của Vật lý, Hoá học và Sinh học.
Tuy nhiên, quá trình khuếch tán trong thực tế thường xảy ra trong môi
trường có hiệu ứng nhớ. Do vậy, mô hình cổ điển không phù hợp và mô
hình khuếch tán mới được đề xuất, mô tả bởi phương trình đạo hàm
riêng phân thứ
∂α
tu−∆u=f(2)
trong đó ∂α
tulà đạo hàm phân thứ Caputo bậc α∈(0,1). Mô hình mới
được chứng minh là mô tả chính xác hơn quá trình khuếch tán trong các
loại vật liệu xốp, các hiện tượng vật lý với hiệu ứng có nhớ và không gian
không đồng nhất. Trong những năm gần đây, nhiều bài toán khác nhau
gắn với lớp phương trình nói trên đã được nghiên cứu rộng rãi. Chú ý
rằng, đạo hàm phân thứ Caputo cho bởi công thức
∂α
tu=d
dt Zt
0
g1−α(t−τ)[u(τ)−u(0)]dτ, g1−α(t) = t−α
Γ(1 −α),
ở đó hàm nhân g1−α(t)có vai trò quyết định khi nghiên cứu tốc độ
khuếch tán. Để xem xét quá trình khuếch tán trong các loại vật liệu
khác nhau, người ta thay hàm nhân trong đạo hàm Caputo bởi một
hàm khả tích địa phương tổng quát k(t)thoả mãn điều kiện
(PC) Hàm k∈L1
loc(R+;R+)không âm và không tăng. Ngoài ra, tồn tại
hàm l∈L1
loc(R+;R+)sao cho k∗l= 1 trên (0; ∞).
1
2
Khi đó, ta có lớp phương trình dưới khuếch tán tổng quát
∂t,ku−∆u=f, (3)
trong đó
∂t,ku=d
dt Zt
0
k(t−τ)[u(τ)−u(0)]dτ,
gọi là đạo hàm không địa phương kiểu Caputo, hay đạo hàm có nhớ. J.
Pr¨uss đã hệ thống hóa lý thuyết các phương trình tiến hóa tích chập và
phát triển khung lý thuyết toán tử cho các phương trình vi phân với đạo
hàm tích chập tổng quát.
Trong vài thập kỉ gần đây, lớp phương trình (3) là chủ đề nghiên
cứu có tính thời sự, được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan
tâm nghiên cứu, tiêu biểu là Đặng Đức Trọng, Trần Đình Kế, Nguyễn
Huy Tuấn, M.Yamamoto, V.Vergara, R.Zacher, Y.Liu, F.Yang,... Các
tính chất nghiệm thu được từ bài toán thuận được xem xét kĩ lưỡng ở
cả trường hợp phương trình thuần nhất, phương trình nửa tuyến tính và
phương trình chứa trễ bao gồm sự tồn tại duy nhất, tính ổn định, tính
chính quy, tính chất phân rã của nghiệm. Khác với bài toán thuận, bài
toán ngược thường là bài toán không đặt chỉnh khi dữ kiện không đủ
chính quy, tạo ra không ít khó khăn trong việc nghiên cứu. Hiện nay, các
phương pháp tiếp cận bài toán ngược cho phương trình dưới khuếch tán
có thể kể đến: phương pháp số và chính quy hoá; phương pháp sử dụng
nguyên lý cực đại và bất đẳng thức Carleman; phương pháp sử dụng lý
thuyết toán tử.
Bài toán xác định các tham số nguồn trong phương trình thu hút sự
quan tâm của các nhà toán học do các ứng dụng thực tế của nó. Nhiều
công trình lý thuyết đã được công bố đối với các phương trình đạo hàm
riêng cổ điển bởi Prilepko, Orlovsky và Vasin, Choulli và Yamamoto,
Tikhonov và Eidelman. Đối với phương trình đạo hàm riêng phân thứ,
bài toán xác định tham số nguồn đã được nghiên cứu cho cả phương
trình tuyến tính và nửa tuyến tính. Trong (3), giả sử ngoại lực fcó một
3
trong các dạng sau:
a) f=g(x)h(t);
b) f=g(x)h(t) + f1(u);
c) f=g(x)h(u),
trong đó một trong số các thành phần của f(giả sử là g(x)) chưa được
xác định trong quá trình mô hình hoá. Khi đó, bài toán đặt ra là tìm
thành phần chưa biết của ngoại lực với một phép đo bổ sung, ví dụ như
u(T) = ξ(biết giá trị cuối) hoặc u(T) = 1
TRT
0u(s)ds =ξ(biết giá trị
trung bình theo thời gian). Trường hợp phương trình tuyến tính, tính
duy nhất và tính ổn định của nghiệm được nghiên cứu rộng rãi, chẳng
hạn Yamamoto, Z.Zhang, T. Wei. Trường hợp nửa tuyến tính, tính duy
nhất và tính ổn định của nghiệm cũng được nhiều nhà toán học quan
tâm. Các kết quả trên chủ yếu dựa trên các phương pháp số và chính
quy hoá, phương pháp nguyên lí cực đại và bất đẳng thức Carleman cho
phương trình phân thứ Caputo xét trên không gian có tính chính quy.
Bên cạnh đó, cách tiếp cận bằng lý thuyết toán tử của J. Pr¨uss cho lớp
phương trình phân thứ Caputo tổng quát gần đây được nhóm của PGS.
TS. Trần Đình Kế quan tâm nghiên cứu và đã thu được nhiều kết quả
sâu sắc về các tính chất định tính của nghiệm cho lớp phương trình (3)
ở cả bài toán thuận, bài toán giá trị cuối, bài toán xác định tham số
nguồn. Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, các vấn đề sự tồn tại
duy nhất nghiệm, tính ổn định, tính chính quy của nghiệm của bài toán
xác định tham số nguồn cho một số lớp phương trình dưới khuếch tán
nửa tuyến tính (bao gồm lớp phương trình trừu tượng, lớp phương trình
với nhiễu phi tuyến yếu (nhận giá trị trong thang Hilbert với số mũ âm),
lớp phương trình với ngoại lực có cường độ phi tuyến) chưa được giải
quyết. Đồng thời, chúng tôi thấy rằng việc giảm nhẹ các điều kiện kĩ
thuật trong các công trình trước đó (điều kiện về hàm nhân, các điều
kiện đánh giá ước lượng) cũng cần thiết. Đây cũng chính là động lực
thúc đẩy chúng tôi quan tâm đến đề tài này.
