Luận án Tiến sĩ: Bài toán xác định tham số nguồn đối với một số lớp phương trình dị thường khuếch tán nửa tuyến tính

Luận án này tập trung nghiên cứu bài toán xác định tham số nguồn cho một số lớp phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính. Đây là một loại phương trình đạo hàm riêng phân thứ, được sử dụng để mô hình hóa các quá trình khuếch tán có hiệu ứng nhớ, vốn không thể mô tả chính xác bằng các mô hình khuếch tán cổ điển. Bài toán xác định tham số nguồn là một bài toán ngược, thường gặp khó khăn do tính không đặt chỉnh.

Luận án này hướng đến các nhà nghiên cứu, giảng viên và sinh viên sau đại học trong lĩnh vực toán học ứng dụng, đặc biệt là những người quan tâm đến phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết phương trình dưới khuếch tán, bài toán ngược và giải tích hàm.

Luận án nghiên cứu chuyên sâu về bài toán xác định tham số nguồn cho một số lớp phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính, một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phân thứ. Mục tiêu chính là làm rõ các khía cạnh định tính của bài toán, bao gồm sự tồn tại, tính duy nhất, tính ổn định của nghiệm (đặc biệt với dữ kiện địa phương) và tính chính quy Hölder của nghiệm. Nghiên cứu được chia thành ba nội dung chính: Thứ nhất, xác định tham số nguồn cho phương trình dưới khuếch tán nửa tuyến tính trừu tượng trong không gian Hilbert, với điều kiện ban đầu địa phương và điều kiện cuối không địa phương, trong đó ngoại lực có dạng tách biến và nhiễu nhận giá trị trong không gian Hilbert chính quy. Thứ hai, nghiên cứu bài toán tương tự nhưng với nhiễu phi tuyến yếu, trong thang Hilbert và điều kiện ban đầu, cuối không địa phương, với phần phi tuyến có thể nhận giá trị trong thang Hilbert với số mũ âm. Cuối cùng, giải quyết bài toán xác định tham số nguồn khi ngoại lực không ở dạng tách biến mà cường độ của nó được điều khiển bởi chính trạng thái của hệ. Để đạt được các kết quả này, luận án sử dụng các công cụ mạnh mẽ từ giải tích hàm phi tuyến và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, bao gồm lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết giải thức, các định lý điểm bất động, phép biến đổi tích phân và các kỹ thuật ước lượng địa phương. Các kết quả thu được là mới, góp phần hoàn thiện lý thuyết bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng không địa phương.