Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------
TRẦN THỊ PHƯƠNG THẢO
BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP VỚI TOÁN TỬ
NHIỄU ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán ứng dụng
Mã số : 60 46 36
Thái Nguyên
.
1
Môc lôc
Môclôc............................... 1
Lêicm¬n ............................. 2
Lêinãi®Çu............................. 3
Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Ch¬ng 1. Mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n 6
1.1. TËplåivµhµmlåi ...................... 6
1.2. To¸ntö®¬n®iÖu ....................... 9
1.3. BÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ch¬ng 2. HiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp víi to¸n
tö nhiÔu ®¬n ®iÖu 20
2.1. Ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh . . . . . . . . . . . . . 26
KÕt luËn 38
Tµi liÖu tham kh¶o 39
.
2
lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ sù chØ b¶o
nghiªm kh¾c cña c« gi¸o T.S nguyÔn ThÞ Thu Thñy. T«i xin göi lêi c¶m ¬n
ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt ®Õn c«.
T«i còng xin kÝnh göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o
trong trêng §¹i häc Khoa Häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn còng nh c¸c thÇy
c« gi¸o tham gia gi¶ng d¹y khãa häc cao häc 2009 - 2011, nh÷ng ngêi ®·
®em hÕt t©m huyÕt vµ sù nhiÖt t×nh ®Ó gi¶ng d¹y vµ trang bÞ cho t«i nhiÒu
kiÕn thøc c¬ së.
T«i xin c¶m ¬n tËp thÓ gi¸o viªn trêng THPT Phó B×nh n¬i t«i c«ng t¸c
®· gióp ®ì, t¹o nhiÒu ®iÒu kiÖn thuËn lîi cho t«i trong suèt khãa häc còng
nh qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. Cuèi cïng t«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ th©n
thiÕt nh÷ng ngêi lu«n ®éng viªn, chia sÎ, gióp t«i trong suèt qu¸ tr×nh häc
tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n.
Ngêi viÕt luËn v¨n
TrÇn ThÞ Ph¬ng Th¶o
.
3
lêi nãi ®Çu
Cho
X
lµ mét kh«ng gian Banach thùc ph¶n x¹,
X∗
lµ kh«ng gian liªn
hîp cña
X
, c¶ hai cã chuÈn ®Òu ®îc kÝ hiÖu lµ
k.k
,
A:X→X∗
lµ to¸n tö
®¬n ®iÖu ®¬n trÞ vµ
ϕ:X→R∪{+∞}
lµ phiÕm hµm låi chÝnh thêng nöa
liªn tôc díi. Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp
(mixed variational
inequality)
®îc ph¸t biÓu nh sau (xem [4]): Cho
f∈X∗
, t×m
x0∈X
sao
cho
hA(x0)−f, x −x0i+ϕ(x)−ϕ(x0)≥0,∀x∈X,
(0.1)
ë ®©y
hx∗, xi
kÝ hiÖu gi¸ trÞ cña phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc
x∗∈X∗
t¹i
x∈X
.
Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p ®îc ®a ra ®Ó gi¶i bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn
hîp (0.1), ch¼ng h¹n Ph¬ng ph¸p ®iÓm gÇn kÒ [8], Ph¬ng ph¸p nguyªn
lý bµi to¸n phô [3] ... Bµi to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp khi to¸n tö
A
kh«ng cã tÝnh chÊt ®¬n ®iÖu ®Òu hoÆc ®¬n ®iÖu m¹nh vµ hµm
ϕ
kh«ng
låi m¹nh, nãi chung lµ mét bµi to¸n ®Æt kh«ng chØnh
(ill-posed)
theo nghÜa
nghiÖm cña nã kh«ng phô thuéc liªn tôc vµo d÷ kiÖn ban ®Çu. Do ®ã ngêi
ta ph¶i sö dông nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i æn ®Þnh sao cho khi sai sè cña d÷
kiÖn cµng nhá th× nghiÖm xÊp xØ t×m ®îc cµng gÇn víi nghiÖm ®óng cña
bµi to¸n ban ®Çu. Mét trong nh÷ng ph¬ng ph¸p ®îc sö dông réng r·i vµ
cã hiÖu qu¶ lµ ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh Tikhonov. B»ng ph¬ng ph¸p nµy
O. A. Liskovets [6] ®· x©y dùng nghiÖm hiÖu chØnh dùa trªn viÖc gi¶i bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n: t×m
xτ
α∈X
sao cho
hAh(xτ
α) + αUs(xτ
α−x∗)−fδ, x −xτ
αi
+ϕε(x)−ϕε(xτ
α)≥0,∀x∈X
(0.2)
ë ®©y
(Ah, fδ, ϕε)
lµ xÊp xØ cña
(A, f, ϕ)
,
τ= (h, δ, ε)
.
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy nh»m tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cña
O. A. Liskovets [6] vµ NguyÔn ThÞ Thu Thñy [10] vÒ hiÖu chØnh bÊt ®¼ng
.
4
thøc biÕn ph©n hçn hîp (0.1) víi to¸n tö nhiÔu ®¬n ®iÖu vµ ®¸nh gi¸ tèc ®é
héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh víi to¸n tö ngîc ®¬n ®iÖu m¹nh.
Néi dung cña luËn v¨n ®îc tr×nh bµy trong hai ch¬ng. Ch¬ng 1 tr×nh
bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tËp hîp låi, hµm låi, to¸n tö ®¬n ®iÖu vµ bµi
to¸n bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp trong kh«ng gian Banach thùc, ph¶n
x¹
X
. §ång thêi tr×nh bµy mét bµi to¸n thùc tÕ cã thÓ ®a vÒ bµi to¸n bÊt
®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp vµ nªu c¸c trêng hîp ®Æc biÖt cña bÊt ®¼ng
thøc biÕn ph©n hçn hîp. Sù tån t¹i nghiÖm vµ tÝnh chÊt cña tËp nghiÖm
cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n hçn hîp ®îc tr×nh bµy trong phÇn cuèi cña
ch¬ng.
Trong ch¬ng 2 sÏ tr×nh bµy ph¬ng ph¸p hiÖu chØnh bÊt ®¼ng thøc biÕn
ph©n hçn hîp (0.1) víi to¸n tö nhiÔu ®¬n ®iÖu. Cô thÓ lµ tr×nh bµy ®Þnh lý
tån t¹i duy nhÊt nghiÖm cña bµi to¸n hiÖu chØnh (0.2), sù héi tô m¹nh cña
nghiÖm hiÖu chØnh ®Õn nghiÖm chÝnh x¸c cña bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n (0.1),
®ång thêi ®¸nh gi¸ tèc ®é héi tô cña nghiÖm hiÖu chØnh trong hai trêng
hîp hoÆc to¸n tö
A
hoÆc
Ah
cã tÝnh chÊt ngîc ®¬n ®iÖu m¹nh.
.