Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân chứa trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân chứa trễ nghiên cứu về tính hút của nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn. Tính ổn định nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn đã và đang được nghiên cứu rộng rãi trong hai thập kỉ gần đây, trong các khái niệm về tính ổn định nghiệm trên đoạn compact thì khái niệm về tính hút được nêu dưới đây có nhiều ý nghĩa trong lí thuyết điều khiển.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn cho hệ vi phân chứa trễ

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN CHO HỆ VI PHÂN CHỨA TRỄ Nguyễn Văn Đắc 1 , Nguyễn Như Quân2 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 2 Trường Đại học Điện lực, email: quan2n@epu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Phần còn lại của bài báo được sắp xếp như sau: Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau: thức chuẩn bị, nêu kết quả về sự tồn tại  u (t)  Au(t)  F(t,u t ), t  [0,T] (1.1) nghiệm. Tiếp theo, chúng tôi đưa ra điều kiện  đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường cho  u(t)  (t), t  [  h, 0] (1.2) hệ (1.1)-(1.2). Cuối cùng là một Ví dụ minh với u lấy giá trị trong không gian Banach X , họa cho kết quả lí thuyết. A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh {S(t): t  0}, u t là hàm trễ của hàm u và 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU F(t, u t )  co{f1 (t, u t ); f 2 (t,u t ); ....; f n (t,u t )} Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương với các hàm đơn trị fi (t,u t ), i  1,...,n xác pháp ước lượng tiên nghiệm. định trên [0,T]  C([-h, 0]; X) và có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Hàm  cho trước, là 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU dữ kiện đầu. 3.1. Kiến thức chuẩn bị Sự tồn tại nghiệm đã được chỉ ra trong [1], Cho E là không gian Banach. Các không mục đích của chúng tôi là nghiên cứu về tính gian hàm: C([0; T];E ), L1 (0, T; E) lần lượt là hút của nghiệm trong khoảng thời gian hữu không gian các hàm liên tục và khả tích hạn. Tính ổn định nghiệm trong khoảng thời Bochner. Ngoài ra, chúng tôi cần các khái gian hữu hạn đã và đang được nghiên cứu niệm sau về nửa nhóm (xem [2]). rộng rãi trong hai thập kỉ gần đây, trong các Định nghĩa 2. Cho {S(t)}t 0 là một C0 -nửa khái niệm về tính ổn định nghiệm trên đoạn nhóm trên E . Nó được gọi là: compact thì khái niệm về tính hút được nêu i) ổn định mũ nếu tồn tại các số không âm dưới đây có nhiều ý nghĩa trong lí thuyết điều khiển (xem [3]). M, sao cho:‖S(t)‖ Me t ,  t  0; Định nghĩa 1. Giả sử  : [0,T]  X là một ii) compact nếu S(t) là toán tử compact với mỗi t  0 ; nghiệm của hệ (1.1)-(1.2). Nghiệm  được gọi iii) liên tục theo chuẩn nếu t a S(t) là liên là hút trên [0,T] nếu tồn tại số  > 0 sao cho: tục trên L (E) với t  0 . ‖u T  T ‖Ch ‖  ‖Ch Để thu được sự tồn tại nghiệm tích phân, đặt với mọi   B () ‚ {}  Ch và u  S( ) . J  [0, T], Ch  C([ h, 0];X), Trong định nghĩa trên, || x || C được hiểu là C  {v  C(J; X) : v(0)  (0)},  Ch . h Với v  C , hàm v[]  C([  h,T];X) xác chuẩn của phần tử trong C([0; T];E ) ; S( ) là tập nghiệm của hệ (1.1) - (1.2) với điều kiện định như sau v[](t )   v(t) if t  [0,T],  đầu là .  (t ) if t  [ h,0]. 151
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 Ta giả thiết: Chứng minh. Theo Định lí 1, mỗi  Ch , (A) Nửa nhóm S() sinh bởi A liên tục theo tồn tại một nghiệm u của hệ (1.1)-(1.2). Mục chuẩn và‖S(t)x‖ M‖x‖, x  X . tiêu của chúng ta là chứng (F) Các ánh xạ fi : J  Ch  X, i  1, n, thỏa minh‖u T‖Ch ‖‖ Ch . mãn: (1) fi (, x) đo được mạnh với mỗi x  Ch Thật vậy, ta có || u T ||  sup ‖u(T  )‖. và fi (t, ) liên tục với hầu khắp t  J ; [ h ,0] Từ T  h , ta thấy T    0 . Nên, từ công (2) Tồn tại hàm m  L1 (J; ¡  ) và hàm thực thức nghiệm của hệ ta thu được: liên tục và không giam  sao cho T  ‖fi (t, x)‖ m(t) (‖x‖Ch ), x  Ch ; u(T  )  S(T  )(0)   S(T    s)f (s)ds. 0 (3) Nếu nửa nhóm S() không có tính Do đó, (T ) compact thì tồn tại hàm k  L1 (J; ¡  ) sao cho ‖u(T  )‖ N e ‖(0)‖ (fi (t, B))  k(t) sup  (B()) , với mọi tập bị  N T  (T  s) e m(s)‖u s‖Ch ds [ h,0]  0 chặn B  Ch .  Ne (T h) ‖(0)‖ Tiếp theo là định nghĩa về nghiệm (xem [1]). T Định nghĩa 3. Hàm liên tục u : [ h,T]  X  N  e (T h s) m(s)‖us ‖Ch ds. 0 được gọi là nghiệm tích phân của (1.1) - (1.2) Từ đó, ta được nếu và chỉ nếu u(t)  (t) với t  [ h,0] và e ‖u T‖Ch  N eh‖(0)‖ T tồn tại f  PF (u |[0,T] ) sao cho: T t  N eh  es m(s)‖u s‖Ch ds. u(t)  S(t) (0)   S(t  s)f (s)ds , t  [0,T] . 0 0 Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích Định lí 1. (xem [1]) Giả sử (A) và (F) thỏa mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu phân, ta có T có R  0 sao cho eT‖u T‖Ch  N eh ‖(0)‖exp( N eh  m(s)ds). 0 R  M. Bất đẳng thức cuối cùng suy ra ‖(0)‖‖m‖‖ ( ‖Ch  R ) ‖u T‖Ch  e (T  h) N ‖(0)‖exp( N eh ‖m‖) 3.2. Tính hút trên [0; T] của nghiệm tầm h‖m‖ thường  N ‖(0)‖e T h  N e . Nhằm thu được tính hút của nghiệm tầm Kết hợp giả thiết và ‖(0)‖‖‖Ch ta thường trên [0, T], ta cần các giả thiết sau được điều phải chứng minh. (A*) Nửa nhóm S(t),t  0 là liên tục theo 3.3. Ví dụ chuẩn và ổn định mũ, tức là: ‖S(t)‖ N et ,  t  0, Cho   ¡ n là một miền bị chặn với biên trong đó N  1,  0 . trơn  . Chúng ta xét bài toán sau đây: (F*) Các hàm phi tuyến fi thỏa mãn u (t, x)  u(t, x)  u(t, x)  f (t, x), t (F) (1)- (F) (3) với  ‖ ( x‖ Ch ) ‖x‖Ch . x  , t  [0,T], Chú ý: Từ (F*) , ta thấy F(t,0)  0 . Tức là f (t, x)  co {f%i (t, u(t  h, x)) : i  1, 2,..., m} hệ có nghiệm tầm thường. u(t, x)  0, x  , t  0, Định lí 2. Giả sử (A*) và (F*) thỏa mãn, u(s, x)  (x, s), x  , s  [ h,0], khi đó nghiệm tầm thường của (1.1) - (1.2) là hút trên [0,T] nếu: Trong đó 0 và %fi : J  ¡  ¡ ,i  1, 2,..., m , là các hàm liên tục, ln N   h  N eh | | m ||  T. 152
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3 m %  Do F có giá trị compact nên bao hàm thức %% %  co f1,f 2,...,fm  i fi : i  0, 1 2  ... m 1. vừa thu được đảm bảo rằng F(t, ) là nửa liên i 1  tục trên. Như vậy, (F)(1) đã được kiểm tra. Đặt X  C0 ( )  {v  C( ) : v   0}, với Tiếp theo, lấy z  F(t,v) , khi đó từ (P) và chuẩn sup:‖v‖ sup | v(x) | . Kí hiệu A1   công thức xác định F ta có x m với: | z(x) |   i | f%i (t, v(h, x)) |  m(t) | v( h,x) | . D(A1 )  {v  C0 ()  H10 () : v  C0 ( )} , i 1 và Ch  C([  h,0];C0 ( )) . Khi đó, A1 là một Khi đó‖z‖ m(t)‖v( h, )‖ m(t )‖v‖ Ch . toán tử sinh của một nửa nhóm co, compact Nghĩa là: trên X . Đặt A  A1   I , thì A sinh ra một ‖F(t, v)‖ m(t)‖v( h, )‖ m(t)‖v‖ Ch . nửa nhóm compact S(t) , từ đó (F)(3) được Suy ra (F)(2) được thỏa mãn với thỏa mãn. Hơn nữa S(t)  etA là ổn định mũ,  (z)  z . Điều này cũng dẫn đến F(t,0)  0 . ở đây ‖S(t)‖ e t , t  0 . Vì vậy, ta có giả Như thế (F*) được thỏa mãn. Ngoài ra, điều thiết (A*) với    và N  1 . kiện về bất đẳng thức trong Định lí 2 được thỏa mãn khi chọn || m || đủ nhỏ. Theo Định lí Về các hàm phi tuyến % fi , ta giả thiết 2, nghiệm tầm thường của bài toán là hút mũ (P) Mỗi hàm % fi , i  1, m , thỏa mãn trên [0, T] với mỗi T  h . (1) % fi (, z) là hàm đo được với z  ¡ ; % 4. KẾT LUẬN fi (t, ) là hàm liên tục với mỗi t  J ; (2) | f%i (t,z) | m(t) | z | với mọi (t,z)  J  ¡ , Sử dụng phương pháp ước lượng tiên nghiệm, chúng tôi đã chỉ ra được tính hút mũ ở đây m  L1 (J, ¡  ); của hệ (1.1)-(1.2) với một số giả thiết chấp Cho fˆi : J  Ch  X là hàm xác định bởi nhận được. fˆi (t, v)(x)  % fi (t, v( h, x)). 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặt F(t, v)  co{fˆi (t, v) : i  1, 2,...,m} . Khi [1] N.V. Dac (2017), Sự tồn tại nghiệm của bao đó F : J  Ch  P (X) là hàm đa trị với giá trị hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng lồi, đóng. Mặt khác, với mỗi (t, v) cố định, trưởng trên tuyến tính, Tuyển tập hội nghị F(t, v) là một tập bị chặn trong không gian khoa học thường niên Đại học Thủy lợi. con hữu hạn chiều span{fˆ , fˆ ,..., fˆ }  X , vì 105-107. 1 2 m [2] M. Kamenskii, V. Obukhovs kii and P. thế F có giá trị compact. Tiếp theo, chúng tôi Zecca (2001), Condensing Multivalued chỉ ra rằng F(t, ) là nửa liên tục trên. Thật Maps and Semilinear Differential vậy, lấy {vn }  Ch hội tụ đến v . Khi đó, theo Inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin. tính liên tục của các hàm % fi , ta được [3] T.D. Ke and T.V. Tuan (2018), Finite-Time fˆi (t, v n )  fˆi (t, v) trong X . Với ò  0 , thì tồn Attractivity for Semilinear tại N  ¥ sao cho Fractional Differential Equations. Results ˆf (t,v )  fˆ (t, v)  òB [0,1], n  N;i  1,2,...,m. Mathematics. i n i X Suy ra F(t, v n )  F(t, v)  òBX [0,1], n  N. 153