Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
151
TÍNH HÚT TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN
CHO HỆ VI PHÂN CHỨA TRỄ
Nguyễn Văn Đắc1, Nguyễn Như Quân2
1Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
2Trường Đại học Điện lực, email: quan2n@epu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau:
t
u (t) Au(t) F(t,u ), t [0,T] (1.1)
u(t) (t), t [ h, 0] (1.2)
với
u
lấy giá trị trong không gian Banach
X
,
A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh
{S(t): t 0},
t
u
là hàm trễ của hàm u và
t 1 t 2 t n t
F(t, u ) co{f (t,u ); f (t,u ); ....; f (t,u )}
với các hàm đơn trị i t
f (t,u ), i 1,...,n
xác
định trên
và có thể tăng
trưởng trên tuyến tính. Hàm
cho trước, là
dữ kiện đầu.
Sự tồn tại nghiệm đã được chỉ ra trong [1],
mục đích của chúng tôi là nghiên cứu về tính
hút của nghiệm trong khoảng thời gian hữu
hạn. Tính ổn định nghiệm trong khoảng thời
gian hữu hạn đã và đang được nghiên cứu
rộng rãi trong hai thập kỉ gần đây, trong các
khái niệm về tính ổn định nghiệm trên đoạn
compact thì khái niệm về tính hút được nêu
dưới đây có nhiều ý nghĩa trong lí thuyết điều
khiển (xem [3]).
Định nghĩa 1. Giả sử
:[0,T] X
là một
nghiệm của hệ (1.1)-(1.2). Nghiệm được gọi
là hút trên [0,T] nếu tồn tại số > 0 sao cho:
T T
h h
u
‖ ‖ ‖ ‖
C C
với mọi
h
B ( ) { }
‚ C
và
u S( )
.
Trong định nghĩa trên,
h
|| x || C
được hiểu là
chuẩn của phần tử trong
C([0;T];E)
;
S( )
là
tập nghiệm của hệ (1.1) - (1.2) với điều kiện
đầu là .
Phần còn lại của bài báo được sắp xếp như
sau: Trước hết chúng tôi nhắc lại một số kiến
thức chuẩn bị, nêu kết quả về sự tồn tại
nghiệm. Tiếp theo, chúng tôi đưa ra điều kiện
đủ cho tính hút của nghiệm tầm thường cho
hệ (1.1)-(1.2). Cuối cùng là một Ví dụ minh
họa cho kết quả lí thuyết.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương
pháp ước lượng tiên nghiệm.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kiến thức chuẩn bị
Cho E là không gian Banach. Các không
gian hàm:
1
C([0;T];E), L (0, T;E)
lần lượt là
không gian các hàm liên tục và khả tích
Bochner. Ngoài ra, chúng tôi cần các khái
niệm sau về nửa nhóm (xem [2]).
Định nghĩa 2. Cho
t 0
{S(t)}
là một
0
C
-nửa
nhóm trên
E
. Nó được gọi là:
i) ổn định mũ nếu tồn tại các số không âm
M,
sao cho:
t
S(t) Me , t 0;
‖ ‖
ii) compact nếu
S(t)
là toán tử compact với
mỗi
t 0
;
iii) liên tục theo chuẩn nếu
t S(t)
a là liên
tục trên
(E)
L với
t 0
.
Để thu được sự tồn tại nghiệm tích phân, đặt
h
h
J [0,T], C([ h, 0];X),
C {v C(J;X): v(0) (0)}, .
C
C
Với
v C
, hàm
v[ ] C([ h,T];X)
xác
định như sau
v(t) if t [0,T],
v[ ](t)
(t) if t [ h,0].
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
152
Ta giả thiết:
(A) Nửa nhóm
S( )
sinh bởi
A
liên tục theo
chuẩn và
S(t)x M x x X ,
‖ ‖ ‖ ‖
.
(F) Các ánh xạ i h
f : J X,i 1,n,
C thỏa
mãn: (1) i
f ( ,x)
đo được mạnh với mỗi
h
x
C
và i
f (t, )
liên tục với hầu khắp
t J
;
(2) Tồn tại hàm
1
m L (J; )
¡
và hàm thực
liên tục và không giam
sao cho
i h
h
f (t, x) m(t) ( x ), x ;
‖ ‖ ‖ ‖
C
C
(3) Nếu nửa nhóm
S( )
không có tính
compact thì tồn tại hàm
1
k L (J; )
¡
sao cho
i[ h,0]
(f (t, B)) k(t) sup (B( ))
, với mọi tập bị
chặn
h
B
C
.
Tiếp theo là định nghĩa về nghiệm (xem [1]).
Định nghĩa 3. Hàm liên tục
u :[ h,T] X
được gọi là nghiệm tích phân của (1.1) - (1.2)
nếu và chỉ nếu
u(t) (t)
với
t [ h,0]
và
tồn tại
F [0,T]
f (u | )
P sao cho:
t
0
u(t) S(t) (0) S(t s)f(s)ds
,
t [0,T]
.
Định lí 1. (xem [1]) Giả sử (A) và (F) thỏa
mãn, hệ (1.1)-(1.2) có nghiệm tích phân nếu
có
R 0
sao cho
h
R
M.
(0) m ( R)
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
C
3.2. Tính hút trên [0; T] của nghiệm tầm
thường
Nhằm thu được tính hút của nghiệm tầm
thường trên [0, T], ta cần các giả thiết sau
(A*)
Nửa nhóm
S(t),t 0
là liên tục theo
chuẩn và ổn định mũ, tức là:
t
S(t) e , t 0,

‖ ‖
N
trong đó
1, 0
N.
(F*)
Các hàm phi tuyến
i
f
thỏa mãn
(F)
(1)-
(F)
(3) với
h h
( x ) x
‖ ‖ ‖ ‖
C C
.
Chú ý: Từ
(F*)
, ta thấy
F(t,0) 0
. Tức là
hệ có nghiệm tầm thường.
Định lí 2. Giả sử
(A*)
và
(F*)
thỏa mãn,
khi đó nghiệm tầm thường của (1.1) - (1.2) là
hút trên [0,T] nếu:
h
|ln |
h e m || T.
N N
Chứng minh. Theo Định lí 1, mỗi
h,C
tồn tại một nghiệm
u
của hệ (1.1)-(1.2). Mục
tiêu của chúng ta là chứng
minh T
h h
u
‖ ‖ ‖ ‖
C C
.
Thật vậy, ta có T[ h ,0]
|| u || sup u(T ) .
‖ ‖
Từ
T h
, ta thấy
T 0
. Nên, từ công
thức nghiệm của hệ ta thu được:
T
0
u(T ) S(T ) (0) S(T s)f(s)ds.

Do đó,
(T )
T(T s) sh
0
(T h)
T(T h s) sh
0
u(T ) e (0)
e m(s) u ds
e (0)
e m(s) u ds.
 
  

‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
C
C
N
N
N
N
Từ đó, ta được
T h
Th
T
h s sh
0
e u e (0)
e e m(s) u ds.
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
C
C
N
N
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích
phân, ta có
T
T h h
Th0
e u e (0) exp( e m(s)ds).
‖ ‖ ‖ ‖
C N N
Bất đẳng thức cuối cùng suy ra
(T h) h
Th
h
T h e m
u e (0) exp( e m )
(0) e .

‖‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖
C
N
N N
N
Kết hợp giả thiết và
h
(0)
‖ ‖ ‖ ‖
C
ta
được điều phải chứng minh.
3.3. Ví dụ
Cho
n
¡
là một miền bị chặn với biên
trơn

. Chúng ta xét bài toán sau đây:
u
(t, x) u(t, x) u(t, x) f (t, x),
t
x ,t [0,T],
i
f(t, x) co f (t, u(t h, x)) :i 1,2
{ },..., m
%
u(t, x) 0, x , t 0, 
u(s, x) (x, s),x , s [ h,0],
Trong đó
0
và
i
f : J ,i 1,2,..., m
%
¡ ¡ , là các hàm liên tục,
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3
153
m
1 2 m i i i 1 2 m
i 1
co f ,f ,...,f f : 0, ... 1 .
%% % %
Đặt 0
X C ( ) {v C( ): v ,}0

với
chuẩn sup:
x
v sup | v(x) |.

‖ ‖
Kí hiệu 1
A
với:
1
1 0 0 0
D(A ) {v C ( ) H ( ) : v C ( )}
,
và h 0
C([ h,0];C ( ))
C. Khi đó,
1
A
là một
toán tử sinh của một nửa nhóm co, compact
trên
X
. Đặt 1
A A I
, thì
A
sinh ra một
nửa nhóm compact
S(t)
, từ đó
(F)(3)
được
thỏa mãn. Hơn nữa
tA
S(t) e
là ổn định mũ,
ở đây
t
S(t) e , t 0

‖ ‖
. Vì vậy, ta có giả
thiết
(A*)
với
và
1
N.
Về các hàm phi tuyến
i
f
%
, ta giả thiết
(P)
Mỗi hàm i
f , i 1,m
%
, thỏa mãn
(1) i
f ( , z)
%
là hàm đo được với
z ;¡
i
f (t, )
%
là hàm liên tục với mỗi
t J
;
(2) i
| f (t,z) | m(t) | z |
%
với mọi (t,z) J
¡
,
ở đây
1
m L (J,
¡
);
Cho i h
ˆ
f : J X
C là hàm xác định bởi
i i
ˆ
f (t, v)(x) f (t, v( h,x)).
%
Đặt i
ˆ
F(t, v) co{f (t, v) :i 1,2,...,m}
. Khi
đó h
F: J (X)
C P là hàm đa trị với giá trị
lồi, đóng. Mặt khác, với mỗi
(t, v)
cố định,
F(t, v)
là một tập bị chặn trong không gian
con hữu hạn chiều 1 2 m
ˆ ˆ ˆ
span{f , f ,..., f } X
, vì
thế
F
có giá trị compact. Tiếp theo, chúng tôi
chỉ ra rằng
F(t, )
là nửa liên tục trên. Thật
vậy, lấy
n h
{v }
C
hội tụ đến
v
. Khi đó, theo
tính liên tục của các hàm
i
f
%
, ta được
i n i
ˆ ˆ
f (t, v ) f (t, v)
trong
X
. Với
0ò
, thì tồn
tại
N¥
sao cho
i n i X
ˆ ˆ
f (t,v ) f (t, v) B [0,1], n N;i 1,2,...,m.
ò
Suy ra n X
F(t, v ) F(t,v) B [0,1], n N.
ò
Do
F
có giá trị compact nên bao hàm thức
vừa thu được đảm bảo rằng
F(t, )
là nửa liên
tục trên. Như vậy,
(F)(1)
đã được kiểm tra.
Tiếp theo, lấy
z F(t,v)
, khi đó từ
(P)
và
công thức xác định
F
ta có
m
i i
i 1
| z(x) | |f (t, v( h,x)) | m(t) | v( h,x) |.
%
Khi đó
h
z m(t) v( h, ) m(t) v .
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖C
Nghĩa là:
h
F(t, v) m(t) v( h, ) m(t) v .
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ C
Suy ra
(F)(2)
được thỏa mãn với
(z) z
. Điều này cũng dẫn đến
F(t,0) 0
.
Như thế
(F*)
được thỏa mãn. Ngoài ra, điều
kiện về bất đẳng thức trong Định lí 2 được
thỏa mãn khi chọn
|| m ||
đủ nhỏ. Theo Định lí
2, nghiệm tầm thường của bài toán là hút mũ
trên [0, T] với mỗi
T h
.
4. KẾT LUẬN
Sử dụng phương pháp ước lượng tiên
nghiệm, chúng tôi đã chỉ ra được tính hút mũ
của hệ (1.1)-(1.2) với một số giả thiết chấp
nhận được.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] N.V. Dac (2017), Sự tồn tại nghiệm của bao
hàm thức vi phân với phần phi tuyến tăng
trưởng trên tuyến tính, Tuyển tập hội nghị
khoa học thường niên Đại học Thủy lợi.
105-107.
[2] M. Kamenskii, V. Obukhovskii and P.
Zecca (2001), Condensing Multivalued
Maps and Semilinear Differential
Inclusions in Banach spaces, Walter de
Gruyter, Berlin.
[3] T.D. Ke and T.V. Tuan (2018), Finite-Time
Attractivity for Semilinear
Fractional Differential Equations. Results
Mathematics.