Bài giảng Lý thuyết điều khiển hiện đại: Chương 2

3/8/2024

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI Bô Môn: Điện Công Nghiệp Khoa Công nghệ Điện – Điện Tử

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 1

NỘI DUNG MÔN HỌC

Chương 1: Giới thiệu Chương 2: Điều khiển phi tuyến Chương 3: Điều khiển tối ưu và bền vững Chương 4: Điều khiển thích nghi

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 2

3/8/2024

NỘI DUNG CHƯƠNG 2

Giới thiệu Phương pháp hàm mô tả Lý thuyết ổn định Lyapunov Phương pháp tuyến tính hoá hồi tiếp Phương pháp điều khiển trượt Phương pháp backstepping Phương pháp gain scheduling Ứng dụng Matlab thiết kế và mô phỏng hệ thống điều khiển phi tuyến

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 3

Khái niệm về hệ phi tuyến

Hệ thống phi tuyến là HT trong đó quan vào–ra không mô tả bằng phương trình vi

phân/sai phân tuyến tính.

Phần lớn các đối tượng thực tế mang tính phi tuyến. Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng,…), Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt,…), Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy,….), Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại,…) Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp,… Tùy theo dạng tín hiệu trong hệ thống mà hệ phi tuyến có thể chia hai loại: Hệ phi tuyến liên tục Hệ phi tuyến rời rạc.

Nội dung môn học chỉ đề cập đến hệ phi tuyến liên tục.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 4

3/8/2024

Tính chất của hệ phi tuyến

Hệ phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng.

Tính ổn định của hệ phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc,

thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào.

Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra ngoài thành phần tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) còn có các thành phần hài bậc cao (là bội số của tần số tín hiệu vào).

Hệ phi tuyến có thể xảy ra hiện tượng dao động tự kích.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 5

Các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí

Khâu relay 3 vị trí

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 6

3/8/2024

Các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuyếch đại bão hòa Khâu khuyếch đại có miền chết

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 7

Các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí có trể

Khâu relay 3 vị trí có trể

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 8

3/8/2024

Các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đại bão hòa có trể

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 9

Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng PTVP

Quan hệ vào ra của hệ phi tuyến liên tục có thể biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân phi tuyến bậc n:

u(t) : tín hiệu vaøo, y(t) : tín hiệu ra, g(.) : haøm phi tuyến

Ví dụ: Phương trình vi phân bậc 2; n=2, m=1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 10

3/8/2024

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP – Thí dụ 1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 11

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP – Thí dụ 2

J: moment quán tính của cánh tay máy M: khối lượng của cánh tay máy m: khối lượng vật nặng; l: chiều dài cánh tay máy lC : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay B: hệ số ma sát nhớt; g: gia tốc trọng trường u(t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máy

(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máy

J ml 2

B t

ml Ml

g cos

u t

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 12

3/8/2024

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTVP – Thí dụ 3

Góc bánh lái

Hướng chuyển động của tàu

k Hệ số

Hệ số

Phương trình vi phân mô tả hệ thống tàu thủy

3 t

1 2

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 13

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTTT

Hệ phi tuyến Mô tả dùng PTTT

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 14

3/8/2024

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTTT – Thí dụ 1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 15

Mô tả hệ phi tuyến dùng PTTT – Thí dụ 2

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 16

3/8/2024

Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến

Không có phương pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ phi tuyến.

Một số phương pháp thường dùng để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến:

Phương pháp tuyến tính hóa Phương pháp hàm mô tả Phương pháp Lyapunov Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa Điều khiển trượt

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 17

Phương pháp hàm mô tả (Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 18

3/8/2024

Thí dụ hệ thống điều khiển phi tuyến có khâu bão hòa

Xét hệ thống điều khiển:

Ví dụ: Mô phỏng trên matlab

Thí dụ hệ thống điều khiển phi tuyến có khâu bão hòa

* Làm thế nào dự báo về sự xuất hiện của dao động tự kích này?

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 19

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 20

3/8/2024

Phương pháp h à m mô tả

Phương pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến.

Phương pháp hàm mô tả áp dụng khảo sát trong miền tần số có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao do dễ thực hiện và gần giống tiêu chuẩn Nyquist

Áp dụng khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến có thể đưa về dạng: Khâu phi tuyến + Khâu tuyến tính

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 21

Đáp ứng hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

Để khảo sát khả năng tồn tại dao động tuần hoàn không tắt trong hệ đầu vào khâu phi tuyến ta cho sóng điều hòa không tắt: e(t)=Msin(ω )

Tín hiệu ra khâu phi tuyến không phải tín hiệu sin, phân

tích Fourier ta thấy u(t) có chứa thành phần tần số cơ bản và các thành phần bậc cao 2ω, 3ω...

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 22

3/8/2024

Đáp ứng hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

Các hệ số Fourier xác định theo các công thức sau:

Giả thiết G(s) là bộ lọc thông thấp, các thành phần hài bậc cao ở ngõ ra của khâu tuyến tính không đáng kể so với thành phần tần số cơ bản, khi đó tín hiệu ra của khâu tuyến tính gần đúng bằng:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 23

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 24

3/8/2024

Định nghĩa hàm mô tả

Hàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỷ số giữa thành phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến và tín hiệu vào hình sin.

Trong các công thức trên u(t) là tín hiệu ra của khâu phi tuyến khi tín hiệu vào là Msin(wt). Nếu u(t) là hàm lẻ thì:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 25

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 26

3/8/2024

Khâu relay 2 vò trí (tt)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 27

Khâu relay 3 vị trí

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 28

3/8/2024

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 29

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 30

3/8/2024

Khâu khuếch đại bão hòa (tt)

Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0

Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại bão hòa là:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 31

Khâu khuếch đại có vùng chết

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 32

3/8/2024

Khâu khuếch đại có vùng chết (tt)

Do u(t) là hàm lẻ nên B1 = 0

Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại có vùng chết là:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 33

Khâu relay 2 vị trí có trễ

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 34

3/8/2024

Khâu relay 2 vị trí có trễ (tt)

Do đó hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trễ là:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 35

Khảo sát chế độ dao động điều hòa trong hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

Điều kiện để hệ thống có giao động là:

Phương trình trên được gọi là phương trình cân bằng điều hòa. Phương trình này được dùng để xác định biên độ và tần số của dao động điều hòa trong hệ phi tuyến

Nếu (M*, w*) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phi tuyến có giao động với tần số w* , biên độ M*.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 36

3/8/2024

Khảo sát chế độ dao động điều hòa trong hệ phi tuyến

Về mặt hình học, nghiệm của phương trình (*) là (w*, M*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist G(jw) của khâu tuyến tính và đường đặc tính -1/N(M) của khâu phi tuyến. Dao động trong hệ phi tuyến là ổn định nếu đi theo chiều tăng của đặc tính -1/N(M) của khâu phi tuyến, chuyển từ vùng không ổn định sang vùng ổn định của khâu tuyến tính G(jw)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 37

Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

Bước 1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến không phải là các khâu cơ bản). Bước 2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist G(jw) và đường đặc tính -1/N(M) phải cắt nhau.

Bước 3: Biên độ, tần số dao động (nếu có) là nghiệm của phương trình:

Nếu N(M) là hàm thực thì:

Tần số dao động chính là tần số cắt pha − của khâu tuyến tính G(j )

Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 38

3/8/2024

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến – Ví dụ 1

Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

Hàm truyền của khâu tuyến tính là:

G(s) 

s0.2s

10 12s 1

Khâu phi tuyến là khâu relay 2 vị trí có Vm = 6

Hãy xác định biên độ và tần số dao động tự kích trong hệ (nếu có)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 39

Lời giải

Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:

Do đường cong Nyquist G(jω) và đường đặc tính -1/N(M) luôn luôn cắt nhau (xem hình vẽ) nên trong hệ phi tuyến luôn luôn có dao động

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 40

3/8/2024

Tần số giao động là tần số cắt pha của G(jw)

Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động y(t) =13,9sin(1,58t)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 41

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến – Ví dụ 2

Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

Hàm truyền của khâu tuyến tính là:

G(s) 

10 12s 1

s 0.2s Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí.

1. Hãy tìm điều kiện để trong hệ phi tuyến có dao động.

2. Hãy xác định biên độ và tần số dao động khi Vm = 6, D = 0.1.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 42

3/8/2024

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến – Ví dụ 2

Lời giải

Hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là:

Điều kiện để trong hệ thống có giao động là đường cong Nyquist G(jw) và đường

đặc tính -1/N(M) phải cắt nhau. Điều này xảy ra khi:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 43

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến – Ví dụ 2 Tần số cắt pha của G(jw) (xem cách tính ở ví dụ 1)   1,58rad /sec

Để dao động xảy ra, điều kiện cần và đủ để tồn tại M sao cho:

Theo bất đẳng thức Cauchy

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 44

3/8/2024

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến – Ví dụ 2

Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi:

Vậy điều kiện để trong hệ có dao động tự kích là:

Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

Khi Vm=6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: M =13.90 Vậy dao động trong hệ là: y(t) = 13.90 sin(1.58t)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 45

Bài Tập

1.6, 1.7, 1.9 trang 71,72 sách Lý thuyết điều khiển hiện đại

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 46

3/8/2024

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Xét hệ thống điều khiển nhiệt độ ON-OFF như sau:

G s 

Hàm truyền của lò nhiệt là:

300e3s 10s 1

Thuật toán điều khiển ON-OFF như sau:

Nếu e(t)>100C thì u(t) = 1 (cấp 100% công suất); Nếu e(t)< -100C thì u(t) = 0 (ngưng

cấp nguồn); Nếu -100C < e(t)< +100C thì tín hiệu điều khiển không đổi

Hãy khảo sát đáp ứng của hệ thống.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 47

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Giải: Sơ đồ điều khiển

Thuật toán điều khiển ON-OFF có thể mô tả bằng khâu relay 2 vị trí có trễ như sau:

e(t) >100C : u(t) = 1 e(t)< -100C : u(t) = 0 |e(t)| < 100C : u(t) không đổi

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 48

3/8/2024

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí có trễ:

Trong đó: Vm = 0.5; D =10

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 49

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Đáp ứng của hệ thống ở trạng thái xác lập là dao động quanh giá trị đặt.

Ta có:

Biên độ và dao động của tần số là nghiệm của phương trình:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 50

3/8/2024

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Biên độ và tần số dao động là nghiệm của phương trình:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 51

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK ON-OFF

Giải phương trình, ta được:

w = 0.5(rad / s)

Thay vào (1), suy ra: M = 37.45

Vậy ở trạng thái xác lập đáp ứng của hệ thống là dao động với thành phần cơ bản là:

y1(t)=37.45 sin(0.5t+α)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 52

3/8/2024

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK có khâu bão hòa

Xét hệ thống điều khiển như sau:

G s 

Hàm truyền của động cơ là:

13  0.1s 10.01s 1

Khi không có khâu bão hòa, hãy thiết kế bộ điều khiển PI sao cho hệ thống kín có cặp cực phức với và

Khảo sát đáp ứng của hệ thống nếu điện áp điều khiển ở ngõ ra khâu PI bị bão hòa ở mức 10V.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 53

Ví dụ: Khảo sát chế độ dao động trong HTĐK có khâu bão hòa

Thiết kế bộ điều khiển PI  Phương trình đặc trưng của hệ thống:

 j24

Cặp cực phức mong muốn:

s  32 1,2

Phương trình đặc trưng phải có nghiệm s*, suy ra:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 54

3/8/2024

Phương pháp Lyapunov

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 55

Phương pháp Lyapunov

Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn

định của hệ phi tuyến

Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ. Có thể dung phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi

tuyến.

Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng

rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 56

3/8/2024

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau:

x  f  x, u 

Một điểm trạng thái xe được gọi là điểm cân bằng nếu như hệ đang ở trạng thái xe

và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó.

Dẽ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:

 0

f x,u x x ,u 0

Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm cân bằng nào. Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính, hệ tuyến tính luôn luôn có một điểm cân bằng xe = 0.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 57

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Ví dụ

Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:

Xác định các điểm cân bằng (nếu có)

Thành lập PTTT, Đặt:

PTTT mô tả hệ con lắc là:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 58

3/8/2024

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến – Ví dụ

Điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:

Kết luận: Hệ con lắc có vô số điểm cân bằng:

 

x e

k  0 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 59

Ổn định tại điểm cân bằng

Định nghĩa: Một hệ thống được gọi là ổn định tại điểm cân bằng xe nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi xe và đưa đến điểm được x0 thuộc lân cận nào đó của xe thì sau đó hệ có khả năng tự quay được về điểm cân bằng xe ban đầu.

Chú ý: tính ổn định của hệ phi tuyến chỉ có nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng. Có thể hệ ổn định tại điểm cân bằng này nhưng không ổn định tại điểm cân bằng khác.

Ví du:

Điểm cân bằng ổn định

Điểm cân bằng không ổn định

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 60

3/8/2024

Ổn định Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi:

(1)

x  f  x, u  u 0

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0 Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng xe = 0 nếu với , bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(o) thỏa mãn:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 61

Ổn định tiệm cận Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi:

(1)

x  f  x, u  u 0

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe = 0 Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng xe = 0 nếu với , bất kỳ bao giờ cũng tồn tại δ phụ thuộc ε sao cho nghiệm x(t) của phương trình (1) với điều kiện đầu x(o) thỏa mãn:

x0   lim

xt   0

t 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 62

3/8/2024

So sánh ổn định Lyapunov và ổn định tiệm cận Lyapunov

Ổn định Lyapunov

Ổn định tiệm cận Lyapunov

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 63

Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov

Cho hệ phi tuyến phương trình trạng thái:

(1)

x  f  x, u 

Giả sử xung quanh điểm cân bằng xe, hệ thống (1) có thể tuyến tình hóa về dạng:

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ổn định thì hệ phi tuyến (1) ổn định tiệm cận tại

điểm cân bằng xe.

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) không ổn định thì hệ phi tuyến (1) không ổn định

tiệm cận tại điểm cân bằng xe.

Nếu hệ thống tuyến tính hóa (2) ở biên giới ổn định thì không kết luận được gì về

tính ổn định của hệ phi tuyến tại điểm cân bằng xe.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 64

3/8/2024

Phương pháp tuyến tính hóa Lyapunov – Ví dụ

Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: x  f  x t , u t 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 65

Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng:

0    0

    0 

 Mô hình tuyến tính quanh điểm cân bằng: xe  0 0 T

x  Ax  Bu

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 66

3/8/2024

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 67

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 68

3/8/2024

Bài tập

1. Tuyến tính hóa Lyaponov tại điểm cân bằng

2. Tuyến tính hóa Lyaponov bài 1.20 c,d,e quanh điểm cân bằng

3. Bài 1.21 trang 74 sách lý thuyết điều khiển hiện đại

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 69

Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định

Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương

trình trạng thái:

(1)

x  f  x, u 

u 0

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe=0. Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho trong miền

D  R n

chứa điểm cân bằng V(x) thỏa: V (x) > 0, x  D \ 0 V (0)  0

V(x)  0, x  D

 Thì hệ thống (1) ổn định Lyapunov tại điểm 0.

HT ổ định tiệm cận Lyapunov tại điểm 0

V(x)  0, x  0

Chú ý: Hàm V(x) thường được chọn là hàm toàn phương theo biến trạng thái

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 70

3/8/2024

Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định

Định lý ổn định Lyapunov: Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi phương

trình trạng thái:

x  f  x, u 

u 0

Giả sử hệ thống có điểm cân bằng xe=0. Nếu tồn tại hàm V(x) sao cho trong miền D  Rn

chứa điểm cân bằng V(x) thỏa:

V (x) > 0, x  D \ 0 V (0)  0

V(x) > 0, x  D  Thì hệ thống (1) không ổn định Lyapunov tại điểm 0.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 71

Phương pháp trực tiếp Lyapunov– Ví dụ Xét hệ con lắc mô tả bởi PTTT: x  f  x t , u t  t g

f x,u

sin

t

t 

x 1

     

   

B ml 2

ml 2 ut 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 72

3/8/2024

Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng: u(t)=0

0    0

    0 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 73

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 74

3/8/2024

Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng: u(t)=0

Sinh viên tự làm Chọn hàm Lyaponov chứng tỏ hệ thống không ổn định

    0 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 75

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 76

3/8/2024

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 77

Ví dụ 3: Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái. Xác định trạng thái cân

bằng của hệ thống và đánh giá tính ổn định của hệ thống ở trạng thái cân bằng.

Giải

Trạng thái cân bằng là nghiệm phương trình:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 78

3/8/2024

Đánh giá tính ổn định, chọn hàm Lyapunov:

Ta có:

V  x  0, x V  x =0 khi x=0



 x4

 x

 x4

V x 

  x x2

2  x

2 

x x 2 2

x 1

2 x2

 





x  2  x4 2

x2 2

x x  1 1   x2  x2 1 1  V  x > 0, x  0

 Hệ thống ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 79

Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

(Feedback linearization control)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 80

3/8/2024

Đặt bài toán Xét đối tượng phi tuyến SISO bậc n mô tả bởi phương trình trạng thái:

là vector trạng của thống

Trong đó:

y ∈ R là tín hiệu vào

u ∈ R là tín hiệu ra

f(x) ∈ R, g(x) ∈ R là các vector hàm trơn mô tả động học của hệ thống

h(x) ∈ R là hàm trơn mô tả quan hệ giữa biến trạng thái và tín hiệu ra Bài toán đặt ra là điều khiển tín hiệu ra y(t) bám theo tín hiệu đặt yd(t)

3/8/2024 81 Văn Tấn Lượng

84 Ý tưởng thi thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

Hai vòng điều khiển:

Vòng điều khiển trong: Bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa, biến

đổi hệ phi tuyến thành hệ tuyến tính.

Vòng điều khiển ngoài: Bộ điều khiển bám, thiết kế dựa vào lý

thuyết điều khiển tuyến tính thông thường.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 82

3/8/2024

Quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến Nếu đối tượng có bậc tương đối bằng n, bằng cách lấy đạo hàm của phương trình (2) n lần, có thể biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng dưới dạng: yn  a  x  b  xu

,...,

. f  x 

Lf h  x 

x ,...,

f n xT

f 1

h x x

Trong đó: a  x  Lnf h  x b  x  LgLnf1h  x  0   

  

h x x 1

h x x n

(Đạo hàm Lie của hàm h(x) dọc theo vector f(x))

Lk 1h  x

Lkfh x 

. f  x

x Lkh  x

LgLkfh  x 

.g x

f x

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 83

Luật điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

u x 

 vt

a  x 

1 b x

Đối tượng phi tuyến với tín hiệu vào u(t) được biến đổi thành đối tượng tuyến tính

với tín hiệu vào là v(t)

Thiết kế bộ điều khiển tuyến tính cho đối tượng đã tuyến tính hóa

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 84

3/8/2024

Bộ điều khiển bám cho đối tượng đã được tuyến tính hóa

n1  k e

n2  ...  k e

k e 1

 

n1  k s

Sai số:e = yd-y Bộ điều khiển bám: v  ydn    Giả thiết: Tín hiệu chuẩn (tín hiệu đặt) khả vi bị chặn đến bậc n Đặc tính động học sai số: sn  k s Đa thức đặc trưng: s sn  k s

n2  ...  kn Es   0 n2  ...  kn

s là đa thức Hurwitz, tức là tất cả các

Chọn ki(i=1,n) sao cho ∆ nghiệm của phương trình ∆

s = 0 đều nằm bên trái mặt phẳng phức.

Hệ thống kín ổn định và e(t) → 0 khi t → ∞ .Chú ý vị trí cực của ∆ s = 0 quyết định đáp ứng quá độ trong quá trình tiến về 0 của e(t).

85 Văn Tấn Lượng 3/8/2024

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 86

3/8/2024

Chú ý

Thuật toán điều khiển bám v(t) đòi hỏi tín hiệu đặt yd(t) phải khả vi bị chặn đến

bậc n.

Tín hiệu đặt có dạng xung: đạo hàm tại thời điểm tín hiệu đặt chuyển

trạng thái là vô cùng lớn làm cho tín hiệu điều khiển vô cùng lớn.

Trong trường hợp này cần phải cho tín hiệu đặt r(t) qua bộ lọc thông thấp bậc n để được tín hiệu đặt mới khả vi hữu hạn. Tuy nhiên việc thêm bộ lọc ở đầu vào có thể làm chậm đáp ứng của hệ thống.

Kết quả điều khiển không tốt, thậm chí hệ thống không ổn định nếu mô hình dùng để thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa không mô tả chính xác đặc tính động học của đối tượng

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 87

Trình tự thiết kế hệ thống điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

Bước 1: Biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến dưới dạng

yn  a  x  b  xu

Bước 2: Viết biểu thức bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa:

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển bám:

Sai số:e = yd-y

là đa thức Hurwitz, đồng thời thỏa mãn yêu cầu về chất lượng quá độ

Bước 4: Chọn các thông số của bộ điều khiển bám sao cho

Bước 5: Thiết lọc tín tín kế bộ thông thấp hiệu vào để đảm bảo hiệu chuẩn yd(t) khả vi chặn đến bậc n

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 88

3/8/2024

Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa – Thí dụ 1

Cho đối tượng phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái:

Hãy thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa sao cho hệ kín có cặp cực phức tại −3± j3

Giải:

Bước 1: Tính đạo hàm của tín hiệu ra y  x

1  3x2  sin  x1  3x2  x

cos x1  2  cos x1x

 y  2x y  2x  y  2  cos   6x y  4x

 3x2  3x2  sin x13x2 cos x1 3u cos 2x 1  x1 sin  x1cos x1 3u cos 2x 

 x12x  2sin  x1 2x cos

(1)

y  a  x  b  xu

 2sin  x1 2x cos

 x1 sin  x1cos  x1

a x  4x  6x b x  3cos2x



(2)

 v 

Văn Tấn Lượng 89 3/8/2024

Bước 2: Viết biểu thức bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa u  1 a  xb  x

Thay (2) vào (1), ta được hệ tuyến tính:

(3)

y  v

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển bám tuyến tính hóa  k e





(4)





where : e

k e 1 y

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 90

3/8/2024

 k e

Bước 4: Tính thông số bộ điều khiển bám. Thay (4) vào (3), ta được đặc tính động học sai số: y  yd  k e  k e

2  0

 e  k e

Phương trình đặc trưng động học sai số:

(5)

s2  k s

 k2  0

Phương trình đặc trưng động học sai số mong muốn:

s  3  j3s  3  j3  0

 s2  6s 18  0

(6)

So sánh (5) và (6) ta được:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 91

Bài tập Cho đối tượng phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái:

Hãy thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa sao cho hệ kín có đáp ứng thỏa độ vọt lố < 10% và thời gian quá độ < 0,3s.

 

Hướng dẫn

POT  exp

 0.1   > 0.59  get   0.7

1  2

   

   

 0.3  

> 19.05  get 

 25

tqd 

4   n

 j

1  2

  n

s* 1,2

n n

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 92

3/8/2024

Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa – Thí dụ 2 Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:

ml2t   Bt   mgl sin u t 

Hãy thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa sao cho đáp ứng của hệ thống có POT<10%, tqđ<0.3 sec khi tín hiệu vào là hàm nấc.

Giải:

 ; x



Đặt các biến trạng thái là:

x 1

Tín hiệu ra là y = = x1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 93

Bước 1: Tính đạo hàm của tín hiệu ra



 y  x

x 1 x





 y

x 2

1 ml 2 u

 x1 mlB b xu

(1)

g   sin l = a x 

Where :

a x  

; b x 

sin x



x 2

1 ml 2

g l

B ml 2

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 94

3/8/2024

Bước 2: Viết biểu thức bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

 v 

(2)

u  1 a  xb  x

Thay (2) vào (1), ta được hệ tuyến tính:

(3)

y  v

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển bám tuyến tính hóa





 k e

(4)





where : e

k e 1 y

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 95

Bước 4: Tính thông số bộ điều khiển bám

Thay (4) vào (3), ta được đặc tính động học sai số:

 k e

y  yd  k e  k e

 e  k e

2  0

Phương trình đặc trưng động học sai số:

(5)

s2  k s

 k2  0



0.7

1 2

Theo yêu cầu thiết kế: POT<10%, tqđ<0.3 sec    0.1  > 0.59  get   

 POT  exp     0.3   > 19.05  get   25

t  qd

4   n

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 96

3/8/2024

Phương trình đặc trưng động học sai số mong muốn:

s  2

s 2  2  0  s2  35s  625  0

(6)



Cân bằng (5) và (6), ta được:



625

k  1 k2

Bước 5: Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào

Chọn bộ lọc thông thấp bậc 2 để tín hiệu yd(t) khả vi bị chặn đến đạo hàm bậc 2. Hàm truyền của bộ lọc là:

G s  

0.1s 12

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 97

Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa – Thí dụ 2

Mô phỏng hệ thống điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 98

3/8/2024

Kết quả mô phỏng điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa, vị trí viên bi bám rất tốt theo tín hiệu chuẩn là xung

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 99

Điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa – Thí dụ 3

Hệ nâng bi trong từ trường

u(t) là điện áp cấp cho cuộn dây [V] (tín hiệu vào) y(t) là vị trí viên bi [m] (tín hiệu ra) u(t) là điện áp cấp cho cuộn dây [V] (tín hiệu vào) i(t) dòng điện qua cuộn dây M = 0.01 kg là khối lượng viên bi g = 9.8m/s2 là gia tốc trọng trường d=0.03m y(t) M R = 30  là điện trở cuộn dây L = 0.1 H là điện cảm cuộn dây

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 100

3/8/2024

Phương trình vi phân mô tả hệ thống

d 2y t 

i2t 



 Mg 



yt 



dt 2 di t 

 Ri t   ut 

L 

Yêu cầu: Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp tuyến hóa điều khiển vị trí viên bi bám theo tín hiệu đặt có dạng xung vuông hoặc hình sin

 y, x

 i

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 101

Giải: Đặt các biến trạng thái là: x1  y; x

Phương trình trạng thái

 x 2

x 1



 g

x 2

 

ut 

x2 3 Mx 1 x  3

       x  3

1 L

R L

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 102

3/8/2024

Bước 1: Tính đạo hàm của tín hiệu ra y  x

 y  x

 g 

x2 3 Mx 1

2x

 x2 x

x 3

x 1

 R L

  

  

x2 x 3 1 



y 

1  ut  L Mx2 1

(1)



x2 3

a x 

;b x  

2x x x  3 3 1 Mx2 1 a x  b xu 2Rx  1 MLx2 1

2x 3 MLx 1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 103

Bước 2: Viết biểu thức bộ điều khiển hồi tiếp tuyến tính hóa

 v 

(2)

u  1 a  xb  x

Thay (2) vào (1), ta được hệ tuyến tính:

(3)

y  v

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển bám tuyến tính hóa

(4)

 k e



v  yd  k e

where : e  yd  y

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 104

3/8/2024

Bước 4: Tính thông số bộ điều khiển bám

 k e



Thay (4) vào (3), ta được đặc tính động học sai số:  k e y  yd  k e

 k e

y  yd  k e e  k e

 0

2  k s

(5)

Phương trình đặc trưng động học sai số: s3  k s  k3  0

Chọn các thông số của bộ điều khiển bám sao cho cả 3 nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ kín là -20:

s  203  0  s3  60s2 1200s  8000  0

(6)



Cân bằng (5) và (6), ta được: 60



1200



8000

k  1 k2 k  3

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 105

Bước 5: Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào Chọn bộ lọc thông thấp bậc 2 để tín hiệu yd(t) khả vi bị chặn đến đạo hàm bậc 2. Hàm truyền của bộ lọc là:

G s  

0.1s 12

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 106

3/8/2024

Điều khiển trượt (Sliding Mode Control)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 107

Đặt bài toán

Xét đối tượng phi tuyến SISO bậc n mô tả bởi phương trình trạng thái:

Trong đó:

là vector trạng của hệ thống



là tín hiệu vào



là tín hiệu ra

f  x Rn , g  x Rn là các vector hàm trơn mô tả động học của hệ thống Bài toán đặt ra là điều khiển tín hiệu y(t) bám theo tín hiệu đặt yd(t)

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 108

3/8/2024

Quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến

Nếu đối tượng có bậc tương đối bằng n, bằng cách lấy đạo hàm của phương trình (2) n lần, có thể biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng dưới dạng:

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 109

Định nghĩa mặt trượt Sai số: e t   ydt   y t    en1  k e

n2  ... kn 2e  kn

e 1

n2  ...  kn2s  kn 1

1 Trong đó ki được chọn sao cho: s  s n1  k s là đa thức Hurwitz; vị trí nghiệm ∆ của quyết định đặc tính quá độ quá trình

gọi là mặt trượt

∆s gọi là đa thức đặc trưng của mặt trượt s

E s

sn1  k s

n2  ...  kn2s  kn1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 110

3/8/2024

 2

V 

Chọn hàm Lyapunov:

1 2

V   

Đạo hàm Lyapunov:

V  0

 n1

n

e 

 k e 1  k en1 1

e n2 k e  1

Để σ→ 0cần chọn tín hiệu điều khiển u(t) sao cho n2  k e Do   n1 e   e n1  ydn  yn  k e  kn

e 1

 ...   ...  n1  ...  k e yn  a  x  b  xu

Where n

 ...  k e

 a x bxu  k en1

 kn1e

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 111

Luật điều khiển trượt

n1  ...  k e

ydn  a x b  xu  k e

 kn

e 1

Chọn u(t) sao cho:  Ksign 

n1  ...  k e

a  x ydn  k e

u 

 kn

 

1  Ksign e 

1 b x

Với luật điều khiển trên, ta có: V  Ksign   K   V  0  0

 0  e  0

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 112

3/8/2024

Quỹ đạo pha của hệ thống điều khiển trượt

Quỹ đạo pha thực tế dao động quanh mặt trượt về gốc tọa độ, gây nên hiện tượng chattering

Quỹ đạo pha lý tưởng của hệ bậc 2 chuyển động trên mặt trượt về gốc tọa độ

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 113

Trình tự thiết kế bộ điều khiển trượt bám quỹ đạo

Bước 1: Biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến dưới dạng

y(n)  a  x  b xu

Bước 2: Chọn mặt trượt  n1 

 

 n2  ...  kn2e  kn1e

k e 1

Trong đó ki được chọn sao cho: s  s n1  k s

n2  ...  kn2s  kn 1

là đa thức Hurwitz; vị trí nghiệm ∆s của quyết định đặc tính quá độ quá trình

gọi là mặt trượt

∆s gọi là đa thức đặc trưng của mặt trượt

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 114

3/8/2024

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển trượt:

trong đó K>0. K càng lớn thì →0 càng nhanh.

Bước 4: Thiết kế bộ lọc thông thấp tín hiệu vào để đảm bảo tín hiệu chuẩn

yd(t) khả vi bị chặn đến bậc n.

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 115

Chú ý

Có thể thay hàm sign() bằng hàm sat() hoặc các hàm trơn để giảm hiện tượng

chattering

Có nhiều phiên bản điều khiển trượt khác nhau tùy theo mô tả toán học của đối tượng phi tuyến và yêu cầu điều khiển.

Nguyên tắc cơ bản khi thiết kế luật điều khiển trượt là: Định nghĩa tín hiệu trượt là hàm của sai số bám hoặc trạng thái của hệ thống. Chọn Lyapunov là hàm toàn phương của mặt trượt hàm Chọn tín hiệu ĐK sao cho đạo hàm của hàm Lyapunov luôn âm

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 116

3/8/2024

Điều khiển trượt – Thí dụ 1

Xét hệ con lắc mô tả bởi PTVP:

ml2t   Bt   mgl sin u t 

Hãy thiết kế bộ điều khiển trượt để điều khiển góc lệch của con lắc tín bám theo hiệu đặt.

Giải:

 ; x



Đặt các biến trạng thái là:

x 1

Tín hiệu ra là y = = x1

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 117

Bước 1: Tính đạo hàm của tín hiệu ra



 y  x



x 1 x 2



 y

x 2

1 ml 2 u

(1)

 x1 mlB b xu

g   sin l = a  x 

Where :

a x  

; b x 

sin x



x 2

1 ml 2

g l

B ml 2

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 118

3/8/2024

Bước 2: Biểu thức mặt trượt:   e  k e

Where : e  yd  y

Đa thức đặc trưng của mặt trượt:

 0

s  k

Chọn cực của mặt trượt tại -500, suy ra k1=-500

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 119

Bước 3: Viết biểu thức bộ điều khiển trượt:

u 

 a  x yd  k e

 Ksign 

1 b x

Chọn K=1000

Bước 4: Thiết kế bộ lọc thông thấp tín hiệu vào để đảm bảo tín hiệu chuẩn yd(t)

khả vi bị chặn đến bậc 2. Hàm truyền của bộ lộc là:

s

1 0.03s 12 

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 120

3/8/2024

Mô phỏng hệ thống điều khiển trượt

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 121

Văn Tấn Lượng 3/8/2024 122

3/8/2024

Điều khiển trượt – Thí dụ 2

Hệ nâng bi trong từ trường u(t) là điện áp cấp cho cuộn dây [V]

(tín hiệu vào) y(t) là vị trí viên bi [m] (tín hiệu ra) u(t) là điện áp cấp cho cuộn dây [V] (tín hiệu vào) i(t) dòng điện qua cuộn dây M = 0.01 kg là khối lượng viên bi



g = 9.8m/s2 là gia tốc trọng trường d=0.03m y(t) M R = 30 là điện trở cuộn dây L = 0.1 H là điện cảm cuộn dây

Phương trình vi phân mô tả hệ thống

d 2y t 

i2t 



 Mg 



yt 



dt 2 di t 

 Ri t   ut 