44 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
XẤP XỈ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA HAI ÁNH XẠ G-KHÔNG GIÃN
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI ĐỒ THỊ
APPROXIMATING COMMON FIXED POINTS OF TWO G-NONEXPANSIVE MAPPINGS IN
BANACH SPACES WITH GRAPHS
Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
Trường Đại học Đồng Tháp; ngtrunghieu@dthu.edu.vn, phamthingocmai@student.dthu.edu.vn
Tóm tắt - Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một dãy lặp ba
bước mới để xấp xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
giãn. Từ đó, chứng minh một số kết quả về sự hội tụ yếu và hội tụ
của dãy lặp này đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ thị. Các kết quả này
là sự mở rộng của một số kết quả chính trong tài liệu tham khảo
[3, 5]. Đồng thời, một ví dụ được đưa ra để minh họa choviệc xấp
xỉ điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn và chứng tỏ
rằng sự hội tụ đến điểm bất động chung của dãy lặp được đề xuất
là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5] thông qua tính toán bằng
phần mềm Scilab.
Abstract - This paper aims to introduce a new three step iteration
scheme for approximation of common fixed points of two
G-nonexpansive mappings. We also prove some weak
convergence and strong convergence results of common fixed
points of two G-nonexpansive mappings in uniformly convex
Banach spaces with graphs. These results are the extensions of
some results in existing results in the literature [3, 5]. In addition,
an example is provided to illustrate the approximation of common
fixed points of two G-nonexpansive mappings and prove that the
convergence of proposed iteration process converges is faster
than S-iteration process in [5] by a computer using Scilab program.
Từ khóa - ánh xạ G-không giãn;điểm bất động chung; không gian
Banach với đồ thị
Key words - G-nonexpansive mappings;common fixed points;
Banach spaces with graphs
1. Giới thiệu
Trong những năm gần đây, bên cạnh việc nghiên cứu
sự tồn tại và xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn,
nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu những mở rộng của ánh
xạ không giãn theo nhiều cách tiếp cận khác nhau. Năm
2012, Aleomraninejad và cộng sự [1] đã kết hợp ý tưởng
của lí thuyết đồ thị và lí thuyết điểm bất động để giới thiệu
khái niệm ánh xạ G-không giãn trên không gian metric với
đồ thị và khảo sát sự hội tụ của dãy lặp Picard đến điểm bất
động của lớp ánh xạ này trong không gian mêtric đầy đủ
với đồ thị. Năm 2015, Tiammee và cộng sự [7] đã chứng
minh định lí điểm bất động Browder cho ánh xạ G-không
giãn và thiết lập sự hội tụ của dãy lặp Halpern đến hình
chiếu của điểm xuất phát lên tập điểm bất động của ánh xạ
G-không giãn trong không gian Hilbert với đồ thị. Năm
2016, Tripak [8] đã chứng minh sự hội tụ của dãy lặp kiểu
Ishikawa đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
giãn trong không gian Banach với đồ thị. Năm 2018,
Suparatulatorn và cộng sự [5] đã tổng quát kết quả trong
bài báo [8] và đề xuất sự hội tụ của dãy S-lặp đến điểm bất
động chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian
Banach với đồ thị. Đến đây, một vấn đề cũng được đặt ra
là tiếp tục thiết lập sự hội tụ đến điểm bất động chung của
các ánh xạ G-không giãn bởi những dãy lặp tổng quát hơn
trong không gian Banach với đồ thị.
Việc nghiên cứu sự hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ
không giãn và những mở rộng của nó đã xuất hiện nhiều loại
dãy lặp khác nhau. Một vấn đề được đặt ra là tiếp tục xây dựng
những lặp tổng quát hơn những dãy lặp đã có. Với mục đích
đó, năm 2018, Piri và cộng sự [3] đã giới thiệu một dãy lặp ba
bước mới để xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ như sau:
1,uC
1
((1 ) ),
,
(1 ) ,
n n n n n
nn
n n n n n
w T u Tu
v Tw
u Tw Tv
(1.1)
với
,n
{ },{ } (0,1),
nn
C là tập lồi trong không gian
Banach X và
là ánh xạ. Từ đó, các tác giả đã
chứng minh rằng dãy lặp (1.1) hội tụ đến điểm bất động
của ánh xạ co nhanh hơn những dãy lặp trước đó như dãy
lặp Picard, dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp
Agarwal, dãy lặp Noor, dãy lặp Abbas và dãy lặp Thakur.
Đồng thời, với những giả thiết phù hợp, các tác giả đã
thiết lập sự hội tụ của dãy lặp (1.1) đến điểm bất động của
ánh xạ -không giãn suy rộng trong không gian Banach
lồi đều. Do đó, trong bài báo này, từ dãy lặp (1.1), nhóm
tác giả đề xuất một dãy lặp để xấp xỉ điểm bất động chung
của hai ánh xạ G-không giãn, từ đó chứng minh một số kết
quả về hội tụ của dãy lặp được đề xuất đến điểm bất động
chung của hai ánh xạ G-không giãn trong không gian
Banach lồi đều với đồ thị. Trước hết, trình bày một số khái
niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong bài báo.
Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Banach
thực X. Kí hiệu
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng với
()VG
tập hợp các đỉnh của đồ thị G sao cho
()VG
trùng với
C,
()EG
tập hợp các cạnh của đồ thị G mà
( , ) ( )u u E G
với
uC
và G không có cạnh song song.
Định nghĩa 1.1. [8, Definition 2.4] Cho X là không gian
định chuẩn và C là tập con khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng sao cho
( ) .V G C
Khi đó,
G
được gọi là có tính bắc cầu nếu với
, , ( )u v w V G
sao cho
( , ),( , ) ( )u v v w E G
thì
( , ) ( ).u w E G
Định nghĩa 1.2. [7, tr.4] Cho X là không gian định
chuẩn, C là tập con khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là
đồ thị định hướng sao cho
( ) .V G C
Khi đó, C được gọi
là có tính chất G nếu với dãy
{}
n
u
trong
C
sao cho
1
( , ) ( )
nn
u u E G
với
n
và
{}
n
u
hội tụ yếu đến
uC
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 3, 2019 45
thì tồn tại dãy con
()
{}
nk
u
của
{}
n
u
sao cho
()
( , ) ( )
nk
u u E G
với
.k
Định nghĩa 1.3. [4, tr.534] Cho X là không gian định
chuẩn và C là tập khác rỗng của X và
:S C C
là ánh xạ.
Khi đó,
S
được gọi là nửa compact nếu với
{}
n
u
là dãy bị
chặn trong C sao cho
lim || || 0
nn
nu Su
thì tồn tại dãy con
()
{}
nk
u
của
{}
n
u
sao cho dãy
()
{}
nk
u
hội tụ trong C.
Định nghĩa 1.4. [8, Definition 2.5] Cho X là không gian
định chuẩn và C là tập khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng sao cho
( ) .V G C
Khi đó, ánh xạ
:S C C
được gọi là G-không giãn nếu
(1) S là bảo toàn cạnh của G, tức là với
( , ) ( )u v E G
ta
có
( , ) ( ).Su Sv E G
(2)
|| || || ||Su Sv u v
với
( , ) ( ).u v E G
Kí hiệu
( ) { : }F S u C Su u
là tập hợp các điểm bất
động của ánh xạ
:.S C C
Điều kiện đủ để
()FS
có tính
chất lồi và đóng với
S
là ánh xạ G-không giãn được thể
hiện qua kết quả sau:
Mệnh đề 1.5. [7, Theorem 3.2]Cho X là không gian định
chuẩn, C là tập con khác rỗng trong X,
( ( ), ( ))G V G E G
là
đồ thị định hướng sao cho
( ) ,V G C
()EG
là tập lồi, C có
tính chất G,
:S C C
là ánh xạ G-không giãn sao cho
( ) ( ) ( ).F S F S E G
Khi đó,
()FS
là tập lồi và đóng.
Định nghĩa 1.6. [2, Definition 1.1] Cho
X
là không
gian Banach. Không gian
X
được gọi là thỏa mãn điều kiện
Opial nếu với
uX
và dãy
{}
n
u
hội tụ yếu đến
,u
ta có
lim inf || || lim inf || ||
nn
nn
u u u v
với
,.v X v u
Mệnh đề 1.7. [5, Proposition 2] Cho X là không gian
Banach thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng với
( ) ,V G C
C có
tính chất G và
:S C C
là ánh xạ G-không giãn,
{}
n
u
là dãy
trong C sao cho
{}
n
u
hội tụ yếu đến
1)
,( , ) ( )
nn
p C u u E G
và
lim || || 0.
nn
nu Su
Khi đó,
.Sp p
Định nghĩa 1.8. [4, tr.534] Cho X là không gian định
chuẩn, C là tập lồi đóng khác rỗng trong X và
,:S T C C
là hai ánh xạ. Khi đó,
,ST
được gọi là thỏa mãn điều kiện
(B) nếu tồn tại hàm số không giảm
: [0, ) [0, )f
sao
cho
(0) 0, ( ) 0f f r
với mọi
0r
và với
0u
sao cho
max || ||,|| || ( ( , )),u Su u Tu f d u F
với
( ) ( )F F S F T
và
( , ) inf{ ( , ) : }.d u F d u v v F
Bổ đề 1.9. [6, Lemma 1.3] Cho X là không gian Banach lồi
đều,
{}
n
là dãy trong
[ ,1 ]
với
(0,1)
và
{ },{ }
nn
uv
là
hai dãy trong X sao cho
lim sup || || , lim sup || ||
nn
nn
u r v r
và
lim || (1 ) ||
n n n n
nu v r
với
0.r
Khi đó,
lim || || 0.
nn
nuv
2. Kết quả chính
Bằng việc mở rộng dãy lặp (1.1) trong [3], giới thiệu
dãy lặp
{}
n
u
để xấp xỉ điểm bất động chung cho hai ánh xạ
G-không giãn như sau:
1,uC
1
((1 ) ),
,
(1 ) ,
n n n n n
nn
n n n n n
w S u Tu
v Tw
u Tw Sv
với
n
(2.1)
trong đó
{ },{ } [ ,1 ]
nn
với
(0,1),
C là tập lồi trong
không gian Banach X và
,:S T C C
là hai ánh xạ
G-không giãn. Kí hiệu
( ) ( ).F F S F T
Tiếp theo, chứng
minh một số tính chất của dãy lặp (2.1).
Mệnh đề 2.1. Cho X là không gian định chuẩn, C là tập
lồi trong X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng, có tính
chất bắc cầu với
( ) , ( )V G C E G
là tập lồi,
,:S T C C
là
hai ánh xạ G-không giãn,
{}
n
u
là dãy được xác định bởi
(2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )u p p u E G
với
.pF
Khi đó,
( , ),
n
up
( , ),
n
vp
( , ),
n
wp
((1 ) , ),
n n n n
u Tu p
( , ),
n
pu
( , ),
n
pv
( , ),
n
pw
1
( ,(1 ) ),
n n n n
p u S u
( , ),
nn
uv
( , ),
nn
uw
1
( , ) ( )
nn
u u E G
với
.n
Chứng minh. Ta chứng minh
( , ),( , ),( , ),
n n n
p u p v p w
( ,(1 ) ) ( )
n n n n
p u Tu E G
bằng phương pháp quy nạp.
Trước hết, ta chứng minh
11
( , ),( , ),p v p w
1 1 1 1
( ,(1 ) ) ( ).p u Tu E G
Thật vậy, vì
pF
nên
.Sp Tp p
Vì
1
( , ) ( )p u E G
và
T
là bảo toàn cạnh nên
11
( , ) ( , ) ( ).Tp Tu p Tu E G
Ta lại có
1 1 1 1 1 1 1 1
( ,(1 ) ) (1 )( , ) ( , ).p u Tu p u p Tu
(2.2)
Vì
1
( , ),pu
1
( , ) ( )p Tu E G
và
()EG
lồi nên từ (2.2) ta có
1 1 1 1
( ,(1 ) ) ( ).p u Tu E G
Vì
S
là bảo toàn cạnh nên
1 1 1 1 1
( , ) ( , ((1 ) )) ( ).p w p S u Tu E G
Kết hợp điều này với
T
là bảo toàn cạnh, ta có
1
( , ) ( ).p Tw E G
Suy ra
11
( , ) ( , ) ( ).p v p Tw E G
Giả sử
( , ) ( )
k
p u E G
với
1.k
Ta chứng minh
1
( , ),
k
pu
1 1 1 1 1 1
( , ),( , ),( ,(1 ) ) ( ).
k k k k k k
p v p w p u Tu E G
Thật
vậy, vì
T
là bảo toàn cạnh nên
( , ) ( ).
k
p Tu E G
Ta có
( ,(1 ) ) (1 )( , ) ( , ).
k k k k k k k k
p u Tu p u p Tu
(2.3)
Vì
( , ),
k
pu
( , ) ( )
k
p Tu E G
và
()EG
lồi nên từ (2.3) ta có
( ,(1 ) ) ( ).
k k k k
p u Tu E G
Vì
S
là bảo toàn cạnh nên
( , ) ( , ((1 ) )) ( ).
k k k k k
p w p S u Tu E G
Điều này dẫn đến
( , ) ( ).
k
p Tw E G
Suy ra
( , ) ( , ) ( ).
kk
p v p Tw E G
Ta lại có
46 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
1
( , ) ( ,(1 ) )
k k k k k
p u p Tw Sv
(1 )( , ) ( , ).
k k k k
p Tw p Sv
(2.4)
Kết hợp (2.4) với
( , ),
k
p Tw
( , ) ( )
k
p Sv E G
và
()EG
lồi,
ta có
1
( , ) ( ).
k
p u E G
Suy ra
1
( , ) ( ).
k
p Tu E G
Kết hợp với
1 1 1 1 1 1 1 1
( ,(1 ) ) (1 )( , ) ( , )
k k k k k k k k
p u Tu p u p Tu
ta
được
1 1 1 1
( ,(1 ) ) ( ).
k k k k
p u Tu E G
Suy ra
1 1 1 1 1
( , ) ( , ((1 ) )) ( ).
k k k k k
p w p S u Tu E G
Điều này dẫn đến
11
( , ) ( , ) ( ).
kk
p v p Tw E G
Do đó, theo
nguyên lí qui nạp, ta có
( , ),( , ),( , ),
n n n
p u p v p w
( ,(1 ) ) ( )
n n n n
p u Tu E G
với
.n
Lập luận tương tự như trên, ta chứng minh được
((1 ) , ),( , ),( , ),( , ) ( )
n n n n n n n
u Tu p u p v p w p E G
với
.n
Cuối cùng, ta chứng minh
( , ),( , ),
n n n n
u v v w
1
( , ) ( ).
nn
u u E G
Thật vậy, sử dụng tính chất bắc cầu và
( , ),
n
up
( , ),
n
pv
( , ),
n
up
( , ),
n
pw
( , ),
n
up
1
( , ) ( ),
n
p u E G
ta có
( , ),
nn
uv
1
( , ),( , ) ( ).
n n n n
u w u u E G
Mệnh đề 2.2. Cho X là không gian Banach, C là tập lồi
đóng khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định
hướng sao cho
( ) , ( )V G C E G
là tập lồi,
,:S T C C
là
2 ánh xạ G- không giãn sao cho
,F
{}
n
u
là dãy được
xác định bởi (2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Khi đó,
{}
n
u
là dãy bị chặn và
lim || ||
n
nup
tồn tại.
Chứng minh. Vì
11
,( , ),( , ) ( )p F p u u p E G
nên theo
Mệnh đề 2.1, ta có
( , ),( , ),( , ),((1 ) , ) ( ).
n n n n n n n
u p v p w p u Tu p E G
Vì
( , ),((1 ) ), ) ( )
n n n n n
u p u Tu p E G
và
,ST
là ánh
xạ G-không giãn nên
|| || || ((1 ) ) ||
n n n n n
w p S u Tu p
(1 ) || || || ||
n n n n
u p Tu p
(1 ) || || || || || ||.
n n n n n
u p u p u p
(2.5)
Vì
( , ) ( ),
n
w p E G
T
là ánh xạ G-không giãn và (2.5) nên
|| || || || || || || || || || .
n n n n n
v p Tw p Tw Tp w p u p
(2.6)
Khi đó, từ
( , ),( , ) ( ),
nn
v p w p E G
,ST
là ánh xạ
G-không giãn và (2.6), ta được
1
|| || || (1 ) ||
n n n n n
u p Tw Sv p
(1 ) || || || ||
n n n n
Tw p Sv p
(1 ) || || || ||
n n n n
w p v p
(1 ) || || || ||
n n n n
u p u p
|| || .
n
up
(2.7)
Từ (2.7), ta suy ra
{}
n
u
là dãy bị chặn và
lim || ||
n
nup
tồn tại.
Mệnh đề 2.3. Cho X là không gian Banach lồi đều, C
là tập lồi đóng khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị
định hướng sao cho
( ) , ( )V G C E G
là tập lồi,
,:S T C C
là 2 ánh xạ G- không giãn sao cho
,F
{}
n
u
là dãy được xác định bởi (2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Khi đó,
lim || || lim || || 0.
n n n n
nn
u Su u Tu
Chứng minh. Vì
11
,( , ),( , ) ( )p F p u u p E G
nên theo
Mệnh đề 2.1 ta có
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),
n n n n n n
p u u p v p w p w u
( , ),
nn
vu
((1 ) , ) ( )
n n n n
u Tu p E G
với
*.n
Theo Mệnh
đề 2.2, ta có
lim || ||
n
nup
tồn tại. Đặt
lim || || .
n
nu p c
(2.8)
Từ (2.6), ta có
|| || || || || || .
n n n
v p w p u p
(2.9)
Từ (2.8) và (2.9), ta có
lim sup || || .
n
n
v p c
(2.10)
Vì
( , ) ( )
n
u p E G
và
T
là ánh xạ G-không giãn nên
|| || || || || || .
n n n
Tu p Tu Tp u p
Do đó, từ (2.8) ta có
lim sup || || .
n
n
Tu p c
(2.11)
Mặt khác, từ (2.7) ta có
1
|| || (1 ) || || || || .
n n n n n
u p u p v p
Khi đó
1
1
|| || (| || || ||) || || .
n n n n
n
u p u p u p v p
Kết hợp với (2.8), ta suy ra
lim inf || || .
n
n
c v p
(2.12)
Từ (2.10) và (2.12), ta có
lim || || .
n
nv p c
(2.13)
Hơn nữa, vì
((1 ) , ) ( )
n n n n
u Tu p E G
và
S
bảo
toàn cạnh nên
( ((1 ) ), ) ( ).
n n n n
S u Tu p E G
Khi đó,
lim || || lim || ||
nn
nn
c v p Tw p
lim || ( ((1 ) )) ||
n n n n
nT S u Tu p
lim || ((1 ) ) ||
n n n n
nS u Tu p
lim || (1 ) ||
n n n n
nu Tu p
lim ||(1 )( ) ( )||
n n n n
nu p Tu p
lim(1 ) || || lim || ||
n n n n
nn
u p Tu p
lim | || .
n
nu p c
Suy ra
lim || (1 )( ) ( ) || .
n n n n
nu p Tu p c
(2.14)
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 3, 2019 47
Vì
lim sup || || ,
n
n
Tu p c
lim sup || ||
n
n
u p c
và sử
dụng (2.14) nên theo Bổ đề 1.9 ta được
lim || || 0.
nn
nTu u
Hơn nữa, từ (2.13) và
S
là ánh xạ G-không giãn ta có
limsup || || limsup || || .
nn
nn
Sv p v p c
(2.15)
Từ (2.13) và tương tự chứng minh (2.7), ta có
1
lim || || lim || (1 ) ||
n n n n n
nn
c u p Tw Sv p
lim || (1 ) ||
n n n n
nv Sv p
lim || (1 )( ) ( ) ||
n n n n
nv p Sv p
lim || || lim || || .
nn
nn
v p u p c
Suy ra
lim || (1 )( ) ( ) || .
n n n n
nv p Sv p c
Kết hợp với (2.10), (2.15) và sử dụng Bổ đề 1.9, ta được
lim || || 0.
nn
nSv v
(2.16)
Ta có
1
|| || || (1 ) ||
n n n n n n n
u v Tw Sv v
|| (1 ) ||
n n n n n
v Sv v
|| || .
n n n
Sv v
(2.17)
Từ (2.16) và (2.17) ta được
1
lim || || 0.
nn
nuv
(2.18)
Ta có
11
|| || || || || ||
n n n n n n
v Su v Sv Sv Su
1
|| || || || .
n n n n
v Sv v u
Kết hợp với (2.16), (2.18) ta được
1
lim || || 0.
nn
nv Su
(2.19)
Kết hợp
1 1 1 1
|| || || || | ||
n n n n n n
u Su u v v Su
với (2.18), (2.19), ta được
lim || || 0.
nn
nu Su
Vậy
lim || || lim || || 0
n n n n
nn
u Su u Tu
Tiếp theo, thiết lập điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu của
dãy lặp (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-
không giãn trong không gian Banach lồi đều với đồ thị.
Định lí 2.4. Cho X là không gian Banach lồi đều và
thỏa mãn điều kiện Opial, C là tập lồi đóng khác rỗng của
X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng, có tính chất bắc
cầu sao cho
( ) ,V G C
Ccó tính chất G,
()EG
là tập lồi,
,:S T C C
là 2 ánh xạ G-không giãn sao cho
F
, dãy
{}
n
u
được xác định bởi (2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Khi đó, dãy
{}
n
u
hội tụ yếu đến
.qF
Chứng minh. Vì
X
là không gian Banach lồi đều nên
X
là không gian Banach phản xạ. Hơn nữa, theo Mệnh đề
2.2, ta có
{}
n
u
là dãy bị chặn. Do đó, tồn tại dãy con
()
{}
ni
u
của
{}
n
u
sao cho
()
{}
ni
u
hội tụ yếu đến
.qC
Khi đó, từ
Mệnh đề 2.3, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
lim || || lim || || 0
n i n i n i n i
ii
u Su u Tu
Từ Mệnh đề 1.7, ta có
Sq Tq q
hay
.pF
Giả sử
{}
n
u
không hội tụ yếu đến
q
. Khi đó, tồn tại
dãy con
()
{}
nk
u
của
{}
n
u
sao cho
()
{}
nk
u
hội tụ yếu đến
1
qC
với
1.qq
Sử dụng Mệnh đề 1.7 và lập luận tương
tự như trên, ta có
1.qF
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có
lim || ||
n
nuq
và
1
lim || ||
n
nuq
tồn tại. Khi đó, sử dụng
tính chất Opial, ta có
( ) ( ) 1
lim || || lim inf || || lim || ||
n n i n i
n i i
u q u q u q
1 ( ) 1
lim || || lim inf || ||
n n k
nk
u q u q
()
lim || || lim || || .
n k n
kn
u q u q
Điều này là một mâu thuẫn. Do đó, dãy
{}
n
u
hội tụ yếu
đến
.qF
Tiếp theo, thiết lập một số kết quả về sự hội tụ của dãy
lặp (2.1) đến điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không
giãn trong không gian Banach lồi đều.
Định lí 2.5. Cho X là không gian Banach lồi đều, C là tập
lồi đóng khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định
hướng, có tính chất bắc cầu sao cho
( ) ,V G C
C có tính chất
G,
()EG
là tập lồi,
,:S T C C
là 2 ánh xạ G-không giãn sao
cho
,F
( ) ( ) ( )F S F T E G
thỏa mãn điều kiện (B), dãy
{}
n
u
được xác định bởi (2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Khi đó, dãy
{}
n
u
hội tụ đến
qF
.
Chứng minh. Vì
11
,( , ),( , ) ( )p F p u u p E G
nên theo
Mệnh đề 2.1, ta có
( , ),( , ),( , ) ( )
n n n
u p v p w p E G
với
.n
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có giới hạn
lim || ||
n
nup
tồn tại và dãy
{}
n
u
bị chặn. Mặt khác, từ
(2.7) ta có
1
|| || || ||
nn
u p u p
với
.n
Khi đó,
1
( , ) ( , )
nn
d u F d u F
và do đó tồn tại
lim ( , )
n
nd u F
. Mặt khác,
theo Mệnh đề 2.3, ta có
lim || || lim || || 0.
n n n n
nn
u Su u Tu
(2.20)
Vì
,ST
thỏa mãn điều kiện (B) nên tồn tại hàm không giảm
: [0, ) [0, )f
sao cho
(0) 0, ( ) 0f f r
với
0r
và
max{|| ||,|| ||} ( ( , )).
n n n n n
u Su u Tu f d u F
(2.21)
Kết hợp (2.20) và (2.21), ta suy ra
lim ( ( , )) 0.
n
nf d u F
Giả sử
lim ( , ) 0.
n
nd u F
Khi đó, với mỗi
0,
tồn tại
0
n
sao cho với mọi
0,nn
ta có
( , ) .
n
d u F
Khi đó
( ( , )) ( )
n
f d u F f
với mọi
0.nn
Suy ra
48 Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Thị Ngọc Mai
lim ( ( , )) ( ) 0.
n
nf d u F f
Điều này mâu thuẫn với
lim ( ( , )) 0.
n
nf d u F
Vậy
lim ( , ) 0.
n
nd u F
Khi đó, tồn tại
()
{}
nk
u
là dãy con của
{ },{ }
k
n
up
trong
F
sao cho
()
|| || 2 .
k
n k k
up
Khi đó, từ bất
đẳng thức (2.7), ta có
( 1) ( )
|| || || || 2 .
k
n k k n k k
u p u p
Điều này dẫn đến
1 1 ( 1) ( 1)
|| || || || || ||
k k k n k n k k
p p p u u p
11
2 2 2 .
k k k
Suy ra
{}
k
p
là dãy Cauchy trong
.F
Mặt khác, theo Mệnh
đề 1.5, ta suy ra
( ) ( )F F S F T
là tập đóng trong không
gian Banach. Do đó, tồn tại
qF
để
lim .
k
kpq
Khi đó, kết
hợp với
( ) ( )
|| || || || || || 2 || ||
k
n k n k k k k
u q u p p q p q
ta
suy ra
()
lim || || 0.
nk
kuq
Hơn nữa, vì tồn tại
lim || ||
n
nuq
nên
lim || || 0
n
nuq
hay
{}
n
u
hội tụ đến
.qF
Trong Định lí 2.5, bằng cách thay giả thiết “thỏa mãn
tính chất (B) của hai ánh xạ” bởi giả thiết “một trong hai
ánh xạ là nửa compact”, nhận được kết quả sau:
Định lí 2.6. Cho X là không gian Banach lồi đều, C là
tập lồi đóng khác rỗng của X,
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị
định hướng, có tính với
( ) ,V G C
C có tính chất G,
()EG
là tập lồi,
,:S T C C
là 2 ánh xạ G-không giãn sao cho
, ( ) ( ) ( )F F S F T E G
một trong hai ánh xạ
,ST
là
nửa compact, dãy
{}
n
u
được xác định bởi (2.1) sao cho
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Khi đó, dãy
{}
n
u
hội tụ đến
qF
.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.3, ta có
lim || || lim || || 0.
n n n n
nn
u Su u Tu
Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.2, ta có
{}
n
u
là dãy bị chặn. Kết
hợp với giả thiết một trong hai ánh xạ
,ST
là nửa compact,
ta suy ra nên tồn tại dãy con
()
{}
nk
u
của
{}
n
u
sao cho
()
{}
nk
u
hội tụ đến
.qC
Khi đó, sử dụng tính chất G của tập C và
tính bắc cầu của đồ thị G, ta suy ra tồn tại dãy con
( ( ))
{}
n k i
u
của
()
{}
nk
u
sao cho
( ( ))
( , ) ( ).
n k i
u q E G
Hơn nữa, ta có
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
|| || || || || || || ||
n k i n k i n k i n k i
q Sq q u u Su Su Sq
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
|| || || || || ||
n k i n k i n k i n k i
q u u Su u q
và
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
|| || || || || || || ||
n k i n k i n k i n k i
q Tq q u u Tu Tu Tq
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
|| || || || || ||.
n k i n k i n k i n k i
q u u Tu u q
Suy ra
Sq Tq q
hay
.qF
Lập luận tương tự như
trong chứng minh Định lí 2.5, ta nhận được
{}
n
u
hội tụ đến
.qF
3. Ví dụ
Nhóm tác giả đưa ra ví dụ minh họa cho sự hội tụ đến
điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn bởi dãy
lặp (2.1). Đồng thời, ví dụ này cũng chứng tỏ sự hội tụ đến
điểm bất động chung của hai ánh xạ G-không giãn bởi dãy
lặp (2.1) là nhanh hơn dãy S-lặp trong bài báo [5].
Ví dụ 2.7. Cho
X
là không gian Banach với chuẩn giá
trị tuyệt đối,
[0,1],C
( ( ), ( ))G V G E G
là đồ thị định hướng
với
( ) ,V G C
( , ) ( )u v E G
khi và chỉ khi
0 , 0.42uv
và
,.u v C
Xét hai ánh xạ
,:S T C C
xác định bởi
34,Su u
3
Tu u
với
.uC
Xét hai dãy
{ },{ }
nn
xác
định bởi
1
53
n
n
n
và
4
10 7
n
n
n
với
.n
Khi đó,
(1)
,ST
là ánh xạ G-không giãn. Với
( , ) ( ),u v E G
ta
có
0 , 0.42.uv
Khi đó, ta có
0 , 0.42Su Tv
hay
( , ),( , ) ( ).Su Sv Tu Tv E G
Suy ra
,ST
bảo toàn cạnh. Hơn
nữa,
( , ) ( ),u v E G
tính toán trực tiếp ta được
|| || || ||Su Sv u v
và
|| || || || .Tu Tv u v
Do đó,
,ST
là ánh xạ G-không giãn.
(2) Ta có
( ) ( ) {0} .F F S F T
Chọn
10.4u
ta có
11
( , ),( , ) ( )p u u p E G
với
.pF
Kiểm tra trực tiếp, các giả thiết còn lại của Định lí 2.6
cũng thỏa mãn. Do đó, dãy lặp
{}
n
u
xác định bởi (2.1) có
dạng dưới đây hội tụ đến điểm bất động chung
0.p
10.4,u
34
3
3
4
3
1
9 3 4
( ) ,
10 7 10 7
,
4 2 1 .
5 3 5 3
n n n
nn
n n n
nn
w u u
nn
vw
nn
u v v
nn
(2.22)
Tuy nhiên, với
1, 0.5xy
và
0.95, 0.45,uv
ta
tính được
| | | |,Sx Sy x y
| | | | .Tu Tu u v
Do đó,
,ST
không là ánh xạ không giãn. Vì vậy, những kết quả về
sự hội tụ đến điểm bất động chung của hai ánh xạ không
giãn sẽ không áp dụng được cho hai ánh xạ này.
Lưu ý rằng dãy S-lặp
{}
n
u
được giới thiệu trong [5] có
dạng dưới đây cũng hội tụ đến điểm bất động chung
0.
10.4,u
4
3
43
3
1
9 3 4 ,
10 7 10 7
4 2 1 .
5 3 5 3
n n n
n n n
nn
v u u
nn
nn
u u v
nn
(2.23)
Tuy nhiên, sự hội tụ của dãy lặp (2.22) đến điểm bất
động chung
0p
nhanh hơn sự hội tụ của dãy lặp (2.23).
Bằng lập trình trên phần mềm Scilab-6.0.0 với
50,n
minh họa dáng điệu hội tụ đến điểm bất động chung
0
của
dãy lặp (2.22) và dãy lặp (2.23) như Hình 1.