TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phƣơng trình Navier - Stokes trong không gian ba chiều Vũ Thị Thùy Dƣơng*, Nguyễn Thị Thu Hƣơng Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh *E-mail: vuthuyduong309@gmail.com
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả về tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương là một nghiệm trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều. Giả sử
mềm của hệ phương trình Navier–Stokes với giá trị ban đầu . Khi đó, là nghiệm
trên nếu thỏa mãn điều kiện theo định lý
yếu theo nghĩa Leray duy nhất liên kết với duy nhất của Serrin và Von Wahl. Từ khoá: Hệ phương trình Navier-Stokes, nghiệm mạnh, tính duy nhất nghiệm.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những hệ phương trình Parabolic phi tuyến nổi tiếng và rất được sự quan tâm của những nhà toán học trên thế giới. Lớp phương trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng, không khí, dầu mỏ,... dưới điều kiện tổng quát. Chúng cũng xuất hiện trong nhiều nghiên cứu quan trọng về khoa học kỹ thuật như: Khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lý plasma…, xem [4]. Hiện nay, có rất nhiều các nghiên cứu về các tính chất định tính của nghiệm như: Sự tồn tại, tính duy nhất, độ trơn và dáng điệu tiệm cận cho các loại nghiệm của hệ phương trình Navier- trong không gian ba Stokes. Bài báo trình bày hai kết quả về tính duy nhất của nghiệm yếu thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy chiều với giá trị ban đầu và nghiệm
nhất của Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl. 2. NỘI DUNG 2.1. Nghiệm mềm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes
Trước khi giới thiệu và thiết lập các hàm bổ trợ thích hợp, ta sẽ biến đổi hệ phương trình Navier-Stokes thành hệ phương trình toán tử như sau:
trong đó, với các vectơ và ta định nghĩa tích tensor của chúng bởi hệ thức
là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự được định nghĩa như dưới đây, và xem [1].
Ta đặt:
và ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi
Đối với một trường vectơ tùy ý trên ta đặt
257
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
và định nghĩa toán tử bởi
Một cách tương đương khác để xác định là việc sử dụng các tính chất của biến đổi Fourier và viết
Như vậy, tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho trong
được thỏa mãn.
Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu này và nửa nhóm
ta có thể đưa phương trình toán tử thành phương trình tích phân như sau
Ta sẽ bắt đầu từ phương trình tích phân và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm của nó.
Ở đây, ta chỉ xét trường hợp cả không gian nên nửa nhóm Stokes trở thành nửa
. Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số nhóm của phương trình truyền nhiệt hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu
và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình, xem [6],
Trong bài báo này, để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm ta cần sử dụng định nghĩa nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes sau:
gọi là một nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes trong , nào đó và
Một nghiệm yếu đối với một nếu với một giá trị ban đầu phân kỳ tự do (trong các không gian hàm về sau ta xét) là nghiệm của phương trình tích phân nghiệm
với .
Ta cũng sẽ sử dụng ký hiệu sau: với một tensor ta xác định vectơ bởi
Ta sẽ xem xét nghiệm trong không gian ba chiều do đó
Một cách hình thức, công thức tích phân có được từ việc áp dụng vào hệ
phương trình Navier-Stokes cổ điển mà ta có thể viết như sau
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
258
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
(ở đây do điều kiện ) và giải phương trình truyền nhiệt (do
) theo công thức Duhamel, xem [3].
của hệ phương trình Navier-Stokes thỏa mãn phương Định nghĩa 2.1. Một nghiệm mềm trình tích phân và do đó mà
trong đó, trình truyền nhiệt là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm của phương là xác định tốt theo là liên tục mạnh và tích phân trong
nghĩa của Bochner.
Từ đánh giá ta có
Nếu ta thấy rằng, đối với
Đánh giá trên cho ta một đủ nhỏ, Do vậy, chuẩn của
(Như một vấn đề thực tế, ta còn chứng minh được chuẩn và ta biết rằng tồn tại thời gian cực đại của vẫn đóng trên một tập con compact của nghiệm trong , sau đó vẫn bị chặn toàn cục trên ).
2.2. Tính duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes
Tiếp theo ta sẽ đề cập đến định lý duy nhất của nghiệm trong lớp Trước
tiên, để thuận lợi cho việc nghiên cứu định lý duy nhất nghiệm, ta nhắc lại ở đây các mệnh đề dùng vào việc chứng minh định lý duy nhất. Mệnh đề 2.1. (Đẳng thức năng lượng)
Giả sử rằng và cho là một nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes
Giả sử rằng:
(i)
(ii) Với một nào đó, với
Khi đó, và đẳng thức năng lượng
259
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
thỏa mãn
đúng với tất cả Mệnh đề 2.2. [1] Giả sử và là hai nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes đối với
Giả sử rằng:
(i) Với
(ii) Với
(iii)Với mỗi giá trị nào đó, với
Khi đó,
là liên tục trên và ta có đẳng thức
với mọi sao cho
(Phần chứng minh của mệnh đề có thể xem Mệnh đề 4.3, trong ).
Định lí 2.1. (Định lý duy nhất của Serrin)
Giả sử với . Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes trên với giá trị ban đầu sao cho
(i)
(ii)
(iii) Với một nào đó, với
Khi đó, là nghiệm Leray duy nhất liên kết với trên
Định lý 2.1 được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.
Chứng minh. Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu
ta giả sử tồn tại một nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes trên là một nghiệm theo Leray khác. Khi
đó, ta viết:
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
260
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Hơn nữa, ta có:
Mặt khác, với đặt , khi đó:
(do ).
Do đó,
với và với
Với tất cả ta có
Nếu trên và nếu , ta có
nên ta được
Do đó, trên
Khi thì đây chính là tính duy nhất trên .
Khi ta phải giả thiết rằng để suy ra tính duy nhất của nghiệm.
261
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Do vậy, định lý này chỉ chứng minh cho trường hợp .
Định lí 2.2. (Định lý duy nhất của Von Wahl)
Giả sử với . Giả sử rằng tồn tại một nghiệm yếu của hệ
phương trình Navier-Stokes trên với giá trị ban đầu sao cho
(i)
(ii)
(iii)
Khi đó, là nghiệm Leray duy nhất liên kết với trên .
, khi đó với mỗi , ta sẽ tách trên thành với Chứng minh Nếu
và .
Theo tính liên tục đều của
.
Ta có thể tìm được sao cho
Ta có thể xấp xỉ mỗi bởi một vectơ hàm , với một sai số điều
khiển trong bởi chuẩn:
Do đó, ta xác định được như sau:
Khi đó:
Chọn sao cho , ta có
.
Từ Bổ đề Gronwall trong [2], ta suy ra Định lý được chứng minh. 3. KẾT LUẬN tính duy nhất nghiệm của phương trình Navier-Stokes trong lớp Trong bài báo này chúng tôi trình bày lại một cách cụ thể khái niệm và các kết quả về với điều
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
262
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
kiện ban đầu
và nghiệm mềm thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy nhất của
– solutions of Navier–Stokes
Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M. Cannone (2003), ―Harmonic analysis tools for solving the incompressible Navier– Stokes equations’’, Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, vol 3, Eds. S.Friedlander and D. Serre, Elsevier. [2] L. Escauriaza, G.A. Seregin, V. Sverák (2003), ― equations and backward uniqueness’’, Us. Mat. Nauk (58), 3 – 44. [3] P. Federbush(1993), ―Navier–Stokes meet the wavelet’’, Comm. Math. Phys (155), 219 – 248. [4] H. Fujita and T. Kato (1964), ―On the Navier–Stokes initial value problem I‖, Arch. Rat. Mech. Anal(16), 269 – 315. [5]. Hermann Sohr (2001), The Navier–Stokes Equations, Birkhauser Advanced Texts, Birkhauser Verlag, Basel. [6]. O. A. Ladyzhenskaya (1969), The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow, Gordon and Breach, New York.
The uniqueness of strong solutions to the Navier-Stokes equations in the three-dimensional space
Thi Thuy Duong Vu Quang Ninh University of Industry
Stokes equations in the three-dimensional space. Let
Abstract: The paper presents about the uniqueness of strong solutions to the Navier- is a mild solution of
the Navier-Stokes equations with the initial value . Then, is the weak solution in
on if satisfies the condition
Key words: Navier-Stokes equations, Strong solutions, The uniqueness of solutions.
the sense Leray of the Navier-Stokes equations with according to the unique theorems of Serrin and Von Wahl.
