TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
257
Tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phƣơng trình Navier - Stokes
trong không gian ba chiều
Vũ Thị Thùy Dƣơng*, Nguyễn Thị Thu Hƣơng
Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh
*E-mail: vuthuyduong309@gmail.com
Tóm tắt: Bài báo trình bày kết quả về tính duy nhất của nghiệm mạnh cho hệ phương
trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều. Giả sử
23
0, ;u L T L
là một nghiệm
mềm của hệ phương trình Navier–Stokes với giá trị ban đầu
23
0
uL
. Khi đó,
u
là nghiệm
yếu theo nghĩa Leray duy nhất liên kết với
0
u
trên
nếu thỏa mãn điều kiện theo định lý
duy nhất của Serrin và Von Wahl.
Từ khoá: Hệ phương trình Navier-Stokes, nghiệm mạnh, tính duy nhất nghiệm.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Hệ phương trình Navier-Stokes là một trong những hệ phương trình Parabolic phi
tuyến nổi tiếng và rất được sự quan tâm của những nhà toán học trên thế giới. Lớp phương
trình này xuất hiện khi mô tả chuyển động của các chất lỏng, không khí, dầu mỏ,... dưới điều
kiện tổng quát. Chúng cũng xuất hiện trong nhiều nghiên cứu quan trọng về khoa học kỹ thuật
như: Khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lý plasma…, xem [4].
Hiện nay, có rất nhiều các nghiên cứu về các tính chất định tính của nghiệm như: Sự tồn tại,
tính duy nhất, độ trơn và dáng điệu tiệm cận cho các loại nghiệm của hệ phương trình Navier-
Stokes. Bài báo trình bày hai kết quả về tính duy nhất của nghiệm yếu
u
trong không gian ba
chiều với giá trị ban đầu
23
0
uL
và nghiệm
u
thỏa mãn các điều kiện trong định lý duy
nhất của Serrin và định lý duy nhất của Von Wahl.
2. NỘI DUNG
2.1. Nghiệm mềm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes
Trước khi giới thiệu và thiết lập các hàm bổ trợ thích hợp, ta sẽ biến đổi hệ phương
trình Navier-Stokes thành hệ phương trình toán tử như sau:
3
0
. , 0,
0, , ,
du u P u u t
dt
u x u x x

2.1
trong đó, với các vectơ
u
và
,v
ta định nghĩa tích tensor của chúng
uv
bởi hệ thức
ij
ij
u v u v
và
P
là toán tử chiếu trực giao vào trường vectơ phân kỳ tự được định nghĩa như dưới đây,
xem [1].
Ta đặt:
2
, 1, 2,3; = 1,
j
j
D i j i
x
2.2
và ta ký hiệu biến đổi Riesz bởi
1
2, 1,2,3.
jj
R D j

2.3
Đối với một trường vectơ tùy ý
1 2 3
,,u x u x u x u x
trên
3,
ta đặt
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
258
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
3
1
kk
k
z x R u x
2.4
và định nghĩa toán tử
P
bởi
3
1
, j=1,2,3.
j j jk j k k
j
k
Pu x u x R z x R R u
2.5
Một cách tương đương khác để xác định
P
là việc sử dụng các tính chất của biến đổi
Fourier và viết
3
2
1
, j=1,2,3.
jk
jk k
jk
Pu u




2.6
Như vậy,
P
là một toán tử giả vi phân và là một phép chiếu trực giao vào hạch của toán
tử phân kỳ. Nói cách khác áp suất
p
trong
2.1
đảm bảo rằng điều kiện không nén được cho
.0uu
được thỏa mãn.
Cuối cùng, sử dụng toán tử chiếu
P
này và nửa nhóm
,
t
S t e
2.7
ta có thể đưa phương trình toán tử
2.1
thành phương trình tích phân như sau
()
0
0
( )d
t
t t s
u t e u e P u u s s
2.8
Ta sẽ bắt đầu từ phương trình tích phân
2.8
và chứng minh sự tồn tại và duy nhất của
nghiệm
,u t x
của nó.
Ở đây, ta chỉ xét trường hợp cả không gian
3
nên nửa nhóm Stokes
St
trở thành nửa
nhóm của phương trình truyền nhiệt
t
e
. Nghiệm của bài toán là tổng của hai nghiệm sau: số
hạng tuyến tính có chứa giá trị ban đầu
00
: e ,
t
S t u u
2.9
và toán tử song tuyến tính biểu thị sự phi tuyến của phương trình, xem [6],
0
, : e ( )d .
t
ts
B u v t P u v s s

2.10
Trong bài báo này, để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm ta cần sử dụng
định nghĩa nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes sau:
Một nghiệm yếu
u
gọi là một nghiệm mềm của hệ phương trình Navier-Stokes trong
00
,t t T
đối với một
0
t
nào đó và
0T
nếu với một giá trị ban đầu phân kỳ tự do
0
u
,
nghiệm
u
(trong các không gian hàm về sau ta xét) là nghiệm của phương trình tích phân
0
0
0( ) ( ) ds,
t
tt ts
t
u t e u e P u s u s
 
với
00
,t t t T
.
2.11
Ta cũng sẽ sử dụng ký hiệu sau: với một tensor
ij
FF
ta xác định vectơ
F
bởi
.
j j ij
i
FF
Ta sẽ xem xét nghiệm trong không gian ba chiều
3,x
do đó
1 2 3
, , , , ,1 3.
ii
u u u u u u x t i
Một cách hình thức, công thức tích phân
3.1
có được từ việc áp dụng
P
vào hệ
phương trình Navier-Stokes cổ điển mà ta có thể viết như sau
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
259
,
0,
uu p u u
t
u
2.12
(ở đây
u u u u
do điều kiện
0u
) và giải phương trình truyền nhiệt (do
0Pp
) theo công thức Duhamel, xem [3].
Định nghĩa 2.1. Một nghiệm mềm
u
của hệ phương trình Navier-Stokes thỏa mãn phương
trình tích phân
2.8
và do đó mà
, 0, : ,u t x C T PX
2.13
trong đó,
X
là không gian Banach gồm các hàm suy rộng mà trên đó nửa nhóm của phương
trình truyền nhiệt
e ; 0
tt
là liên tục mạnh và tích phân trong
2.8
là xác định tốt theo
nghĩa của Bochner.
Từ đánh giá
1/2
1
uC

ta có
0 0 1
0
d.
s
ss
t
H
HH
u t u C C u t


Nếu
sup ,
s
H
t
tu

ta thấy rằng, đối với
0,1 ,
1
0 1 0 1
01
dd
1 1 .
t
t C C t C C t
tt






Đánh giá trên cho ta một
đủ nhỏ,
1.t C t

Do vậy, chuẩn của
u
vẫn đóng trên một tập con compact của
0,
và ta biết rằng tồn tại thời gian cực đại của
nghiệm trong
s
H
, sau đó
*
T
(Như một vấn đề thực tế, ta còn chứng minh được chuẩn
s
H
vẫn bị chặn toàn cục trên
0,
).
2.2. Tính duy nhất nghiệm của hệ phƣơng trình Navier-Stokes
Tiếp theo ta sẽ đề cập đến định lý duy nhất của nghiệm trong lớp
3
0, : .C T L
Trước
tiên, để thuận lợi cho việc nghiên cứu định lý duy nhất nghiệm, ta nhắc lại ở đây các mệnh đề
dùng vào việc chứng minh định lý duy nhất.
Mệnh đề 2.1. (Đẳng thức năng lượng)
Giả sử rằng
0;T
và cho
23
0, ;u L T L
là một nghiệm của hệ phương
trình Navier-Stokes
,
0.
uu p u u
t
u
Giả sử rằng:
(i)
2 1 3
0, ; ,u L T H
(ii) Với một
3;q 
nào đó,
3
0, ;
pq
u L T L
với
1 1 3 .
22pq

Khi đó,
23
0, ;u C T L
và đẳng thức năng lượng
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
260
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
3
22
2
22
2 d d , ,
t
u t u x s u

đúng với tất cả
,t
thỏa mãn
0.tT
Mệnh đề 2.2. [1]
Giả sử
0;T 
và
12
,uu
là hai nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes đối với
1,2i
,
0.
i
i i i i
i
uu p u u
t
u
Giả sử rằng:
(i) Với
23
1,2, 0, ; ,
i
i u L T L

(ii) Với
2 1 3
1,2, 0, ; ,
i
i u L T H
(iii)Với mỗi giá trị
3;q
nào đó,
3
0, ;
pq
i
u L T L
với
1 1 3 .
22pq

Khi đó,
12
, , d ,t u t x u t x x
là liên tục trên
0;T
và ta có đẳng thức
3
33
1 2 1 2
1 1 2 1 2 2 1 2
, , d 2 d d
d d d d , , d ,
t
tt
u t x u t x x u u x s
u u u x s u u u x s u x u x x

với mọi
,t
sao cho
0.tT
(Phần chứng minh của mệnh đề có thể xem Mệnh đề 4.3, trong
1
).
Định lí 2.1. (Định lý duy nhất của Serrin)
Giả sử
23
0,uL
với
0u
. Giả thiết rằng tồn tại một nghiệm
u
của hệ phương
trình Navier-Stokes trên
3
0, , 0; ,TT 
với giá trị ban đầu
0
u
sao cho
(i)
23
0, ; ;u L T L
(ii)
2 1 3
0, ; ,u L T H
(iii) Với một
3;q 
nào đó,
3
0, ;
pq
u L T L
với
1 1 3 .
22pq

Khi đó,
u
là nghiệm Leray duy nhất liên kết với
0
u
trên
0, .T
Chứng minh.
Định lý 2.1 được suy trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.
Để chứng minh tính duy nhất của nghiệm yếu
u
của hệ phương trình Navier-Stokes trên
3
0, , 0; ,TT 
ta giả sử tồn tại một nghiệm
v
là một nghiệm theo Leray khác. Khi
đó, ta viết:
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH
Kỷ yếu Hội nghị KHCN lần 7, tháng 5/2022
261
33
3 3 3
3
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
00
22
00
2
02
0 0 0
2
0
, , , , 2 , , d
2 d d 2 d d
2 4 d d 2 d d 2 d d
2 d d 2 d d
tt
t t t
t
u t v t u t v t u t v t x
u u x s u v x s
u v v x s u u v x s u v v x s
u v v x s u u v v x s
 3
0
.
t

Hơn nữa, ta có:
3
0
d d 0.
t
u u v u x s

Mặt khác, với
3q
đặt
3
rq
, khi đó:
2 2 1 2/ .
rr
t x t t
v u L L L H L H
(do
1
1
3/2 2
2
1ˆ
2
r
r r r
HH
f f f f

).
Do đó,
2/r
tx
u v L L

với
11 ,
23
r

22
u v L L
và
qq
u L L
với
1 1 1 1 1
1, 1
2 2 2
r
qp
Với tất cả
0,tT
ta có
1
3
3
3
1/ 1/ 2 /2
2 2/
1/
11/
2
21
2
0
0
2
0
0
d d ds ds ds
' ds
d d sup ' ds
11
d d sup
22
r
pr
t t t t
pr
rq H H
p
t
p
rq
rp
tt
rp
rq
st
t
s
u u v v u x s C u v u v u
Cu
v u s x v u C u
rr
v u s x










 2
2
t
vu




Nếu
uv
trên
0,
và nếu
t
, ta có
1/
1' ds 1,
2
p
t
p
rq
rCu



nên ta được
1/
22
22
00
1
sup ' ds sup .
2
p
t
p
rq
s t s t
r
v u C u v u



Do đó,
uv
trên
0, .t
Khi
p
thì đây chính là tính duy nhất trên
0,T
.
Khi
p
ta phải giả thiết rằng
3
' 1,
rL
C u L
để suy ra tính duy nhất của nghiệm.