Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN:978-604-82-2548-3
145
TÍNH HÚT MŨ TRONG KHOẢNG THỜI GIAN HỮU HẠN
CHO BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG ĐA DIỆN CÓ TRỄ
Nguyễn Văn Đắc
Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Bao hàm thức vi phân có trễ là mô hình cho
nhiều bài toán khác nhau, điển hình là các bài
toán điều khiển có phản hồi đa trị. Nghiên cứu
sự tồn tại nghiệm và dáng điệu nghiệm là hai
trong số những trụ cột khi nghiên cứu định
tính về các hệ vi phân. Dáng điệu nghiệm
trong khoảng thời gian hữu hạn có ứng dụng
vào một số bài toán liên quan đến quá trình
sinh hóa (biochemical networks), quá trình
chuyển đổi tín hiệu, điều khiển trong khoảng
thời gian hữu hạn… ở đó các quá trình cần
quan sát chỉ xảy ra trong khoảng thời gian
ngắn. Từ đó nảy sinh hướng nghiên cứu về hệ
động lực thời gian hữu hạn, trong những năm
gần đây hướng nghiên cứu này đã thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Sử dụng khái niệm được nêu ra trong [2], tôi
đi tìm điều kiện đủ để nghiệm tầm thường của
hệ sau đây hút mũ trong trên [0; T]:
t
u (t) Au(t) F(t,u ), t [0,T] (1.1)
u(t) (t), t [ h, 0] (1.2)
với u lấy giá trị trong không gian Banach X,
A là toán tử sinh ra nửa nhóm liên tục mạnh
{S(t): t 0}, ut là hàm trễ của hàm u và
t 1 t 2 t n t
F(t, u ) co{f (t, u ); f (t,u ); ....; f (t,u )}
với các hàm đơn trị i t
f (t,u ), i 1,...,n
xác
định trên
[0,T] C([-h, 0];X)
. Hàm cho
trước và là dữ kiện đầu.
Sự tồn tại nghiệm của hệ (1.1)-(1.2) đã
được chỉ ra trong [1], trong bài báo này tôi
nghiên cứu về tính ổn định của nghiệm. Phần
còn lại của bài báo được sắp xếp như sau:
Trước hết, tôi nhắc lại một số kiến thức chuẩn
bị, sau đó nêu định nghĩa về tính hút mũ của
nghiệm và một điều kiện đủ cho tính hút mũ.
Cuối cùng là điều kiện đủ cho tính hút mũ của
nghiệm tầm thường cho hệ (1.1)-(1.2).
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sử dụng phương pháp nửa nhóm, phương
pháp ước lượng tiên nghiệm.
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.1. Kiến thức chuẩn bị
Cho
E
là không gian Banach. Các không
gian:
1
C([0;T];E), L (0, T;E)
lần lượt là không
gian các hàm liên tục và khả tích Bochner.
Ngoài ra, ta cần các khái niệm sau về nửa
nhóm (xem [3]).
Định nghĩa 1. Cho
t 0
{S(t)}
là một
0
C
-
nửa nhóm trên
E
,
t 0
{S(t)}
được gọi là:
i) ổn định mũ nếu tồn tại các số
M 1, 0
sao cho:
t
S(t) Me , t 0;
ii) compact nếu
S(t)
là toán tử compact
với mỗi
t 0
;
iii) liên tục theo chuẩn nếu
t S(t)
a là liên
tục với
t 0
.
Khái niệm về tính hút mũ của nghiệm cho
hệ (1.1)-(1.2) được tương tự hóa từ khái niệm
cho trường hợp vi phân thường được P. Giesl
và M. Rasmussen đưa ra trong [2]. Ở định
nghĩa dưới đây,
h
|| || C
được hiểu là chuẩn
trong
C([0;T];E)
và
S( )
là tập nghiệm của
(1.1)-(1.2) với điều kiện đầu
.
Định nghĩa 2. Giả sử
:[0,T] X
là một
nghiệm của hệ (1.1) - (1.2). Nghiệm
được
gọi là hút mũ trên
[0,T]
nếu:
