Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
294
XÁC ĐỊNH THAM SỐ FRACTAL TỪ ĐỘ THẤM TỶ ĐỐI
CỦA MÔI TRƯỜNG LỖ RỖNG
Nguyễn Mạnh Hùng, Lương Duy Thành
Trường Đại học Thủy lợi, email: nguyenmanhhung@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Độ thấm của môi trường lỗ rỗng là một
tham số quan trọng, đặc trưng cho khả năng
truyền dẫn nước. Độ thấm có vai trò quan
trọng trong thuỷ văn, nông nghiệp, địa kỹ
thuật, khai thác dầu khí, v.v. Kết quả thực
nghiệm chỉ ra độ thấm phụ thuộc vào đặc
điểm của môi trường lỗ rỗng như kích thước
lỗ rỗng, sự phân bố lỗ rỗng, sự kết nối giữa
chúng, độ rỗng, độ bão hoà v.v. [1, 2]. Có
nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên
cứu các hiện tượng truyền dẫn nói chung và
hiện tượng thấm nói riêng trong môi trường
lỗ rỗng như phương pháp trung bình thể tích,
phương pháp môi trường hiệu dụng, v.v.. Tuy
nhiên, một trong các phương pháp đơn giản
và được sử dụng phổ biến là phương pháp
mô hình ống mao dẫn (OMD) [1-4]. Có nhiều
công bố liên quan đến độ thấm của môi
trường lỗ rỗng sử dụng mô hình OMD dưới
điều kiện bão hoà [2] và chưa bão hoà [1, 4].
Các công bố đó đều tập trung vào việc tính
độ thấm từ đặc điểm của môi trường lỗ rỗng.
Tuy nhiên, như tìm hiểu của chúng tôi, chưa
có một công bố nào đề xuất tính tham số
fractal D từ mối quan hệ giữa độ thấm tỷ đối
và độ bão hoà của môi trường. Cần chú ý
rằng, tham số D thường được xác định bằng
thực nghiệm qua phương pháp đếm hộp [1].
Do vậy, trong báo cáo này, chúng tôi xây
dựng mô hình cho độ thấm và độ thấm tỷ đối
của môi trường lỗ rỗng dưới điều kiện chưa
bão hòa sử dụng mô hình OMD. Mô hình thu
được được so sánh và kiểm chứng với các số
liệu thực nghiệm đã công bố. Ngoài ra, từ mô
hình thu được, chúng tôi đề xuất tính tham số
fractal D từ kết quả thực nghiệm cho độ thấm
tỷ đối.
2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong trường hợp tổng quát, môi trường lỗ
rỗng được cấu thành bởi ba pha vật chất: pha
rắn (các hạt khoáng chất), pha lỏng (nước) và
pha khí (không khí). Tùy theo hàm lượng
nước có trong lỗ rỗng, mà độ bão hòa (độ bão
hòa Sw là tỷ số giữa thể tích của nước chứa
bên trong các lỗ rỗng và thể tích tổng cộng
của các lỗ rỗng trong môi trường) khác nhau
và các hiện tượng xảy ra trong đó cũng có thể
khác nhau. Môi trường lỗ rỗng khô được cấu
thành bởi hai pha rắn và pha khí, nên độ bão
hòa Sw = 0. Ngược lại, môi trường có các lỗ
rỗng chứa lấp đầy nước được cấu thành bởi
hai pha rắn và lỏng, độ bão hòa Sw = 1. Môi
trường lỗ rỗng chưa bão hòa (một phần lỗ
rỗng vẫn còn chứa khí) được cấu thành bởi
ba pha rắn, lỏng và khí nên độ bão hòa có giá
trị trong khoảng 0 < Sw < 1). Hình 1 minh
họa môi trường lỗ rỗng bão hoàn toàn và
chưa bão hòa.
Hình 1. Minh họa môi trường
lỗ rỗng bão hòa hoàn toàn (bên trái)
và chưa bão hòa (bên phải)
Sử dụng phương pháp tương tự như trình
bày trong công bố [2], chúng tôi xét một khối
lỗ rỗng cơ sở hình lập phương (REV) có chiều
dài L0 (m) và tiết diện ngang AREV (m2) vuông
góc với hướng dòng chảy (hình 2). Theo mô
hình OMD, khối REV được coi gần đúng như
tập hợp của các ống mao dẫn hình trụ song
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
295
song với nhau có chiều dài không đổi Lτ (m)
và có bán kính thay đổi từ giá trị nhỏ nhất rmin
(m) đến giá trị lớn nhất rmax (m). Hàm phân bố
theo kích thước f(r) được định nghĩa là hàm
sao cho số ống mao dẫn có bán kính trong
khoảng từ r đến r + dr được cho bởi f(r)dr [2].
Hình 2. Môi trường lỗ rỗng gần đúng
như tập hợp của các ống mao dẫn song song
Theo phân bố fractal, hàm f(r) được cho
bởi [1, 2]:
1
max
)(
DD rDrrf (1)
trong đó: D (1 < D < 2) là tham số fractal,
đặc trưng cho phân bố lỗ rỗng.
Giả sử khối REV ban đầu ở trạng thái bão
hòa hoàn toàn (các ống mao dẫn chứa đầy
nước). Sau đó, dưới tác dụng của áp lực h
(m), khối REV trở nên không bão hòa do
nước bắt đầu chảy ra khỏi môi trường xốp.
Khi h tăng, nước chảy ra khỏi khối REV càng
nhiều và do đó độ bão hòa giảm.
Đối với một ống mao dẫn đơn lẻ, mối liên
hệ giữa bán kính ống giới hạn rh và áp lực h
được cho bởi phương trình Young-Laplace
[3, 4]:
h
s
gr
T
h
cos2
(2)
trong đó: Ts (N/m) là hệ số sức căng mặt
ngoài của chất lỏng, β (
o) là góc mép, ρ
(kg/m3) là khối lượng riêng của chất lỏng và
g (m/s2 ) là gia tốc trọng trường. Do đó, dưới
tác dụng của áp lực h, nước sẽ rút ra khỏi ống
mao dẫn khi bán kính r của nó lớn hơn bán
kính rh được cho bởi (2). Nói một cách khác,
dưới tác dụng của áp lực h, nước sẽ nằm
trong các ống mao dẫn có bán kính trong
khoảng từ rmin đến rh và sẽ chảy ra khỏi các
ống mao dẫn có bán kính trong khoảng từ rh
đến rmax.
Áp dụng phương pháp tương tự như trình
bày trong công bố [2] cho trường hợp chưa
bão hoà (chỉ tính các ống chứa nước tham gia
vào sự thấm của môi trường có bán kính từ
rmin đến rh), chúng tôi thu nhận biểu thức
tổng quát cho độ thấm trong trường hợp chưa
bão hoà:
min
max
min
4
2
2
()
8()
h
r
r
r
r
rfrdr
k
rfrdr
(3)
trong đó: ϕ và τ là độ rỗng và độ uốn khúc
của môi trường (theo định nghĩa τ = Lτ /L0 > 1).
Kết hợp phương trình (1) và (3), chúng tôi
thu nhận biểu thức độ thấm cho trường hợp
chưa bão hoà như sau:
44
min
222
max min
2
84
D
D
h
D
D
rr
D
kDr r

(4)
Mặt khác, độ bão hoà hiệu dụng Swe của
môi trường liên hệ với bán kính rh qua biểu
thức [3]:
22
min
we 22
max min
DD
h
DD
rr
Srr
(5)
Kết hợp (4) và (5), chúng tôi thu nhận:
4
22
2
2
max
we 22
(1 )
2
()84 1
D
DD
D
we
D
S
rD
kS D




 (6)
trong đó α = rmin/rmax. Khi bão hoà hoàn toàn,
Swe = 1, biểu thức (6) trở thành:
24
max
we 22
21
(1)
84 1
D
D
rD
kS
D


  (7)
Mặt khác, theo định nghĩa, độ thấm tỷ đối
được cho bởi [1, 3]:
w
rel
w
()
(1)
e
e
kS
kkS
(8)
Đối với môi trường lỗ rỗng tự nhiên như
đất, đá thì rmin << rmax hay α → 0 [3, 4]. Do
đó, biểu thức cho độ thấm tỷ đối có dạng:
4
02
rel w
D
D
e
kS
(9)
Khi tính đến độ bão hoà dư Sr, độ bão hoà
hiệu dụng Swe liên hệ với độ bão hoà Sw qua
biểu thức [3]: Swe = (Sw- Sr)/ (1- Sr). Cần chú
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5
296
ý rằng biểu thức (9) có dạng giống mô hình
thực nghiệm được sử dụng rộng rãi được đề
xuất bởi Brooks và Corey [5].
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Biểu thức (6) và (9) là các kết quả chính của
báo cáo này. Nó chỉ ra sự phụ thuộc của độ
thấm của môi trường chưa bão hoà và độ thấm
tỷ đối vào kích thước lỗ rỗng (rmin và rmax ), sự
phân bố lỗ rỗng (D), độ rỗng (ϕ), độ uốn khúc
(τ) và độ bão hoà (Swe) của môi trường.
Hình 3. Sự thay đổi của độ thấm tỷ đối
theo độ bão hoà cho mẫu cát mịn [6]
và cho mẫu đá trầm tích Berea [7]
Do hạn chế về số trang báo cáo, chúng tôi
tập trung vào việc sử dụng biểu thức (9) để
tìm tham số D từ mối quan hệ krel-Swe thực
nghiệm. Cụ thể, hình 3 chỉ ra sự phụ thuộc
thực nghiệm của krel vào Sw (hình vuông
xanh) cho các mẫu cát mịn [6] và đá trầm
tích Berea [7]. Độ bão hoà dư Sr được công
bố trong [6] và [7] lần lượt là 0.17 và 0.18.
Từ biểu thức (9), chúng tôi có thể tái tạo lại
kết quả thực nghiệm trong [6] và [7] (vòng
tròn đỏ). Do tham số D chưa biết nên chúng
tôi xác định chúng qua hàm fminsearch trong
Matlab sao cho sai số giữa mô hình và thực
nghiệm nhỏ nhất. Kết quả chỉ ra D = 1.35 cho
mẫu cát mịn và D = 1.3 cho mẫu đá trầm tích.
Giá trị của D tìm được phù hợp khá tốt với
các giá trị đã công bố [8].
4. KẾT LUẬN
Chúng tôi đã xây dựng mô hình cho độ
thấm của môi trường lỗ rỗng dưới điều kiện
chưa bão hoà sử dụng mô hình OMD. Kết
quả chỉ ra sự phụ thuộc của độ thấm vào tính
chất của môi trường (kích thước lỗ rỗng, độ
rỗng, phân bố lỗ rỗng, độ uốn khúc) cũng
như độ bão hoà. Tiếp đó, mô hình được so
sánh với số liệu thực nghiệm đã được công
bố cho hai mẫu (cát mịn và đá trầm tích). Từ
đó, chúng tôi có thể xác định được tham số
fractal D từ mối quan hệ krel-Swe thực nghiệm.
Giá trị của D tìm được phù hợp tốt với các
giá trị đã công bố cho các mẫu tương tự.
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Jougnot et al. (2021). Predicting water flow
in fully and partially saturated porous media:
a new fractal based permeability model.
Hydrogeology Journal, 29(6), 2017-2031.
[2] Hùng, N. M., Nghĩa, N. V., Tân, P. M., &
Thành, L. D. (2023). Mô hình tính độ thấm
của môi trường lỗ rỗng dưới điều kiện bão
hòa. Journal of Military Science and
Technology, (FEE), 141-148.
[3] Solazzi, S. G., Thanh, L. D., Hu, K., &
Jougnot, D. (2022). Modeling the
Frequency‐Dependent Effective Excess
Charge Density in Partially Saturated
Porous Media. Journal of Geophysical
Research: Solid Earth, 127(11).
[4] Soldi, M., Guarracino, L., & Jougnot, D.
(2017). A simple hysteretic constitutive
model for unsaturated flow. Transport in
Porous Media, 120, 271-285.
[5] Brooks, R.H. and Corey, A.T. (1964).
Hydraulic properties of porous media,
Colorado State University.
[6] Tuli, A., & Hopmans, J. W. (2004). Effect
of degree of fluid saturation on transport
coefficients in disturbed soils. European
Journal of Soil Science, 55(1), 147-164.
[7] Li, K., & Horne, R. N. (2006). Comparison
of methods to calculate relative
permeability from capillary pressure in
consolidated water‐wet porous media.
Water resources research, 42(6).
[8] Xia, Y., Cai, J., Wei, W. E. I., Hu, X.,
Wang, X. I. N., & Ge, X. (2018). A new
method for calculating fractal dimensions of
porous media based on pore size
distribution. Fractals, 26(01), 1850006.