Biên soạn và giảng dạy: Lê Trọng Duy _ http://hocmaivn.com
Chuyên đề : Động học vật rắn luyện thi HSG Casio
Bài 1: Một cánh quạt bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau 5s (từ lúc bắt đầu quay) nó
quay được một góc 50rad. Tính tốc độ góc và gia tốc góc tại thời điểm t = 10s ?
Giải :
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu 0
0
. Chọn chiều dương là
chiều quay của vật rắn.
- Áp dụng công thức:
2
0 0
1
t t
2
, trong đó: 0
0
, vì vận rắn bắt đầu quay nên tốc độ góc ban đầu
0
0
. Suy ra:
2 2
1 2 2.50
t 4rad / s
2 t 5
. Vì cánh quạt quay với gia tốc góc không đổi nên tại thời
điểm t = 10s gia tốc góc của cánh quạt bằng 4rad/s2.
- Áp dụng công thức: 0
t 0 t 4.10 40rad / s
.
Bài 2: Một bánh xe đang quay đều quanh một trục cố định với tốc độ góc 20rad/s thì chịu một lực hãm tác dụng
và chuyển động quay chậm dần đều với gia tốc góc 10 rad/s2. Tính thời gian từ khi bánh xe chịu lực hãm tác
dụng đến lúc dừng lại và góc quay trong khoảng thời gian đó?
Giải :
- Áp dụng công thức: 0
t
, trong đó 0
20rad / s
, vì bánh xe quay chậm dần đều nên
2
10rad / s
.
Khi bánh xe dừng lại thì 20
0 0 20 10t t 2s
10
. Vậy sau 2s thì bánh xe dừng lại.
- Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm bánh xe bắt đầu chịu lực hãm tác dụng, toạ độ góc ban đầu 0
0
.
Chọn chiều dương là chiều quay của vật rắn.
Áp dụng công thức: 2 2
0 0
1 1
t t 0 20.2 .4.2 32rad.
2 2
Bài 3: Một thanh kim loại đồng chất có tiết diện nhỏ so với chiều dài l = 2m của thanh. Tác dụng một momen
lực 20N.m vào thanh thì thanh quay quanh trục cố định đi qua điểm giữa và vuông góc với thanh với gia tốc góc
4rad/s2. Bỏ qua ma sát ở trục quay và các mọi lực cản. Xác định khối lượng của thanh kim loại đó?
Giải :
- Ta có phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
M = I.
2
M 20
I 5kg.m
4
.
- Áp dụng công thức tính momen của vật rắn : 2
2
1 12I 12.5
I ml m 15kg
12 4
l
.
Bài 4: Một vật hình cầu đặc đồng chất có bán kính R = 1m và momen quán tính đối với trục quay cố định đi
qua tâm hình cầu là 6kg.m2. Vật bắt đầu quay khi chịu tác dụng của một momen lực 60N.m đối với trục quay.
Bỏ qua mọi lực cản. Tính thời gian để từ khi chịu tác dụng của momen lực đến lúc tốc độ góc đạt giá trị bằng
100rad/s và khối lượng của vật
Giải :
- Áp dụng công thức tính momen của vật rắn hình cầu: 2
2 2
2 5I 5.6
I mR m 15kg
5
2R 2.1
.
- Theo phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một trục:
M = I.
2
M 60
10rad / s
I 6
. Mặt khác 0
t 100 0 10t t 10s.
Biên soạn và giảng dạy: Lê Trọng Duy _ http://hocmaivn.com
Bài 5: Một vật rắn bắt đầu quanh nhanh dần đều quanh một trục cố định, sau 6s nó quay được một góc bằng 36
rad.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm t = 10s tính từ lúc bắt đầu quay.
c) Viết phương trình và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian?
d) Giả sử tại thời điểm t =10s thì vật rắn bắt đầu quay chậm dần đều với gia tốc góc có giá trị bằng gia tốc góc
ban đầu. Hỏi vật rắn quay thêm được một góc bằng bao nhiêu thì dừng lại ?
Giải :
Chọn mốc thời gian t = 0 tại thời điểm vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu 0
0
.
Chọn chiều dương là chiều quay của vật rắn.
a) Tính gia tốc góc
- Áp dụng công thức:
2
0 0
1
t t
2
, trong đó: 0
0
, vì vận rắn bắt đầu quay nên
tốc độ góc ban đầu 0
0
. Suy ra:
2 2
2 2
1 2 2.36
t 2rad / s
2 t 6
.
b) Tính toạ độ góc và tốc độ góc của bánh xe ở thời điểm sau khi quay được 10s
- Ta có 2 2
1 1
t .2.10 100rad
2 2
.
- Tốc độ góc được xác định: 0
t 0 2.10 20rad / s
.
c) Phương trình biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian có dạng
2
0 0
1
t t
2
. Mặt khác, 0
0
, 0
0
và theo Bài a) ta có
2
2rad / s
suy ra:
2
t
.
- Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của toạ độ góc của vật rắn theo thời gian chính là đồ thị của hàm số
2
t
, đồ
thị hàm số là nửa nhánh parabol đi qua gốc toạ độ như hình vẽ.
d) Áp dụng công thức:
2 2
0 0
2 2 .

, trong đó
0
là tốc độ góc tại thời điểm vật rắn dừng
quay,
0
là tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm khi bắt đầu quay chậm dần đều và cũng chính là tốc độ góc của
vật rắn khi quay nhanh dần đều tại thời điểm t = 10 s.

là góc mà vật rắn quay được khi tốc độ góc biến thiên
từ
0
đến
, hay chính là góc mà vật rắn quay được tính từ lúc bắt đầu quay chậm dần đều cho đến lúc dừng
hẳn.
là gia tốc góc của vật rắn trong thời gian quay chậm dần đều nên
2
2rad / s
. Thay số ta được
2 2 2
00 20
100rad
2 2.( 2)

.
Bài 6: Một vật rắn có thể quay quanh một trục cố định đi qua trọng tâm. Vật rắn bắt đầu quay khi chịu tác dụng
của một lực không đổi F = 2,4 N tại điểm M cách trục quay một đoạn d = 10cm và luôn tiếp tuyến với quỹ đạo
chuyển động của M. Sau khi quay được 5s thì tốc độ góc của vật rắn đạt giá trị bằng 30rad/s. Bỏ qua mọi lực
cản.
a) Tính momen quán tính của vật rắn đối với trục quay của nó ?
b) Tính tốc độ góc của vật rắn tại thời điểm t1 = 10s ?
c) Giả sử tại thời điểm t1 = 10s vật rắn không chịu tác dụng của lực F thì vật rắn sẽ chuyển động như thế nào?
Tính toạ độ góc tại thời điểm t2 = 20s ? Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc vật rắn bắt đầu quay, toạ độ góc ban đầu
của vật rắn bằng 0 và chiều dương là chiều quay của vật rắn.
Giải :
a) Ta có
2
0
30
t 0 t 6rad / s
t 5
. Mặt khác momen lực tác dụng lên vật rắn được xác định:
2
F.d 2,4.0,1
M F.d I I 0,04kg.m
6
.
b) Áp dụng công thức: 0
t 0 6.10 60rad / s
.
t (s)
(rad)
O
Biên soạn và giảng dạy: Lê Trọng Duy _ http://hocmaivn.com
c) Tại thời điểm t1 = 10s, vật rắn không chịu tác dụng của lực F nên M = 0, suy ra I.
=0
0
. Vậy vật rắn
chuyển động quay đều với tốc độ góc bằng 60rad/s.
- Để tính toạ độ góc tại thời điểm t2 = 20 s, ta tính góc quay
1
của vật rắn trong quá trình vật rắn quay nhanh
dần đều trong khoảng thời gian t1 = 10s và góc quay
2
của vật rắn trong quá trình vật rắn chuyển động quay
đều trong khoảng thời gian t2 – t1 = 20 -10 =10s. Toạ độ góc của vật rắn tại thời điểm t2 = 20s được xác định :
1 2
.
Ta có : 2 2 2
1 0 0
111
t t t .6.10 300rad
2 2 2
2
t 60.10 600rad
Suy ra: 1 2
300 600 900rad
.
Bài 7: Một ròng rọc là một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm và có momen quán tính đối với trục quay
đi qua tâm bằng 0,05kgm2. Ròng rọc bắt đầu chuyển động quay nhanh dần đều khi chịu tác dụng của lực không
đổi F = 1 N tiếp tuyến với vành của ròng rọc (như hình vẽ). Bỏ qua ma sát giữa ròng rọc với trục quay và lực
cản không khí.
a) Tính khối lượng của ròng rọc?
b) Tính gia tốc góc của ròng rọc?
c) Tính tốc độ góc của ròng rọc sau khi đã quay được 10 s ?
d) Tại thời điểm ròng rọc đã quay được 10s lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu nhưng độ lớn vẫn giữ
nguyên. Hỏi sau bao lâu thì ròng rọc dừng lại?
Giải:
a) Áp dụng công thức: 2
2 2
1 2I 2.0,05
I mR m 2,5kg
2R 0,2
b) Ta có:
2
F.d F.R 1.0,2
M F.d I 4rad / s
I I 0,05
.
c) Áp dụng công thức: 0
t 0 4.10 40rad / s
.
d) Khi lực F đổi ngược chiều với chiều ban đầu thì momen của lực F đóng vai trò là momen cản. Chọn mốc thời
gian t = 0 lúc lực F đổi chiều ngược với chiều ban đầu thì tốc độ góc ban đầu (xét quá trình chuyển động của vật
rắn khi lực F đã đổi chiều) của ròng rọc bằng tốc độ góc của ròng rọc tại thời điểm 10s khi lực chưa đổi chiều.
Momen cản của lực F gây ra một gia tốc góc bằng gia tốc góc của ròng rọc lúc chưa đổi chiều nhưng có giá trị –
4rad/s2.
Áp dụng công thức: 0
t 0 40 4.t t 10s
. Vậy sau 10s ròng rọc có tốc độ góc bằng 0.
Bài 8: Cho cơ hệ như hình vẽ, vật nặng có khối lượng m = 2kg được nối với sợi dây quấn quanh
một ròng rọc có bán kính R = 10cm và momen quán tính I = 0,5kg.m2. Dây không dãn, khối
lượng của dây không đáng kể và dây không trượt trên ròng rọc. Ròng rọc có thể quay quanh trục
quay đi qua tâm của nó với ma sát bằng 0. Người ta thả cho vật nặng chuyển động xuống phía
dưới với vận tốc ban đầu bằng 0. Lấy g = 10m/s2.
a) Tính gia tốc của vật nặng m?
b) Tính lực căng của dây?
c) Từ lúc thả đến lúc vật nặng chuyển động xuống một đoạn bằng 1m thì ròng rọc quay được một
góc bằng bao nhiêu?
d) Xác định tốc độ góc của ròng rọc tại thời điểm vật nặng đã chuyển động được 1m sau khi thả?
Giải:
- Chuyển động của vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của ròng rọc là chuyển động
quay quanh một trục cố định.
- Phân tích lực tác dụng vào vật nặng và ròng rọc như hình vẽ. Trọng lực và phản lực của trục
quay tác dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.
Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh tiến của vật nặng ta được:
mg – T = ma(1)
F
T
T
P
r
P
r
Q
Biên soạn và giảng dạy: Lê Trọng Duy _ http://hocmaivn.com
Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
M = TR = I
(2)
Mặt khác, ta lại có:
a
R
, thay vào (2) và rút T ra:
2
I Ia
T
R R
.
a) Tính gia tốc a của vật nặng
Thay T vào (1) ta được:
2
2
2 2 2
Ia
ma ma
R
mg 1 1
a g 10 0,385m / s
I I 0,5
m 1 1
R mR 2.0,1
b) Tính lực căng T
Ta có: 2 2
I Ia 0,5.0,385
T 19, 25N
R R 0,1
c) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cho vật nặng chuyển động, toạ độ góc ban đầu của ròng rọc
0
0
. Vật nặng bắt đầu chuyển động nên 0
v 0
và tốc độ góc ban đầu của ròng rọc 0
0
.
Áp dụng công thức tính đường đi cho vật nặng chuyển động tịnh tiến:
2 2
0
1 1 2
s v t at 1 0 0,385.t t
2 2 0,385
s.
Gia tốc góc của ròng rọc:
2
a 0,385
3,85rad / s
R 0,1
.
Trong khoảng thời gian 2
t s
0,385
vật nặng chuyển động được đoạn đường s = 1m thì ròng rọc quay được
một góc
.
được tính theo công thức tính toạ độ góc của ròng rọc:
2
2 2
0 0
1 1 1 2 3,85.2
t t t .3,85. 10rad
2 2 2 0,385 2.0,385
.
d) Áp dụng công thức: 0
2
t 0 3,85. 77rad / s
0,385
.
Bài 9: Một người đứng trên ghế xoay (ghế giucôpxky), hai tay cầm hai quả tạ áp sát vào ngực. Khi người và
ghế đang quay với tốc độ góc 1
10rad / s
thì người ấy dang tay đưa hai quả tạ ra xa người. Bỏ qua mọi lực
cản. Biết rằng momen quán tính của hệ ghế và người đối với trục quay khi chưa dang tay bằng 5kg.m2, và
momen quán tính của hệ ghế và người đối với trục quay khi dang tay là 8kg.m2.
a) Xác định momen động lượng và động năng của hệ ghế và người khi chưa dang tay?
b) Xác định tốc độ góc của hệ người và ghế khi đã dang tay và động năng của hệ khi đó?
Giải:
a) Tính momen động lượng và động năng của hệ gồm người và ghế.
- Áp dụng công thức tính momen động lượng của hệ: 2
1 1 1
L I 10.5 50kg.m / s
- Áp dụng công thức tính động năng của hệ: 2 2
1 1 1
1 1
W I .5.10 250J
2 2
b) Vì bỏ qua mọi lực cản, trọng lực của người và ghế cân bằng với phản lực nên tổng momen lực tác dụng vào
hệ bằng 0. Suy ra tổng momen động lượng của hệ được bảo toàn:
1 1
1 2 1 1 2 2 2 2
I 5.10
L L I I 6,25rad / s
I 8
.
Suy ra động năng của hệ sau khi đã dang tay là: 2 2
2 2 2
1 1
W I .8.6, 25 156, 25J
2 2
.
Biên soạn và giảng dạy: Lê Trọng Duy _ http://hocmaivn.com
Bài 10: Cho cơ hệ như hình vẽ. Hai vật A và B được nối qua sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể vắt
qua ròng rọc. Khối lượng của A và B lần lượt là mA = 2kg, mB = 4kg. Ròng rọc có bán kính là R = 10cm và
momen quán tính đối với trục quay của ròng rọc là I = 0,5kg.m2. Bỏ qua mọi lực cản, coi rằng sợi dây không
trượt trên ròng rọc và lấy g = 10m/s2. Người ta thả cho cơ hệ chuyển động với vận tốc ban đầu của các vật bằng
0.
a) Tính gia tốc của hai vật?
b) Tính gia tốc góc của ròng rọc?
c) Tính lực căng ở hai bên ròng rọc?
d) Tính tổng momen lực tác dụng vào ròng rọc?
e) Từ lúc thả đến lúc cơ hệ chuyển động được 2s thì tốc độ góc của ròng rọc bằng bao nhiêu? Khi đó ròng rọc
quay được một góc bằng bao nhiêu?
Giải :
- Chuyển động của hai vật nặng là chuyển động tịnh tiến, chuyển động của ròng rọc là chuyển động quay quanh
một trục cố định. Vì PB > PA nên vật A chuyển động đi lên, vật B chuyển động đi xuống.
- Phân tích lực tác dụng vào ròng rọc và các vật A và B như hình vẽ. Trọng lực của ròng rọc và phản lực của
trục quay tác dụng vào ròng rọc cân bằng nhau.
- Áp dụng định luật II Niu – tơn cho chuyển động tịnh tiến của hai vật nặng ta được:
A A A
T P m a
(1)
B B B
P T m a
(2)
- Áp dụng phương trình động lực học cho ròng rọc chuyển động quay quanh một trục cố định ta được:
B A
M T T R I
(3)
- Vì sợi dây không trượt trên ròng rọc nên:
a
R
(4)
a) Thay (4) vào (3) ta được:
B A B A
2 2
a a
T T I T T I
R R
, thay TB vào (2) ta được:
B A B B A B
2 2
a I
P T I m a P T m a
R R
(2’)
Giải hệ hai phương trình (1) và (2’): B A B
2
A A A
I
P T m a
R
T P m a
B A
A B
2
P P
a
I
m m
R
Thay số ta tính được gia tốc của hai vật: a = 0,357m/s2.
b) Thay a = 0,357m/s2 vào (4):
2
a 0,357
3,57rad / s
R 0,1
.
c) Thay a = 0,357m/s2 vào (1): AAA
T m a P 2.0,357 2.10 20,714N
.
Thay a = 0,357m/s2 vào (2): B B B
T P m a 4.10 4.0,357 38,572N
.
d) Tổng momen lực tác dụng vào ròng rọc là:
M I 0,5.3,57 1,785N.m
e) Chọn mốc thời gian t = 0 là lúc bắt đầu thả cơ hệ chuyển động, toạ độ góc ban đầu của ròng rọc 0
0
. Cơ
hệ bắt đầu chuyển động nên tốc độ góc ban đầu của ròng rọc 0
0
.
- Áp dụng công thức tính tốc độ góc của ròng rọc:
0
t 0 3,57.2 7,14rad / s
.
- Áp dụng công thức tính toạ độ góc của ròng rọc:
2 2 2
0 0
1 1 1
t t t .3,57.2 7,14rad
2 2 2
.
Bài 11: Cho hai vật A và B có khối lượng của A và B lần lượt là mA = 2kg, mB =
6kg được nối qua sợi dây không dãn, khối lượng không đáng kể vắt qua hai ròng
rọc như hình bên. Ròng rọc 1 có bán kính R1 = 10cm và momen quán tính đối với
A
T
B
T
A
P
B
T
B
P
A
T
T
T
A
T
B
T
A
P
r
P
r
Q
B
T
B
P
A
T