Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
37
Chương 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
ROOTS OF NONLINEAR EQUATIONS
4.1 Giải gần đúng phương trình
Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0, ta phải tách nghiệm.
Giả sử trong khoảng [a,b] hàm f(x) liên tục cùng với các đạo hàm f’(x), f”(x),
của nó. Các giá trị f(a), f(b) là giá trị của hàm tại các điểm mút của đoạn này f(a).f(b)
< 0 và f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a , b].
Đôi khi để cho thuận lợi, viết lại: f(x) = 0
(x) = (x).
Nghiệm thực của phương trình f(x) = 0 là giao điểm của đồ thị các hàm y =
(x) và y = (x).
4.1.1 Phương pháp dây cung
Thay cung AB của y = f(x) bởi dây cung AB, lấy x1 tại giao điểm P của dây
cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệm chính xác . Phương trình dây
cung AB:
ab
aX
)a(f)b(f
)a(fY
Tại P ta có: Y = 0, X = x1,
nên: ab
ax
)a(f)b(f
)a(f 1
Suy ra: x1 = a - )a(f)b(f
)a(bf)b(af
)a(f)b(f
)a(f)ab(
Sau khi tính được x1 ta xét được khoảng phân li nghiệm mới là [a,x1] hay
[x1,b] rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân li mới, tiếp tục ta
được x2, x3, x4 ngày càng gần đến nghiệm chính xác .
Sai số ước lượng: 3
1)]x('f[
)x("f
max
2
)b(f).a(f
x
x
y
O
A
B
a
b
P
X1
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
38
Ví dụ: Tìm nghiệm trong khoảng (1,1;1,4) của phương trình:
f(x)= x3-0,2x2-0,2x-1,2 =0
Bằng phương pháp lặp dây cung(Với 2 lần lặp)
Giải:
x1 = x0-)4,1()(
)4,1)((
0fxf
xxf oo
=1,1- )4,1()1,1(
)4,11,1)(1,1(
ff
f
=1,1- 18254,1
872,0331,0
)3,0)(331,0(
f(x1)=f(1,18254)=-0,06252
x2 = x1-)4,1()(
)4,1)((
1
11
fxf
xxf
=1,18254- 19709,1
872,006252,0
)4,118254,1)(06252,0(
4.1.2 Phương pháp Newton-Raphson
Còn gọi là phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến.
Xét phương trình f(x) = 0
Khai triển Taylor hàm f(x) tại lân cận x0:
f(x) = f(x0) + (x - x0) f’(x0) +
)(
)!1(
)(
)(
!
)(
....)("
!2
)( 1
1
0
0
0
0
2
0Cf
n
xx
xf
n
xx
xf
xx n
n
n
n
Với: C = x0 + (x - x0), với: 0 < < 1, có nghĩa: x0 < C < x
Bây giờ ta chỉ lấy số hạng bậc 1 của chuỗi Taylor:
f(x0) + ( x - x0).f’(x0) = 0 (4.1)
Gọi x1 là nghiệm của (4.1), ta có: x1 = x0 - )x('f
)x(f
0
0
Tương tự: x2 = x1 - )x('f
)x(f
1
1 ,…, xn + 1 = xn - )x('f
)x(f
n
n , với x0 [a,b]
Vì (4.1) dùng thay cho phương trình f(x) = 0, nó tuyến tính đối với x nên
phương pháp Newton cũng gọi là phương pháp tuyến tính hóa, f’(x0) chính là hệ số
góc của y = f(x) tại x0 .
Tại B(x0, f(x0)).
Y - f(x0) = f’(x0).(X - x0) ,
tại P : x = x1 ; Y = 0 đó chính là phương trình (4.1)
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
39
Hội tụ và sai số
Người ta sẽ áp dụng phương
pháp lặp Newton nếu nghiệm
xn khi n
Định lý:
Giả sử [a,b] là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình:f(x) = 0, f có đạo hàm f’,
f” với f’ liên tục trên [a,b], f’ và f” không
đổi dấu trên (a, b). Xấp xỉ đầu x0 chọn là a
hay b sao cho f(x0) cùng dấu với f”.
Khi đó xn khi n .
Cụ thể hơn xn đơn điệu tăng tới nếu f’.f” < 0, và xn đơn điệu giảm tới nếu
f’.f” > 0 .
Sai số: n
x
<
m
)x(f n , với: 0 < m < )(
,
n
xf và x b
Trường Hợp Lặp Newton - Raphson Không Có Hiệu Quả (hàm 1 biến)
Ví dụ:
Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình
f(x)= 2x -4x
Bằng phương pháp Newton – Raphson với 3 lần lặp (cho x0 = 0,3)
x
o
x
1
f(x)
f(x)
x2
x0
x1
x2
x
x
f(x)
X0 X1
X
x
f(x)
O
x0 x3 x1
x4 x2
x
y
a
b
p
O
M
A
B
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
40
4.2 Giải hệ phương trình phi tuyến
Ở đây ta đi giải hệ phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp Newton-Raphson
Từ khai triển Taylor cho bài toán một biến:
f(xi + 1) = f(xi) + f’(xi)(xi + 1- xi) + 2
i1i )xx(
!
2
)("f
vì f(xi + 1) = 0
Tổng quát hoá cho bài toán 2 biến (hàm 2 biến):
i
i
i1i
i
i
i1ii1i
i
i
i1i
i
i
i1ii1i
y
v
).yy(
x
v
).xx(vv
y
u
).yy(
x
u
).xx(uu
)2.4(
)2.4(
b
a
Từ (4.2a) và (4.2b) ta có:
x
v
.
y
u
y
v
.
x
u
x
v
u
x
u
v
yy
x
v
.
y
u
y
v
.
x
u
y
u
v
y
v
u
xx
iiii
i
i
i
i
i1i
iiii
i
i
i
i
i1i
)3.4(
)3.4(
b
a
Mẫu số của (4.3a) và (4.3b) gọi là định thức Jacobien (detJ), của hệ thống:
y
v
x
v
y
u
x
u
detJdet
ii
ii
Một cách tổng quát cho phương trình: f(x)=0
Với x = [x1,x2,....,xn]T và f = [f1,f2,....,f n]T
Phương pháp lặp Newton-Raphson cho hệ phương trình n ẩn này là:
x(k+1) = x(k) -Fx-1(x(k)).f(x(k))
Với ma trận Jacobi Fx như sau:
Fx=
n
n
2
n
1
n
n
2
2
2
1
2
n
1
2
1
1
1
x
f
.........
x
f
x
f
x
f
.........
x
f
x
f
x
f
........
x
f
x
f
)x('f
)x(f
xx
i
i
i1i
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính Trang:
41
Ví dụ:
Hãy tính lặp theo phương pháp Newton- Raphson
1. Cho f(x) = e-x - x , với x0 = 0 (điểm ban đầu)
Giải : Ta có f’(x) = - e-X - 1 , xi + 1 = xi - 1e
xe
i
i
x
i
x
Ta lập được bảng tính:
i xi (%)
0 0 100
1 0, 5 0 0 0 0 0 0 0 0 11,8
2 0, 5 6 6 3 1 1 0 0 3 0,147
3 0, 5 6 7 1 4 2 1 6 3 0,0000220
4 0, 5 6 7 1 4 3 2 7 0 < 10-8
2. Cho
057xy3y)y,x(v
010xyx)y,x(u
2
2
cho biết nghiệm (x = 2, y = 3)
Nghiệm ban đầu cho ( x = 1,5 , y = 3,5 )
Giải:
5,1x
y
u
25,3)5,3)(5,1(61xy61
y
v
0
0
0
0
Vậy định thức Jacobien: det J = 6,5(32,5) - 1,5(36,75) = 156,125
và u0 = (1,5)2 + 1,5(3,5) - 10 = - 2,5
v0 = 3,5 + 3(1,5)(3,5)2 - 57 = 1,625
Từ đó có:
84387
,2
125,156
)75,36)(5,3()5,6(625,1
5,3y
03603,2
125,156
)5,3(625,1)5,32(5,2
5,1x
Tiếp tục các phần xấp xỉ bị dư (x = 2 , y = 3)
3. Cho hàm: f(x) = - 0,9x2 + 1,7x + 2,5, điểm ban đầu x0 = 5, chọn 0 = 0,01%.
5,65,3)5,1(2yx2
x
u
75,36)5,3(3y2
x
v
0
0
22
0
0