Giáo án Hàm số liên tục

Chia sẻ: Huỳnh Văn Phước | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

11.639
lượt xem 227
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Hàm số liên tục

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc --------------- GVHD : Huỳnh Văn Phước Giáo sinh : Nguyễn Thị Xuân An Ngày soạn : Thứ sáu 19/03/2010 Ngày dạy : Thứ hai 22/03/2010(Tiết 3) §8. HÀM SỐ LIÊN TỤC (2 tiết) I. Mục tiêu 1. Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này. 2. Về kỹ năng : Giúp HS biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn và áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản. 3. Về tư duy thái độ : Có tinh thần tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic. II. Chuẩn bị 1. Giáo viên: giáo án, bài giảng, SGK, dụng cụ dạy học 2. Học sinh: SGK, tập ghi chép, xem bài trước ở nhà III. Phương pháp dạy học Gợi mở, vấn đáp. IV. Tiến trình dạy học 1. Ổn định lớp. 2. Nội dung bài mới HĐ1: Hàm số liên tục tại một điểm Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Hoạt động gợi ý vào bài mới: (có minh Thực hiện theo gợi ý I. Hàm số liên tục tại một họa bằng đồ thị) của GV điểm 1) Cho các hàm số f ( x) = x 2 − x 2 + 2, x ≤ −1  g ( x) =  3, −1 < x < 1  − x 2 + 2, x ≥ 1  a) Tính f(1), g(1), so sánh với lim f ( x), lim g ( x ) x →1 x →1 b) Nhận xét về đồ thị mỗi hàm số tại x =1 2) Xét hàm số  2 x2 − 2x  ,x ≠1 h( x ) =  x − 1  1, x = 1  Đại số - Giải tích 11 NC 1
Ta có 2 x2 − 2 x lim h( x) = lim =2 x →1 x →1 x −1 h(1) = 1 Vậy lim h( x) ≠ h(1) x →1  Ta có các kết quả sau lim f ( x) = f (1) x →1 lim g ( x) không tồn tại x →1 lim h( x) ≠ h(1) x →1 Ta nói hàm số f ( x) liên tục tại x = 1 , còn các hàm số g ( x) và h( x) không liên tục tại x = 1 - Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một Ghi bài điểm. Định nghĩa  Vậy để xét tính liên tục của hàm số Hàm số f ( x) xác định trên tại điểm x0 ta tiến hành các bước sau: khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) B1: tính f ( x0 ) Hàm số f liên tục tại điểm x0 B2: tính lim f ( x) nếu lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0 x → x0 Hàm số không liên tục tại điểm B3: so sánh x → x0 f ( x) với f ( x0 ) lim x0 gọi là gián đoạn tại điểm x0  Khi nào hàm số f ( x) gián đoạn tại Hàm số gián đoạn khi . điểm x0 ? không tồn tại lim f ( x) hoặc x → x0 - Thực hiện H1, minh họa bằng đồ thị lim f ( x ) ≠ f ( x0 ) x → x0 Xét tính liên tục của hàm số f ( x) =| x | Theo dõi tại điểm x = 0 Giải f (0) = 0 lim f ( x ) = lim | x |= 0 x→0 x →0 - Hướng dẫn HS theo dõi Ví dụ 2 SGK Do lim f ( x) = f (0) nên f ( x) x→0 trang 169. Theo dõi liên tục tại x = 0 . - Thực hiện H2, minh họa bằng đồ thị Xét tính liên tục của hàm số Theo dõi và ghi bài  x 2 + 1, x ≤ 1 Giải f ( x) =  tại điểm x = 1 . f (1) = 2  x − 1, x > 1 lim f ( x ) = lim( x 2 + 1) = 2 − − x →1 x →1 lim f ( x) = lim( x − 1) = 0 x →1+ + x →1 Suy ra không tồn tại lim f ( x) x →1 Vậy hàm số gián đoạn tại x = 1 . Đại số - Giải tích 11 NC 2
Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn Hoạt động của GV Hoạt động Nội dung chính của HS II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn - Nêu định nghĩa hàm số liên tục trên Ghi bài Định nghĩa một khoảng, trên một đoạn. Hàm số f xác định trên tập hợp J, trong  Để chứng minh hàm số liên tục đó J là một khoảng hoặc là hợp của nhiều trên một khoảng ta cần chứng minh khoảng, gọi là liên tục trên J nếu nó liên hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc tục tại mọi điểm thuộc J. khoảng. Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] gọi là  Để chứng minh hàm số liên tục liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên đoạn [a; b] trước hết chứng trên khoảng (a;b) và minh hàm số liên tục trên khoảng lim f ( x) = f (a ), lim f ( x ) = f (b) x →a + x →b − (a; b) và kết hợp với lim+ f ( x) = f (a ) , lim f ( x ) = f (b) . − x →a x →b  Vậy chứng minh hàm số liên tục trên nửa khoảng [a; b), (a; b], [a; +∞), (−∞; b] thế nào? Theo dõi Giải - Thực hiện Ví dụ 3 SGK trang 170, ∀x0 ∈ (−1;1) , ta có minh họa đồ thị. Xét tính liên tục của hàm số lim f ( x) = lim 1 − x 2 = 1 − x0 = f ( x0 ) 2 x → x0 x → x0 f ( x ) = 1 − x 2 trên đoạn [−1;1] Nên hàm số liên tục trên khoảng (−1;1) Ngoài ra ta có lim + f ( x) = lim + 1 − x 2 = 0 = f (−1) x →( −1) x → ( −1) lim f ( x ) = lim 1 − x 2 = 0 = f (1) − − x →1 x →1 Do đó hàm số liên tục trên đoạn [−1;1] . Giải 1) g ( x) xác định trên đoạn [-2;2] - Yêu cầu HS làm Ví dụ, minh họa Thực hiện yêu bằng đồ thị cầu của GV ∀x0 ∈ (−2; 2), Chứng minh rằng lim g ( x ) = lim 8 − 2 x 2 = 8 − 2 x0 = g ( x0 ) 2 x → x0 x → x0 1) g ( x) = 8 − 2 x 2 liên tục trên đoạn Nên g ( x) liên tục trên khoảng (-2;2) [-2;2] Ngoài ra ta có 2) h( x) = 2 x − 1 liên tục trên nửa lim g ( x ) = lim − 8 − 2 x 2 = 0 = g (−2) 1 x →( −2)− x → ( −2) khoảng [ ; +∞) 2 lim g ( x ) = lim 8 − 2 x 2 = 0 = g (2) + + x →2 x→2 Vậy g ( x) liên tục trên đoạn [-2;2] 1 2) h( x) xác định trên nửa khoảng [ ; +∞) 2 1 ∀x0 ∈ ( ; +∞) , 2 Đại số - Giải tích 11 NC 3
lim h( x) = lim 2 x − 1 = 2 x0 − 1 = h( x0 ) x → x0 x → x0 1 Nên h( x) liên tục trên khoảng ( ; +∞) 2 Ngoài ra 1 lim + h( x) = lim + 2 x − 1 = 0 = h( ) 1 x →  1 x →  2  Hàm số liên tục trên một khoảng 2  2 hay trên một đoạn thì có đồ thị là Vậy h( x) liên tục trên nửa khoảng đường liền nét. Hàm số gián đoạn 1 tại một điểm thì đồ thị không là [ ; +∞) . 2 đường liền nét. Ghi bài Nhận xét - Nêu nhận xét 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải - Nêu định lý khác 0) 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi Ghi bài điểm thuộc tập xác định của chúng). Định lý 1 Các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x liên tục trên tập xác định của chúng. Hoạt động 3: Tính chất của hàm số liên tục Hoạt động của GV Hoạt động của HS Nội dung chính - Yêu cầu học sinh làm ví dụ Thực hiện theo yêu cầu GV Giải sau đó lên bảng trình bày: a. f(-1) = 5, f(3) = 1 1. Cho hàm số y = f(x) =- Vậy f(-1) ≠ f(3) x3+3x2+1 liên tục trên đoạn [- b. Ta có 1;3] có đồ thị như hình vẽ. f(c) = - c3 + 3c2 + 1 a. Tính f(-1), f(3). Hãy so sánh M=3 f(-1) và f(3). Và f(c) = M nên : b. Với M=3 nằm giữa f(-1), - c3 + 3c2 + 1 = 3 f(3), hãy tìm c∈(-1;3) sao cho ⇔ - c3 + 3c2 + 1 – 3 = 0 f(c) = M. ⇔ - c3 + 3c2 - 2 = 0 ⇔ (c – 1)(- c2 + 2c + 2) = 0  c −1 = 0 ⇔ 2 − c + 2c + 2 = 0  c =1 ⇔ c = 1 + 3  c = 1 − 3 Vậy có 3 giá trị c thỏa mãn yêu cầu đề bài.  Cho hàm số y = f(x) (có đồ Có thị như hình vẽ) liên tục trên Đại số - Giải tích 11 NC 4
đoạn [a;b] và f(a) ≠ f(b), một điểm M nằm giữa f(a), f(b). Phán đoán có tồn tại c∈(a;b) sao cho f(c) = M? - Nêu định lý 2 (định lý về giá Ghi bài Định lý 2 trị trung gian của hàm số liên Hàm số f liên tục trên đoạn tục) [a;b]. Nếu f(a) ≠ f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c)=M. Theo dõi và ghi bài Ý nghĩa hình học của định lý - Hướng dẫn cho HS bằng cách Nếu hàm số f liên tục trên phân tích trên đồ thị để rút ra đoạn [a;b] và M là một số thực nhận xét về ý nghĩa hình học. nằm giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng y=M cắt đồ thị của hàm số y = f ( x) ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈ (a; b) Theo dõi  Hàm f liên tục trên đoạn [a;b], M nằm giữa f(a) và f(b). Khi M = 0, f(a).f(b) < 0. Theo định lí 2: tồn tại ít nhất 1 điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0 Ghi bài Hệ quả Nếu hàm f liên tục trên đoạn - Nêu hệ quả [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0.  Ta có: f(c) = 0. Khi đó c được gọi là nghiệm của Ý nghĩa hình học của hệ quả phương trình f(x) = 0. Ghi bài Nếu hàm f liên tục trên đoạn - Nêu ý nghĩa hình học của hệ [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị quả. của hàm số y = f ( x) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c ∈ (a; b) .  Ứng dụng của hệ quả là chứng minh phương trình có Giải nghiệm thuộc khoảng. Làm bài 1) f(x) = x3 + 2x – 5 liên tục - Yêu cầu HS làm Ví dụ trên R 1) Chứng minh hàm số f(x) = x3 Đoạn [0;1] ⊂ R nên hàm f liên + 2x – 2 có ít nhất một nghiệm Đại số - Giải tích 11 NC 5
dương nhỏ hơn 1. tục trên đọan [0;1]. 2) Chứng minh rằng phương Lại có : f(0) = - 2 trình x3 + x + 1= 0 có ít nhất f(1) = 1 một nghiệm. và f(0).f(1) = -2.1 = -2 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(0;1) sao cho f(c) = 0. Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x)= 0 (đpcm) 2) Xét hàm f(x) = x3 + x + 1 liên tục trên R Ta có [-1;0] ⊂ R nên hàm f liên tục trên đoạn [-1;0] Lại có : f(0) = 1 f(-1) = -1 và f(-1).f(0) = -1 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(-1;0) sao cho f(c) = 0. Làm bài Vậy x = c là một nghiệm của - Yêu cầu HS làm H4 phương trình f(x)= 0 (đpcm) x2 + 5x − 2 Giải Cho hàm số f ( x) = 2x + 2 Hàm số f liên tục trên đoạn Chứng minh rằng tồn tại ít [0;2], f (0) = −1; f (2) = 2 nhất một điểm c ∈ (a; b) sao Vì −0.8 ∈ ( −1; 2) nên theo định cho f (c) = −0.8 lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 2) sao cho f (c ) = −0.8 Nhận xét của GVDH Người soạn Bài soạn đầy đủ Huỳnh Văn Phước Nguyễn Thị Xuân An Đại số - Giải tích 11 NC 6