NGƯỜI BIÊN SOẠN: TRẦN MINH QUANG
NGƯỜI BIÊN SOẠN: TRẦN MINH QUANG
ĐỀ THI THỬ THPT CHUYÊN KHTN – HÀ NỘI
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên
x
sao cho ứng với mỗi
x
tồn tại số thực
1; 2
y
thỏa mãn
2
2 1
xy
x y
?
A.
3
. B.
6
. C.
5
. D.
4
.
Lời giải
Cách 1: Trước hết ta xét
0
x
thì khi ấy phương trình luôn đúng với mọi số thực
1; 2
y
nên nhận.
Tiếp đến với
0
x
ta xét hàm số
2
2 1
xy
x
f y x y
trên khoảng
1; 2
khi đó ta có:
2
2 ln 2
xy
x
f y x x
Điều kiện cần: để tồn tại
1; 2
y
thỏa mãn thì
1 2 0
x x
f f
.
Trường hợp 1:
0
x
thì ta giải
2 0
01
0 log 1
ln 2
2 ln 2
xxy
xx
f y y y
x
x
.
Khảo sát nhanh hàm số
2
1log
ln 2
x
g x
x
dễ thấy
2
1
ln 2 , 0;
ln 2
g x g e x
e
tức
0
1; 2
y
Cùng với
0, 1;2
x
f y y
, khi ấy để
1; 2
y
thì:
2
2 2
1 0 2 1 0
2;3;4
2 0 2 2 1 0
x
x
x
fxx
fx
Trường hợp 2:
0
x
thì khi ấy
0, 1;2
x
f y y
. Suy ra để
1; 2
y
thỏa mãn thì
2
2 2
1 0 2 1 0
2 0 2 2 1 0
x
x
x
fxx
fx
. (loại)
Vậy tóm lại
0; 2; 3; 4
x
tức có 4 giá trị nguyên
x
thỏa mãn. Chọn đáp án D.
Cách 2: Dễ thấy xét
0
x
thì hàm số
2
2 1
xy
y
f x x y
có
2
2 2
2 ln 2
2 ln 2 0
xy
x
xy
x
f y x x
f y x
Suy ra hàm
x
f y
là hàm lồi nghiêm ngặt và có tối đa 1 cực tiểu, khi ấy cùng với thì ta suy ra điều kiện cần và đủ
để
0
x
f y
có nghiệm với mọi
1; 2
y
là
1 2 0
x x
f f
Câu 48: Trong không gian
Oxyz
, cho đường thẳng
1
: 3
2
x
d y z
. Xét mặt phẳng
P
thay đổi và luôn chứa
đường thẳng
d
. Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
2; 1;2
A
lên mặt phẳng
P
. Khi
P
thay
đổi thì
H
luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng
A.
2
2
. B.
2
. C.
3
. D.
3
2
.
Lời giải
Đầu tiên ta gọi
C
là hình chiếu của
A
lên
d
, từ đó dễ dàng tính được tọa độ điểm
1;0;3
C
Khi ấy ta suy ra
H
thuộc mặt cầu
S
đường kính
AC
có tâm là trung điểm
AC
và bán kính
3
2
R
.
Tiếp đến ta có
, 2;1;1
AHC d
AH d P AC d d AHC n u
tức suy ra
H AHC
.
Mà
AHC
qua đường kính mặt cầu
S
nên đường tròn cố định có bán kính
3
2
r R
. Chọn đáp án D.
