Khóa luận tốt nghiệp: Chuỗi Fourier và ứng dụng

Chia sẻ: Tú Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

61
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của đề tài là trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier; Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học; Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trường sư phạm Hà Nội II. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp: Chuỗi Fourier và ứng dụng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNGI: LÝ THUYẾT CHUỖI 1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi........................................................................................................... 9 1.1.1: Các định nghĩa................................................................................................................................. 9 1.1.2: Tính chất. ........................................................................................................................................ 9 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ. ........................................................................................................................ 10 1.1.4: Chuỗi số dương. ............................................................................................................................ 10 1.2: Chuỗi lượng giác. ................................................................................................................................. 12 1.2.1: Định nghĩa. .................................................................................................................................... 12 1.2.2: Định lý. .......................................................................................................................................... 13 1.3: Chuỗi Fourier....................................................................................................................................... 14 1.3.1: Định nghĩa. .................................................................................................................................... 14 1.3.2: Định lý. .......................................................................................................................................... 15 1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................................... 16 1.3.4: Tính hội tụ Fourier. ....................................................................................................................... 17 1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. ....................................................................................................... 17 1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier. ............................................................................ 19 CHUỖI II: ỨNG DỤNG CỦA CHUỖI FOURIER 2.1: Ứng dụng trong Vật lý .......................................................................................................................... 28 2.1.1: Phương trình truyền nhiệt. ........................................................................................................... 28 2.1.2: Phương trình dao động của dây. .................................................................................................. 36 2.2: Ứng dụng của huỗi Fourier trong một số lĩnh vực khác. ..................................................................... 48 2.2.1: Tích chập và biến đổi Fourier ........................................................................................................ 48 2.2.2: Tuyến tính, tính bất biến............................................................................................................... 54 2.2.3: Xác định xung phản hồi và hàm chuyển của một hệ thống .......................................................... 58 2.2.4: Ứng dụng của tích chập- xử lý tín hiệu và bộ lọc .......................................................................... 63 2.2.5: Ứng dụng của tích chập- điều chỉnh biên độ và ghép tần số........................................................ 66 2.2.6: Ứng dụng của chuỗi Fourier trong âm nhạc. ................................................................................ 69 KẾT LUẬN 5
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong những năm đầu của thế kỷ thứ 19, nhà toán học ngƣời Pháp Joseph Fourier trong nghiên cứu về sự dẫn nhiệt kết hợp với việc nghiên cứu chuỗi lƣợng giác theo các công trình trƣớc đó của Euler, d’Alambert và Bernoulli; ông đã phát hiện ra điều đáng chú ý của chuỗi lƣợng giác và đƣa ra chuỗi đặc biệt mà hiện nay mang tên ông gọi là chuỗi Fourier. Chuỗi Fourier ra đời tạo nền tảng cho nhiều nghiên cứu khoa học, đồng thời tạo ra bƣớc tiến mới cho cả lý thuyết khoa học và ứng dụng thực tế. Ngày nay, những nghiên cứu về chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học nhƣ số học, xử lý tín hiệu, xác suất, hình học…. và đặc biệt trong vật lý với các bài toán về sự dao động và sự truyền nhiệt. Việc ứng dụng chuỗi Fourier giúp giải quyết nhiều vấn đề mà trƣớc đây ta chƣa làm đƣợc và giúp các ngành khoa học phát triển hơn. Với mục đích tìm hiểu về ứng dụng của chuỗi Fourier và cũng để làm quen với nghiên cứu khoa học, chúng tôi đã chọn đề tài “chuỗi Fourier và ứng dụng" để làm khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày một số ứng dụng của chuỗi Fourier. Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học. Đóng góp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên khoa Vật lý trƣờng sƣ phạm Hà Nội II. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về chuỗi Fourier, tính hội tụ, tính chất của các hệ số Fourier. Hệ thống hóa một số kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier. Nghiên cứu sâu hơn và chuỗi fourier. Tìm hiểu và nghiên cứu của các ứng dụng của chuỗi Fourier. 4. Phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về chuỗi Fourier và các ứng dụng nổi bật của chuỗi. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phƣơng pháp nghiên cứu chủ yếu là: -Sƣu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức. 7
-Trao đổi, thảo luận với bạn bè, giáo viên hƣớng dẫn, qua đó tổng hợp kiến thức và trình bày theo đề cƣơng nghiên cứu, thực hiện kế hoạch và hoàn thành khóa luận. 6. Đóng góp của đề tài. Khóa luận trình bày đƣợc hệ thống kiến thức cơ sở đến mở rộng của chuỗi Fourier. Cung cấp và làm sáng tỏ các ứng dụng của chuỗi Fourier. 7. Cấu trúc Chương I: Trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi và các kiến thức quan trọng cần thiết về chuỗi Fourier. Chương II: Trình bày về ứng dụng của chuỗi Fourier trong giải bài toán vật lý và một vài ứng dụng trong các lĩnh vực khác. 8
NOI DUNG CHƯỞNG I: LÝ THUÝE T CHUO I 1.1: Một số nội dung cơ bản về chuỗi. 1.1.1: Các định nghĩa  Định nghĩa 1: Cho dãy số Biểu thức: (1.1) đƣợc gọi là chuỗi số và đƣợc kí hiệu là ∑ .Các số là các số hạng của chuỗi số.  Định nghĩa 2: Ta gọi ∑ là tổng riêng thứ của chuỗi số (1.1). Nếu ta nói chuỗi số (1.1) hội tụ có tổng là S và viết ∑ Trƣờng hợp ngƣợc lại, nếu không tồn tại hoặc thì chuỗi số (1.1) đƣợc gọi là chuỗi phân kì.  Định nghĩa 3: Ta gọi là phần dƣ thứ của chuỗi số. Nếu chuỗi số hội tụ thì khi Nếu không dần tới một giới hạn hữu hạn khi , thì chuỗi số phân kì. 1.1.2: Tính chất.  Tính chất 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ và có tổng S thì chuỗi số ∑ trong đó là hằng số cũng hội tụ và có tổng  Tính chất 2: 9
Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ và có tổng tƣơng ứng là I, J thì chuỗi số ∑ cũng hôi tụ và có tổng I+J.  Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên. 1.1.3: Tiêu chuẩn hội tụ.  Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi số ∑ hội tụ khi và chỉ khi mỗi số cho trƣớc, tìm đƣợc số nguyên dƣơng N sao cho: | |  Tính chất: Điều kiện cần để chuỗi ∑ hội tụ là 1.1.4: Chuỗi số dương.  Định nghĩa 1: Chuỗi số ∑ có các số hạng với mọi đƣợc gọi là chuỗi số dƣơng. Các dấu hiệu hội tụ  Định nghĩa 2: Chuỗi số dƣơng ∑ hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng của chuỗi bị chặn trên  Định lý 1: (Dấu hiệu so sánh 1). Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ và ∑ . Giả sử , . Khi đó nếu chuỗi số ∑ hội tụ thì chuỗi số ∑ hội tụ, nếu chuỗi số ∑ phân kì thì chuỗi số ∑ phân kì.  Định lý 2: (Dấu hệu so sánh 2). Cho hai chuỗi số dƣơng ∑ và ∑ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn thì hai chuỗi số ấy đồng thời hội tụ hay phân kì. 10
 Định lý 3: (Dấu hiệu tích phân Cauchy). Giả sử là một hàm số liên tục trên khoảng [ [ và giảm với đủ lớn. Đặt khi đó chuỗi số ∑ hội tụ nếu và chỉ nếu ∫ là hữu hạn. 1.1.5: Chuỗi đan dấu.  Định nghĩa: Chuỗi số có dạng. ∑ hoặc ∑ với gọi là chuỗi số đan dấu.  Định lý: ( Định lý Leibniz) Nếu chuỗi số đan dấu ∑ thoả mãn các điều kiện sau: (i) (ii) thì chuỗi số trên hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng . 1.1.6: Chuỗi số bất kì.  Định nghĩa: Chuỗi số ∑ đƣợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∑ | | hội tụ, là bán hội tụ nếu ∑ hội tụ nhƣng ∑ | | phân kì. 11
 Định lý 1: Nếu chuỗi số ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi đó hội tụ và |∑ | ∑| |  Định lý 2: ( Dấu hiệu D’Alembert) | | Cho chuỗi số ∑ có | | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi.  Định lý 3: (Dấu hiệu Cauchy) Giả sử chuỗi số ∑ √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa kết luận đƣợc về sự hội tụ của chuỗi.  Định lý 4: Giả sử ∑ là một chuỗi số với √| | Khi đó (i) Nếu thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. (ii) Nếu thì chuỗi phân kì. (iii) Nếu thì chƣa thể nói gì về tính chất của chuỗi số.  Định lý 5 : Giả sử ∑ là một dãy số thực | | (i) Nếu | | thì chuỗi số đã cho hội tụ tuyệt đối. | | (ii) Nếu | | thì chuỗi số đã cho phân kì. 1.2: Chuỗi lượng giác. 1.2.1: Định nghĩa.  Định nghĩa 1: Chuỗi lƣợng giác là chuỗi hàm có dạng. 12
∑ (1.2) Trong đó { }{ } là hai dãy số thực. Số hạng tổng quát là một hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục và khả vi mọi cấp. 1.2.2: Định lý.  Định lý 1: Nếu các chuỗi số ∑ ∑ hội tụ tuyệt đối thì chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ đều trên R và tổng của chuỗi là một hàm liên tục trên R.  Định lý 2: Giả sử dãy { } { } là hai dãy số giảm đến 0 khi Khi đó, chuỗi lƣợng giác: ∑ hội tụ tại mọi điểm và hội tụ đều trên mỗi đoạn [ ], Do đó tổng chuỗi là một hàm số liên tục trên  Định lý 4: Nếu ∑ | | | | thì tổng của chuỗi lƣợng giác ∑ (1.3) là một hàm số khả vi liên tục trên R và nhận đƣợc bằng cách lấy đạo hàm từng hạng tử của chuỗi (1.3), tức là ∑  Định lý 5: 13
Nếu chuỗi số ∑ ∑ đều hội tụ tuyệt đối thì tổng của chuỗi lƣợng giác: ∑ (1.5) liên tục trên R và tổng của chuỗi lƣợng giác ∑( ) nhận đƣợc nhờ lấy nguyên hàm từng hạng tử của chuỗi (1.5) là một nguyên hàm của trên R. 1.3: Chuỗi Fourier 1.3.1: Định nghĩa.  Định nghĩa 1: Hàm số xác định trên đoạn [ ] gọi là liên tục từng khúc nếu tồn tại một phép phân hoạch của đoạn [ ] có tính chất:Với mỗi , hàm số liên tục trên khoảng , có giới hạn phải hữu hạn tại điểm và giới hạn trái tại điểm Nói cách khác, là liên tục từng khúc trên đoạn [ ] nếu chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn loại I và liên tục tại mọi điểm còn lại của đoạn..  Định nghĩa 2: Giả sử là một hàm số tuần hoàn xác định trên R với chu kỳ , liên tục từng khúc trên mỗi đoạn bị chặn . Chuỗi lƣợng giác: ∑ trong đó các hệ số đƣợc cho bởi công thức: ∫ ∫ 14
gọi là chuỗi Fouriercủa hàm số đƣợc gọi là các hệ số Fourier của . Các công thức tính đƣợc gọi là công thức Euler. Vì là một hàm số tuần hoàn chu kỳ nên nhờ một phép biến đổi biến số, dễ dàng chứng minh đƣợc: ∫ ∫ Đặc biệt ta có: ∫ nếu là một hàm số chẵn thì là những hàm số chẵn và là những hàm số lẻ. Do đó: ∫ Vì thế chuỗi Fourier của có dạng: ∑ Tƣơng tự, nếu là một hàm số lẻ thì là những hàm số lẻ và là những hàm số chẵn. Do đó. ∫ Khi đó chuỗi Fourier của có dạng: ∑ 1.3.2: Định lý. Giả sử là một hàm số tuần hoàn với chu kì Giả sử chuỗi lƣợng giác: 15
∑ Hội tụ đều trên đoạn [ ] (do đó hội tụ đều trên R) và có tổng là . Khi đó ta có: ∫ ∫ ∫ 1.3.3: Tính chất của các hệ số Fourier.  Định lý 1: Cho là hàm số với bình phƣơng khả tích trên đoạn [ ] Nếu là tổng Fourier bậc của thì: ∫ [ ] ∫ [ ] trong đó minium ở vế phải lấy theo mọi đa thức lƣợng giác có bậc không quá Nếu là các hệ số Fourier của thì ta có bất đẳng thức Bessel sau đây: ∑ ∫  Định lý 2: Nếu là hàm liên tục trên đoạn [ ] và nhận cùng một giá trị ở hai đầu mút của đoạn thì các hệ số Fourier của thoả mãn đẳng thức sau: ∫ ∑ (đẳng thức Parseval) 16
1.3.4: Tính hội tụ Fourier. Không phải khi nào chuỗi Fourier của hàm cũng hội tụ đến chính hàm đó, nên ta dùng biểu thức: ∑ để biểu thị rằng hàm có khai triển Fourier là chuỗi ở vế phải.  Dấu hiệu hội tụ của chuỗi Fourier Cho hàm tuần hoàn với chu kì , bị chặn và đơn điệu từng khúc trên mỗi chu kì. Khi đó chuỗi Fourier của hàm hội tụ, tổng của chuỗi Fourier bằng tại mọi điểm mà hàm liên tục. Tại những điểm mà hàm không liên tục, tổng chuỗi Fourier hội tụ về giá trị [ ] trong đó: 1.3.5: Dạng phức của chuỗi Fourier. Sử dụng công thức biểu diễn hàm lƣợng giác thông qua số phức: và Ta có thể viết lại khai triển Fourier dƣới dạng: ∑[ ] Đặt ta có: 17
∑ Lƣu ý rằng , ta có ∫ ∫ ∫ ∫ Do vậy công thức trên có thể viết lại thành: ∑ ∫ Công thức này đƣợc gọi là dạng phức của chuỗi Fourier.  Dạng phức của chuỗi Fourier đối với hàm tuần hoàn chu kì . Với khả tích trên đoạn [ ]. Đối với hàm này ta lập đƣợc chuỗi Fourier ∑ trong đó ∫ ∫ { Ta sử dụng đẳng thức Euler liên hệ các hàm lƣợng giác với hàm mũ 18
Suy ra Ta có thể viết Thay vào (1.9) ta đƣợc ∑( ) Nếu đặt (1.11) tổng riêng thứ của chuỗi (1.10), tức là của cả chuỗi (1.9), có thể viết là: ∑ ∑ Ta có cách viết. ∑ Dạng phức của chuỗi Fourier của hàm 1.3.7: Khai triển một số hàm số thành chuỗi Fourier.  Định nghĩa khai triển Fourier của một hàm số. Cho chuỗi lƣợng giác: ∑ là chuỗi Fourier của trên đoạn [ ] Nếu chuỗi (1.12) hội tụ và hội tụ đến tổng chính là thì ta nói rằng khai triển thành Fourier trên đoạn [ ] Đồng thời viết 19
∑  Khai triển Fourier tổng quát Khai triển một hàm tuần hoàn trong khoảng[ ]. Hàm đƣợc gọi hàm liên tục từng khúc trong [ ] nếu [ ] có thể chia thành một số hữu hạn các khoảng con [ ] sao cho hàm liên tục trên mỗi khoảng mở và tồn tại các giá trị hữu hạn của các giới hạn một phía: tại các đầu khoảng con. Nói cách khác, khi đó trong mỗi khoảng con hàm có thể thác triển liên tục đƣợc lên các đầu của khoảng thành hàm liên tục trong mỗi khoảng con đóng [ ] đó. Nếu các đầu khoảng đó là các điểm gián đoạn của hàm thì chúng chỉ có thể là các điểm gián đoạn loại một. Ta không quan tâm tới giá trị của hàm tại chính các đầu khoảng con Chúng có thể xác định với giá trị tuỳ ý hoặc không xác định, và điều đó không ảnh hƣởng gì đến các giá trị của các hệ số Fourier của  Định nghĩa: Hàm đƣợc gọi là hàm khả vi từng khúc trên đoạn [ ] nếu là hàm liên tục từng khúc trong [ ] và trong mỗi khoảng con mở hàm khả vi, đồng thời tồn tại các giá trị giới hạn hữu hạn: Nói cách khác, hàm sau khi đã thác triển liên tục trong khoảng lên hai đầu khoảng thì hàm đã thác triển này là hàm khả vi trong khoảng đóng [ ] Ta có định lý khai triển sau:  Định lý Dirichlet. 20
Giả sử hàm là hàm xác định trên toàn trục số tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ] Khi đó, chuỗi Fourier của hàm hội tụ trong toàn khoảng [ ] và tổng bằng với mọi [ ]. Ta thừa nhận định lý trên Nếu là điểm liên tục của hàm thì: Do đó Nhƣ vậy chuỗi Fourier của hàm khả vi từng khúc tại những điểm liên tục của hàm, hội tụ về chính giá trị của hàm ấy. Còn tại những điểm gián đoạn của hàm thì hội tụ về giá trị trung bình cộng của các giá trị giới hạn bên phải và bên trái của hàm. Chú ý: Nếu là hàm lẻ, nghĩa là thì chuỗi Fourier của hàm chứa những từ gồm toàn các hàm , vì khi đó là một hàm lẻ và mọi hệ số đều bằng 0. ∫ Khai triển một hàm không tuần hoàn trong [ ]. Xét hàm không tuần hoàn và giả thiết rằng trong khoảng [ ] hàm khả vi từng khúc. Ta thành lập một cách hình thức chuỗi trong đó các hệ số đƣợc tính theo công thức Euler. 21
∫ ∫ Chuỗi (1.13) vẫn đƣợc gọi là chuỗi Fourier của hàm Để xét xem chuỗi có hội tụ về hay không, ta xây dựng hàm sao cho trong khoảng [ ] trùng với hàm [ Còn ngoài khoảng trên thì lặp lại một cách tuần hoàn với chu kì Vậy chuỗi (1.13) cũng là chuỗi Fourier của hàm Theo kết quả đã xét ở trên, thì tại mọi chuỗi (1.13) hội tụ về Do chỉ khi [ ] nên ta có khi [ ]. Do tính tuần hoàn với chu kì của Vậy nếu là hàm không lặp lại tuần hoàn với chu kì , khả vi từng khúc trong [ ] thì chuỗi Fourier của hàm: hội tụ về hội tụ về hội tụ về [ ]. Khai triển một hàm xác định trong khoảng [ ] 22
Giả sử là hàm khả vi từng khúc [ ] Nếu [ ] [ ] thì theo định lý khai triển hàm khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier và chuỗi đó là duy nhất vì các hệ số của hàm hoàn toàn đƣợc xác định bởi công thức Euler. Ta xét hai trƣờng hợp [ ] [ ] a, Trƣờng hợp [ ] thực sự nằm trong [ ] Trƣờng hợp này là trƣờng hợp [ ] [ ] Xét hàm tuần hoàn với chu kỳ , khả vi từng khúc trong [ ] sao cho trong [ ] thì trùng với hàm còn trong [ ] thì hoàn toàn tuỳ ý. Ta khai triển thành chuỗi Fourier thì chuỗi này có tổng là: Trong [ ] vì nên ta có: Vì ngoài [ ] (x) có thể chọn tuỳ ý, mỗi cách chọn cho ta một chuỗi Fourier (1.14) khác nhau, nên ta có vô số chuỗi nhƣ vậy. Vậy nếu hàm khả vi từng khúc trong [ ] sao cho [ ] [ ] thì có vô số chuỗi Fourier dạng: hội tụ về [ ] Trong đó, các hệ số đƣợc tính bởi công thức: ∫ ∫ 23
Ở đây, là một hàm bất kì, khả vi từng khúc trong [ ] và trùng với trong [ ] b, Trƣờng hợp [ ] thực sự nằm trong [ ] Đây là trƣờng hợp [ ] [ ] Xét chuỗi Fourier của hàm trong [ ] thì chuỗi này cũng là chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn với chu kì và trong [ ] trùng với Ngoài khoảng [ ] nếu thì chuỗi hội tụ về chứ không hội tụ về Do vậy, trong trƣờng hợp không lặp lại tuần hoàn với chu kì mà ta tìm chuỗi Fourier dạng hội tụ trong toàn khoảng [ ] tới thì bài toán vô nghiệm. Khai triển chẵn, lẻ của một hàm. Giả sử là hàm khả vi từng khúc trong đoạn [ ] Theo mục ở trên, ta có thể khai triển ra toàn khoảng [ ] thành hàm và có vô số cách khai triển nhƣ vậy. Trong đó, có hai cách khai triển đặc biệt đƣợc gọi là khai triển chẵn và khai triển lẻ. - Khai triển chẵn là khai triển sao cho hàm thu đƣợc là hàm chẵn. Khi đó trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng cosin, tức là: ∑ [ ] trong đó ∫ ∫ ∫ 24
- Khai triển lẻ là cách khai triển sao cho hàm thu đƣợc là một hàm lẻ. Khi đó, trong chuỗi Fourier của hàm chỉ chứa toàn số hạng sin, tức là: ∑ [ ] trong đó: ∫ ∫ ∫ Dạng khai triển Fourier trong [ ] Giả sử khả vi từng khúc trong [ ] ta khai triển một cách tuần hoàn hàm với chu kì ra ngoài khoảng [ ] Ta có Ta biến đổi với biến mới sao cho Khi đó, với [ ] [ ] và ( ) Hàm có chu kỳ nên hàm có chu kì . Hàm khả vi từng khúc trong [ ] nên có thể khai triển đƣợc thành chuỗi Fourier trong [ ] ∑ Khi đó, ta có khai triển của trong [ ] 25