PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010

---------------------- MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Vòng 1)

ĐỀ BÀI :

Bài 1 : (2 điểm) Chứng minh rằng :

A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n chia hết cho 384 với mọi n chẵn và n > 4.

Bài 2 : ( 3 điểm) Cho biểu thức

2

x

9

x

3

2

x

1

Q

với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9

x

5

x

6

x

2

3

x

a/ Rút gọn Q b/ Tìm giá trị của x để Q < 1

Bài 3 : ( 3 điểm) Cho ΔABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Lấy một điểm M trên cung nhỏ BC ( M ≠ B, M ≠ C). AM cắt BC tại D. Gọi I là một điểm trên đoạn thẳng MA sao cho MI = MB. Chứng minh rằng :

1

1

=

+

c/

a/ ΔAIB = ΔCMB b/ MA = MB + MC 1 MD MB MC

Bài 4 : ( 2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 20 cm và BC = 30 cm. Lấy M  BC, N  AB, P  AD, Q  CD sao cho MB = BN = QD = DP.

Hãy xác định vị trí các đỉnh của tứ giác MNPQ để diện tích của tứ giác MNPQ là

lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

---------------------------------

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

TP PLEIKU NĂM HỌC 2009 – 2010

---------------------- MÔN THI : TOÁN

---------------------------------------------------------------------

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM - ĐỀ CHÍNH THỨC

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

x

Q

Bài 1 : (2 điểm) Ta có 384 = 3.128 và (3; 128) = 1 Lại có n chẵn và n > 4  n = 2k ( k  N, k > 2)  A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n = 16k4 – 32k3 – 16k2 + 32k = 16k(k3 – 2k2 – k + 2) = 16k(k – 2)(k – 1)(k + 1) Mà k, k – 2, k – 1, k + 1 là 4 số nguyên liên tiếp nên luôn có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4.  k(k – 2)(k – 1)(k + 1)  8  A  16.8 hay A  128 Mặt khác ba trong 4 số nguyên liên tiếp k, k – 2, k – 1, k + 1 phải có một số chia hết cho 3 nên A  3 mà (3; 128) = 1 nên A  384. Vậy A = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n  384 với mọi n chẵn và n > 4. Bài 2 : ( 3 điểm) a/ (1,5đ) Rút gọn Q  3  2

 1 x

x 

2 3

 x

2 

9 

x x

5

6

x

9

2

2

x x

 

x  1  3 x

2

x

x

3

 x    9

x

 3

3 x x  2 x  x  2

 2

 1

3 2  x

 x

 2

 

3    

x   2  x  x 

x

x

x  2 x  

 3   3

x   ( x  0, x  4, x  9) x 

    

0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

x  2  1  2  1  3

x

1

4

Q

  1

0

(1,5đ) b/ Tìm giá trị của x để Q < 1:

3

3

x

 x

     9 3

x x Kết hợp điều kiện trên có Q < 1 khi 0 ≤ x < 9 và x ≠ 4

0,5đ 0,5đ 0,5đ

Bài 3 : ( 3 điểm)

A

a/ Chứng minh ΔAIB = ΔCMB

(

0 60 )

B B B 1 2

B 3

B 1

O

I

1

2

Chứng minh ΔBMI đều Chứng minh          B 2 3 Chứng minh ΔAIB = ΔCMB (c.g.c)

3

B

C

D

1 2

M

b/ MA = MB + MC Từ ΔAIB = ΔCMB  IA = CM  MI + IA = MC + MB hay MA = MB + MC

1

1

=

+

c/

1 MD MB MC

MD =

Chứng minh ΔAMC ΔBMD (g.g) 

MB MD = MA MC

MB.MC MA

MD =

(vì MA = MB + MC )

MB.MC MB+MC MC + MB

1

MC

MB

=

 MD MC.MB MC.MB MC.MB 1

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Hay

M

= 1 MD 1 + MB MC

Bài 4 : ( 2 điểm) x

B

C

Đặt BM = BN = DP = DQ = x Ta có SMNPQ = SABCD – SMBN – SNAP – SPDQ - SMCQ

N

P

x

(20

)(30

x

)

x -

SMNPQ = 20.30 -

21 2

(20

)(30

x

)

D

A

Q

x - 1 21 2 2 - 1 x 2 SMNPQ = 600 – x2 – (20 – x)(30 – x) = 600 – x2 – 600 + 50x – x2

= - 2x2 + 50x = -2(x2 – 25x) = -2(x2 – 25x + 12,52) + 2.12,52 = -2(x – 12,5)2 + 312,5 ≤ 312,5

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

 SMNPQmax = 312,5 (cm2) khi x - 12,5 = 0 hay x = 12,5 cm Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất là 312,5 cm2 khi các điểm M, N, P, Q cách B và D một khoảng bằng 12,5 cm.